Линейная алгебра. Вып. 4

Комплекс учебников удостоен
Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год




МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ



Выпуск 4

Комплекс учебников
«Математика в техническом университете» из 21 выпуска


1. Введение в анализ
2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
3. Аналитическая геометрия
4. Линейная алгебра
5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
6. Интегральное исчисление функций одного переменного
7. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
8. Дифференциальные уравнения
9. Ряды
10. Теория функций комплексного переменного
11. Интегральные преобразования и операционное исчисление
12. Дифференциальные уравнения математической физики
13. Приближенные методы математической физики
14. Методы оптимизации
15. Вариационное исчисление и оптимальное управление
16. Теория вероятностей
17. Математическая статистика
18. Случайные процессы
19. Дискретная математика
20. Исследование операций
21. Математическое моделирование в технике

 А.Н. КАНАТНИКОВ, А.П. КРИЩЕНКО






ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА


Под редакцией
д-ра техн. наук, профессора B.C. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений

5-е издание








Москва
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МГТУ им. Н. Э. Баумана
2 0 15

УДК 517.1(075.8)
ББК 22.151.5
     К19

Рецензенты:
       профессор В.И. Елкин, профессор Е.В. Шикин

     Канатников, А. Н.
К19 Линейная алгебра : учебник для вузов / А. Н. Канатников, А. П. Крищенко ; под ред. B. C. Зарубина, А. П. Крищенко. - 5-е изд. - Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. - 335, [1] с. : ил. - (Математика в техническом университете ; вып. 4).

     ISBN 978-5-7038-3845-7
     ISBN 978-5-7038-4284-3 (вып. 4)

       Книга является четвертым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете» и содержит изложение базового курса по линейной алгебре. Дополнительно включены основные понятия тензорной алгебры и итерационные методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Материал изложен в объеме, необходимом для подготовки студента технического университета.
       Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
       Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.

УДК 517.1(075.8)
                                            ББК 22.151.5


ISBN 978-5-7038-4284-3 (вып. 4)
ISBN 978-5-7038-3845-7

© Канатников А.Н., Крищенко А.П., 2001
© Канатников А.Н., Крищенко А.П., 2006, с изменениями
© Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, 2015
© Оформление. Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015

                ПРЕДИСЛОВИЕ




   Четвертый выпуск серии „Математика в техническом университете “ содержит материал по курсу линейной алгебры, обычно читаемой во втором или третьем семестре.
   Книга, как и другие выпуски серии, имеет развитый аппарат для поиска информации, позволяющий использовать книгу как справочник. Любое ключевое понятие в месте определения выделено полужирным курсивом. Первое упоминание ключевого понятия в параграфе дано светлым курсивом. Для удобства цитирования определения, теоремы, замечания, формулы и т.п. снабжены двойной нумерацией. Например, теорема 2.1 — это первая теорема в главе 2, (2.1) — первая формула в главе 2, рис. 1.5 — пятый рисунок в главе 1.
   В тексте книги используются ссылки, облегчающие поиск нужных определений и других сведений. Такие ссылки указывают номер главы или параграфа и могут относиться как к данной книге, так и к другим выпускам серии. Например, (см. 1.2) отсылает читателя ко второму параграфу первой главы этой книги, тогда как [1-7.5] означает ссылку на пятый параграф седьмой главы в первом выпуске*.
   Все ключевые понятия приведены в предметном указателе, помещенном в конце книги. Они следуют в алфавитном порядке по существительному в именительном падеже. Ссылки предметного указателя разделяются на основные (даны шрифтом прямого начертания) и неосновные (даны курсивным шрифтом). Основная ссылка указывает, где введено понятие, нео

  * Детальные ссылки с указанием параграфа даются только на первый выпуск серии и относятся к изданию: Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб, для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1996. В остальных случаях (выпуски [II] и [III]) приводится лишь номер выпуска, а нужное место в книге можно найти при помощи предметного указателя.

ПРЕДИСЛОВИЕ

сновная ссылка указывает место в книге или другом выпуске серии, где имеются дополнительные сведения о ключевом понятии. Ссылки на термины, введенные в других выпусках серии, содержат номера этих выпусков. Например, ссылка 1-215 означает страницу 215 первого выпуска, а ссылка II — второй выпуск (соответствующее место в этом выпуске можно найти по его предметному указателю).
   Большинство используемых обозначений помещены в перечне основных обозначений. Для каждого обозначения наряду с краткой расшифровкой указаны разделы этого или других выпусков серии, в которых оно было введено. В книге приведены написание и русское произношение букв латинского и греческого алфавитов.
   Перед чтением этой книги предлагаем в целях самоконтроля выполнить некоторый набор заданий. В тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом выделены ключевые термины, значение которых должно быть известно читателю, а в конце каждого задания указана ссылка на номер выпуска серии, в котором можно найти соответствующие разъяснения.

Задания для самопроверки

   1.    Что понимают под критерием некоторого утверждения? [I]
   2.    Из каких этапов состоит доказательство по методу математической индукции? [I]
   3.    Сформулируйте определение взаимно однозначного отображения двух множеств. Чему равна композиция прямого и обратного отображений двух множеств? [I]
   4.    Является ли множество Ж действительных чисел (множество С комплексных чисел) упорядоченным и образуют ли натуральные числа его конечное или бесконечное подмножество? Что такое абсолютная величина (модуль) числа? [I]

5.   Имеют ли операции сложения и умножения действительных чисел свойства коммутативности, ассоциативности и в чем состоит их свойство дистрибутивности? [I]
   6.   Для комплексного числа z = 2 — 3i найти действи

