Интегральное исчисление функций одного переменного

Комплекс учебников удостоен
Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год




МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ


Выпуск 6

Комплекс учебников
«Математика в техническом университете» из 21 выпуска


1. Введение в анализ
2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
3. Аналитическая геометрия
4. Линейная алгебра
5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
6. Интегральное исчисление функций одного переменного
7. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
8. Дифференциальные уравнения
9. Ряды
10. Теория функций комплексного переменного
11. Интегральные преобразования и операционное исчисление
12. Дифференциальные уравнения математической физики
13. Приближенные методы математической физики
14. Методы оптимизации
15. Вариационное исчисление и оптимальное управление
16. Теория вероятностей
17. Математическая статистика
18. Случайные процессы
19. Дискретная математика
20. Исследование операций
21. Математическое моделирование в технике

В.С. ЗАРУБИН, Е.Е. ИВАНОВА, Г.Н. КУВЫРКИН




ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Под редакцией
д-ра техн. наук, профессора B.C. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений

4-е издание







Москва
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МГТУ им. Н. Э. Баумана
2 0 15

УДК 517.3(075.8)
ББК 22.161.1
     З-35

Рецензенты:
доцент Н.В. Копченова, профессор В.И. Оселедец

     Зарубин, В. С.
З-35 Интегральное исчисление функций одного переменного : учебник для вузов / В. С. Зарубин, Е. Е. Иванова, Г. Н. Кувыркин ; под ред. B. C. Зарубина, А. П. Крищенко. - 4-е изд. - Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. - 527, [1] с. : ил. - (Математика в техническом университете ; вып. 6).

     ISBN 978-5-7038-3845-7
     ISBN 978-5-7038-3777-1 (вып. 6)

       Книга является шестым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете». Знакомит читателя с понятиями неопределенного и определенного интегралов и методами их вычисления. Уделено внимание приложениям определенного интеграла, приведены примеры и задачи физического, механического и технического содержания.
       Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
       Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.





УДК 517.3(075.8)
                                                ББК 22.161.1


ISBN 978-5-7038-3777-1 (вып. 6)
ISBN 978-5-7038-3845-7

© Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н., 1999,
© Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н., 2006, с изменениями
© Оформление. Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015

                ПРЕДИСЛОВИЕ





   Наряду с поиском по заданной функции ее производной (и производных высших порядков), что является задачей дифференциального исчисления, часто возникает необходимость в обратной операции — восстановлении функции по ее производной. Эта операция составляет предмет изучения другого важного раздела математического анализа — интегрального исчисления. В этой книге, являющейся шестым выпуском серии учебников „Математика в техническом университете“, вопросы интегрального исчисления рассмотрены применительно к действительным функциям одного действительного переменного, что и определило ее название.
   Дифференциальное и интегральное исчисления как разделы математического анализа оформились в XVII в. главным образом благодаря трудам И. Ньютона и Г. Лейбница. В современном изложении теоретической основой этих разделов является теория пределов. Поэтому данный выпуск серии тесно связан не только со вторым выпуском „Дифференциальное исчисление функций одного переменного “ [II], но и с первым выпуском „Введение в анализ“ [I], в котором изложена теория пределов. При ссылке в тексте на конкретный выпуск серии „ Математика в техническом университете “ указывается номер этого выпуска (а для первого выпуска и соответствующий раздел). Например, ссылка (см. 1.2) указывает на второй параграф первой главы в данном выпуске, (см. Д.4.1) отсылает к первому дополнению четвертой главы, в то время как [1-7.5] указывает на пятый параграф седьмой главы в первом выпуске серии. Ссылки в тексте на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (2.1) — первая формула в главе 2, (рис. 1.5) — пятый рисунок в главе 1).
   Большинство используемых в этой книге обозначений введено в [I]. Они помещены в перечне основных обозначений, где

ПРЕДИСЛОВИЕ

наряду с их краткой расшифровкой указаны глава и параграф, в которых можно найти их более подробное объяснение. После этого перечня приведены написание и русское произношение входящих в формулы букв латинского и греческого алфавитов.
   В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте полужирным курсивом термины с указанием страницы, где они строго определены или описаны. Выделение термина светлым курсивом, означает, что в данном параграфе он отнесен к ключевым словам и читателю должно быть известно значение этого термина. Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу, на которой используемый термин определен или описан. Если термин введен в другом выпуске, то в предметном указателе дан номер выпуска римской цифрой (и страница для первого выпуска: например, [1-217]). Место, где определен термин, следует искать при помощи предметного указателя данного выпуска. В предметном указателе курсивом приводится ссылка на место в этой книге или другом выпуске, где о термине дана дополнительная информация.
   Перед чтением этой книги предлагаем в целях самоконтроля выполнить следующие несложные задания. В конце каждого задания дана ссылка на тот выпуск, в котором при возникновении затруднений можно найти все необходимые сведения. Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать известными (в основном тексте книги эти термины не выделены и не входят в предметный указатель).

