Интегральные преобразования и операционное исчисление. Вып. 11

Комплекс учебников удостоен
Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год



МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ


Выпуск 11

Комплекс учебников
«Математика в техническом университете» из 21 выпуска


1. Введение в анализ
2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
3. Аналитическая геометрия
4. Линейная алгебра
5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
6. Интегральное исчисление функций одного переменного
7. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
8. Дифференциальные уравнения
9. Ряды
10. Теория функций комплексного переменного
11. Интегральные преобразования и операционное исчисление
12. Дифференциальные уравнения математической физики
13. Приближенные методы математической физики
14. Методы оптимизации
15. Вариационное исчисление и оптимальное управление
16. Теория вероятностей
17. Математическая статистика
18. Случайные процессы
19. Дискретная математика
20. Исследование операций
21. Математическое моделирование в технике

И.К. ВОЛКОВ, А.Н. КАНАТНИКОВ





ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


Под редакцией
д-ра техн. наук, профессора B.C. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений

3-е издание





Москва
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МГТУ им. Н. Э. Баумана
2 0 15

УДК 517.3(075.8)
ББК 22.161.1
     В67

Рецензенты:
А.А. Алексашенко, Э.М. Карташов

     Волков, И. К.
В67 Интегральные преобразования и операционное исчисление : учебник для вузов / И. К. Волков, А. Н. Канатников ; под ред. B. C. Зарубина, А. П. Крищенко. - 3-е изд. - Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. - 227, [1] с. : ил. - (Математика в техническом университете ; вып. 11).

     ISBN 978-5-7038-3845-7
     ISBN 978-5-7038-3779-5 (вып. 11)

       Изложены элементы теории интегральных преобразований. Рассмотрены основные классы интегральных преобразований, играющие важную роль в решении задач математической физики, электротехники, радиотехники. Теоретический материал проиллюстрирован большим числом примеров. Отдельный раздел посвящен операционному исчислению, имеющему важное прикладное значение.
       Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
       Для студентов технических университетов и вузов, аспирантов и научных сотрудников, использующих аналитические методы в исследовании математических моделей.


УДК 517.3(075.8)
ББК 22.161.1








© Волков И.К., Канатников А.Н., 1996
ISBN 978-5-7038-3779-5 (вып. 11)  © Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-3845-7               МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015

                ПРЕДИСЛОВИЕ





   Содержание выпуска относится к одному из специальных разделов высшей математики и требует хорошего знания базового курса. Мы предполагаем, что читатель умеет оперировать основными понятиями линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, особенно теории линейных дифференциальных уравнений, интегрального исчисления, теории рядов, в частности, теории рядов Фурье, теории функций комплексного переменного.
   Основной теоретический материал по собственным функциям и интегральным преобразованиям уходит глубоко в дебри функционального анализа. Ориентируясь на студентов и специалистов технических специальностей, мы старались вести изложение на достаточно простом уровне, отступая иногда от строгого математического стиля, если смысл происходящего интуитивно ясен. Хотя речь идет в основном о пространстве L² функций, интегрируемых с квадратом, мы опустили такие вопросы, как, например, вопросы полноты пространства, и опирались на интеграл Римана или Римана — Стильтьеса. Точно так же в книге ничего нет о таких вещах, как, скажем, дефекты симметрических операторов. Основная спектральная теорема в главе 3 изложена в простой формулировке с использованием интеграла Римана — Стильтьеса.
   Надеемся, что книга будет полезной для студентов, аспирантов и других специалистов технических специальностей.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ




/(ж) = <?(ж) — значения функций /(ж) и д(х) совпадают при любом значении аргумента х;
||/||     — норма вектора / в нормированном простран              стве;
а         — число, комплексно сопряженное к числу а;
Ат        — матрица, транспонированная к матрице А;
А \ В — разность множеств А и В;
а .Lb — а ортогонально b в смысле некоторого скалярного произведения;
(а, Ь) — скалярное произведение двух векторов а и b в евклидовом пространстве;
/ .= F — функция-оригинал / преобразования Лапласа и его изображение F;
f * д — свертка двух функций-оригиналов преобразования Лапласа;
           — функция нескольких переменных, рассматриваемая при фиксированном значении аргумента у (в общем случае векторного). Например, запись f(-,y) Е £²[а, Ь] означает, что при любом фиксированном у функция <р(х) = = f(x,y) принадлежит функциональному пространству £²[а, Ь];
С           —  комплексная плоскость (множество комплекс              ных чисел);
T](t)       —  функция Хевисайда;
Г (г)       —  гамма-функция Эйлера;