тельную и мнимую части, модуль и его произведение с комплексно сопряженным числом. [I]
   7.   Какие свойства имеют функции: а) непрерывные на отрезке; б) непрерывно дифференцируемые в интервале? Привести пример монотонных в интервале функций, сумма которых не является монотонной в этом интервале. [I], [И]
   8.   Как можно выяснить, имеет ли многочлен одного переменного кратные корни? [I]
   9.   Всегда ли производная многочлена одного переменного степени п является многочленом степени п — 1? [I], [II]
   10.  Как в множествах векторов V2 на плоскости и У; в

пространстве вводятся операции их сложения и умножения на действительные числа? Что такое длина (модуль) вектора и угол между векторами? [III]
   11.  Какие свойства имеет скалярное умножение векто

ров из Уз? Чему равно скалярное произведение двух векторов из V2, если: а) они образуют ортонормированный базис в
Уг; б) они коллинеарны? [III]
   12.  Когда тройка векторов из Уз, состоящая из двух век

торов и их векторного произведения а) является компланарной; б) образует правый ортонормированный базис в
Уз? [П1]

   13.  Доказать, что произведение двух кососимметриче

ских матриц является симметрической матрицей тогда и

только тогда, когда перемножаемые матрицы перестановочны. [III]
   14.   Может ли ранг квадратной невырожденной матрицы быть меньше количества ее базисных строк (столбцов)? [III]
   15.  Что утверждает теорема о базисном миноре? [III]

ПРЕДИСЛОВИЕ

   16.   Привести пример верхней (нижней) треугольной матрицы, у которой максимальное число линейно независимых строк не равно максимальному числу ее линейно зависимых столбцов. [III]
   17.   Приведите пример вырожденной матрицы третьего порядка, которая не является произведением матрицы-столбца на матрицу-строку. [III]
   18.   Как перейти от матричной записи системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) к ее векторной и координатной записям и наоборот? Как неизвестные СЛАУ разбивают на зависимые (базисные) и независимые (свободные)? [III]
   19.   Какие свойства имеют решения СЛАУ и решения соответствующей ей однородной СЛАУ? Что утверждает теорема Кронекера — Капелли о совместности и несовместности СЛАУ и связана ли ее формулировка с матрицей СЛАУ? [III]
   20.   Что можно утверждать об определителе матрицы а) обратной к транспонированной; б) обратной к противоположной? [III]
   21.   Какой тип имеют нулевая и единичная матрицы, если для них определены операции сложения и умножения? [III]
   22.   Доказать, что определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. [III]
   23.   Какие размеры имеют блоки блочно-диагональной матрицы? [III]
   24.   Перечислите виды кривых второго порядка. Укажите их канонические уравнения. [III]
   25.   Перечислите основные виды поверхностей второго порядка и укажите их канонические уравнения. [III]
   26.   Что такое абсолютная и относительная погрешности? [II]

                ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ





◄ и ► — начало и окончание доказательства
  Ф — окончание примера, замечания
а Е А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1-1.1
N — множество натуральных чисел 1-1.3
Ж — множество действительных чисел 1-1.3
С — множество комплексных чисел Д.1.1, 1-4.3
|х|    — абсолютная величина числа х 1-1.3
Ж” — линейное арифметическое пространство 1.1
а, а — вектор (элемент линейного пространства) и столбец его координат 1.6
|а|    — длина вектора а 3.3, III
О — нулевой вектор 1.1, III
а + Ь — сумма векторов а и Ъ 1.1, III
Ла — произведение вектора а на действительное число Л
          1.1, III
а, Ъ — угол между векторами а и Ъ 3.4, III
dim£ — размерность линейного пространства £ 1.7
span{a} — линейная оболочка системы векторов a 2.1
   + И.2 (Til Ф Т/г) — сумма (прямая сумма) линейных подпространств и % 2-3
И¹"    — ортогональное дополнение к линейному подпро          странству Н 3.9
У (р2 и Уз) — пространство коллинеарных векторов (компланарных векторов и всех свободных векторов) III
(а, Ь) — скалярное произведение векторов а и Ъ 3.1, III
axb    — векторное произведение векторов а и Ъ III

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

abc — смешанное произведение векторов в, 6 и с III
а = {х;у} (а = {x;y;z}) — задание вектора а из V2 (Уз) с по
 мощью его координат в фиксированном базисе в У2
 (Уз) HI                                        

i (i,j и — ортонормированный базис в У (правый ор
 тонормированный базис в У2 и в V3) III

Оху, Oij (Oxyz, Oijk} — правая прямоугольная система координат на плоскости (в пространстве) III
M(x;y;z) (М(х-,у)) — точка М пространства (плоскости) с ко
      ординатами х (абсцисса), у (ордината) и z (аппли-  
      ката) III                                          
Кп[х\ --- множество многочленов переменного х степени, не
      превышающей п 1.1                                  
Ат    --- матрица, транспонированная к матрице А III     

diag(ai, ап) — диагональная матрица с диагональными

      элементами ах, ..., ап III             
det А --- определитель матрицы А III         
А~1   --- матрица, обратная к матрице А III  
RgA   --- ранг матрицы А III                 
А+    --- псевдообратная матрица Д.3.3       
©     --- нулевая матрица III                
А     --- линейный оператор и его матрица 4.3
&     --- нулевой оператор 4.1               

ker A, imA — ядро и образ линейного оператора А 4.1

А® В --- произведение тензоров А и В 10.4              
У’М  --- функция многих переменных, рассматриваемая при
     фиксированном значении аргумента х (в общем       
     случае векторного) как функция второго аргумента  
п    10.2                                              
Е ак --- сумма п слагаемых ах, ..., а^, ..., ап 1-2.6  
к=1                                                    

к = 1, п — число к принимает последовательно все значения из

 множества N от 1 до п включительно 1-2.6