H^\z)        - цилиндрическая функция III рода (функция  
             Ганкеля I рода);                            
H?\z)        - цилиндрическая функция III рода (функция  
             Ганкеля II рода);                           
             - модифицированная функция Бесселя I рода;  
J»{z)        - цилиндрическая функция I рода (функция    
             Бесселя);                                   
Kv(z)        - модифицированная функция Бесселя II рода  
             (функция Макдональда);                      
L[f]         - образ функции f относительно оператора L; 
L[f](x)      - значение функции L[f] в точке х;          
£2[a, b]     - линейное пространство функций, интегрируеL2p[a, b]    мых на отрезке [а, Ь] с квадратом;          
             - линейное пространство функций, интегриру- 
             емых на отрезке [а, Ь] с квадратом и весовой
             функцией р;                                 
Q            - пространство дважды непрерывно дифферен-  
Ж            цируемых функций, удовлетворяющих одно-     
             родным граничным условиям III рода;         
             - действительная ось (множество действитель             ных чисел);                                 
Re г, Imz -  - действительная и мнимая части комплексного
             числа z;                                    
^[yi;y2]   - - определитель Вронского функций и>/2. зна- 
             чение этого определителя в конкретной точке 
             х обозначается IT[yi;у2](х);                
П(г)         - цилиндрическая функция II рода (функция   
             Неймана).                                   

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ





  1.   Что такое фундаментальная система решений (ФСР) для линейной системы алгебраических уравнений ? Найдите ФСР для уравнения 2х + Зу — z = 0. (Ill)
  2.   Как может быть записано общее решение линейного дифференциального уравнения n-го порядка ? Найдите общее решение для уравнения у" — бу' + 9у = е³х. (VIII)
  3.   Что такое определитель Вронского ? Выясните, являются ли линейно независимыми функции: а) еж, sli.r и ch ж; б) ех и е~х.   (VIII)
  4.   При каких условиях функциональный ряд можно: а) дифференцировать, б) интегрировать почленно ? (IX)
  5.   Какой может быть область сходимости степенного ряда ? Найдите область сходимости ряда


грП
+¹


(IX)
   6.   Что такое скалярное произведение ? Какими свойствами оно обладает ? Какие векторы называют ортогональными ? (IV)
   7.   Напишите: а) неравенство Коши — Буняковского; б) неравенство Минковского. (IV)

   *Римскими цифрами обозначен номер выпуска серии, где изложен соответствующий материал.

8.   Сформулируйте теорему единственнности для аналитической функции. Существует ли непостоянная аналитическая функция, имеющая значение 1 в точках zₙ = 1/n ?    (X)
  9.   Перечислите виды особых изолированных точек однозначной аналитической функции. К какому виду относятся особые точки функции w = tg z 7    (X)
  10.  Найдите вычет функции w = tg^ в точке z = л/2. (X)
  11.   Что такое линейный оператор ? самосопряженный линейный оператор ? ортогональный линейный оператор ? В пространстве Ж³ рассмотрим отображение L, которое вектору а = (ж, у, z) ставит в соответствие вектор La = (ж, у, 0). Является ли это отображение: а) линейным оператором; б) ортогональным оператором; в) самосопряженным оператором ? (IV)
  12.   Найдите собственные числа и собственные векторы оператора, определенного в вопросе 11. (IV)
  13.   Какая система функций называется: а) ортогональной; б) полной ? Приведите примеры. Как получить разложение произвольной функции по данной ортогональной системе функций ? (IX)
  14.   Напишите: а) неравенство Бесселя; б) равенство Парсе-валя. При каких условиях неравенство Бесселя превращается в равенство Парсеваля ? (IX)
  15.   Как ставится краевая задача для уравнения в частных производных 2-го порядка ? Какие типы граничных условий могут использоваться в краевой задаче ? Что такое смешанная задача ? (XII)

                ВВЕДЕНИЕ






  Математическая модель — это абстрактное средство приближенного отображения реального процесса, являющееся математическим описанием его причинно-следственных связей. Один и тот же процесс может описываться разными математическим моделями, которые отличаются друг от друга, с одной стороны, точностью или адекватностью по отношению к реальному природному процессу, а с другой — сложностью, определяющей трудоемкость математических вычислений. Конкретный выбор математической модели диктуется целью практического исследования и сводится к некоторому оптимальному сочетанию адекватности модели и ее сложности.
  Основу математических моделей физических процессов во многих случаях составляют дифференциальные уравнения. Можно выделить два основных класса таких моделей. Первый класс — это класс моделей с сосредоточенными параметрами, сводящихся к решению той или иной задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши, краевая задача и т.п.). Второй класс — это класс моделей с распределенными параметрами, сводящихся к задачам для уравнений с частными производными.
  С математической точки зрения систему дифференциальных уравнений можно рассматривать как некоторое операторное уравнение, определяемое оператором, действующим в некотором функциональном пространстве. Элементами функци