Задания для самопроверки

   1.   Запишите представления множеств целых Z и рациональных Q чисел при помощи множества N натуральных чисел. Как выразить множество иррациональных чисел

через Q и множество Ж действительных чисел? Какое

множество называют бесконечным? Что такое объединение, пересечение и разность множеств? [I]
   2.   Перечислите свойства абсолютной величины (модуля) числа. Запишите неравенство треугольника. [I]
   3.   Каков ход доказательства по методу математической

индукции? Что понимают под рекуррентным соотношением? [I]

   4.   Запишите с помощью неравенств условия принадлежно

сти точки х промежуткам числовой прямой: отрезку

[а, Ь], интервалу (а, Ь), полуинтервалу (а, Ь], бесконечному интервалу (—оо, Ь) и бесконечному полуинтервалу
[а, +оо). [I]

   5.   Изобразите на числовой прямой окрестности конечной и бесконечной точек расширенной числовой прямой. В чем отличие этих окрестностей от проколотых окрестностей и полуокрестностей? Какую точку промежутка называют внутренней? [I]
   6.   Укажите области определения (существования) и значений и постройте графики однозначных ветвей многозначной действительной функции у² = 1/х одного действительного переменного х. [I]
   7.   Охарактеризуйте явный и неявный аналитические, параметрический, графический, табличный, алгоритмический и описательный способы задания функции. Приведите примеры составной и периодической функций. Как расположены относительно начала координат графики четной и нечетной функций? [I]

   8.   Является ли сходящаяся последовательность ограниченной? В чем различие между монотонной и строго монотонной последовательностями? Сформулируйте признак Вейерштрасса сходимости последовательности. [I]
   9.   Сформулируйте и запишите в символическом виде определения (по Гейне и по Коши) конечного предела функции в

ПРЕДИСЛОВИЕ

точке о € I. Выполните это задание, когда аргумент функции стремится к бесконечной точке расширенной числовой прямой. [I]
   10.   Приведите пример функции, ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки а, но не имеющей предела в этой точке. [I]
   11.   Сформулируйте теорему о связи предела функции в точке с односторонними пределами функции в этой точке (елевым и правым пределами функции в точке). [I]
   12.   Определена ли функция 2s²/sins в точке х = 0? Существует ли в этой точке предел рассматриваемой функции? [I]
   13.   При каком изменении аргумента функции sins, 1/х являются бесконечно малыми (б.м.), а функции ж², etgs — бесконечно большими (б.б.)? [I]
   14.   Какова связь между приращением функции и приращением ее аргумента для функции, непрерывной в точке и непрерывной в этой точке только слева? [I]
   15.   При выполнении каких условий сложная функция (суперпозиция функций) непрерывна в точке? Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции. [I], [II]
   16.   Приведите примеры функций, которые имеют: а) точки устранимого разрыва; б) точки разрыва первого рода; в) точки разрыва второго рода. [I]
   17.   Приведите примеры функций, непрерывных в интервале (а, &), но не являющихся непрерывными на отрезке [а, &]. Каковы свойства функции, непрерывной на отрезке [а, &]? Имеет ли эти свойства функция, непрерывная лишь в интервале (а, &)? [I]
   18.   Перечислите основные элементарные функции. Какие из этих функций определены и непрерывны на всей числовой прямой? Какие функции относят к классу элементарных функций? Входят ли в этот класс гиперболические тангенс и котангенс? [I]
   19.  В чем различие между монотонной и строго монотонной в некотором промежутке функциями? Каковы условия

существования в нем непрерывной и строго монотонной функции, обратной заданной функции? Сформулируйте правило дифференцирования обратной функции. Изобразите графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей в промежутке функций. [I], [II]
   20.   Приведите примеры бесконечно малых (б.м.) при х Н* а функций: а) одного порядка малости; б) более высокого порядка малости; в) первого порядка малости; г) несравнимых; д) эквивалентных. Сформулируйте свойства эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функций. [I]
   21.  Каков смысл символов о малое“ и О большое“? [I]
   22.   Запишите в виде степенной функции главную часть функции, бесконечно малой при х Н* а. [I]
   23.   Приведите примеры функций, графики которых имеют вертикальную, односторонние и двусторонние горизонтальные и наклонные асимптоты. [I]
   24.   Каким условиям удовлетворяет функция, дифференцируемая в полуинтервале [а, &)? [II]
   25.   Убедитесь, что вычисление производной и дифференциала нетривиальной линейной комбинации функций одного действительного переменного является линейной операцией. [II], [III]
   26.   В чем различие между простым и кратным нулями многочлена? Какие комплексные числа называют сопряженными? Каким значениям дискриминанта квадратного трехчлена соответствуют действительные и комплексно сопряженные нули? [I]

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ


◄ и ► — начало и окончание доказательства
Ф — окончание примера, замечания
а Е А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1-1.1
А С В, В D А — множество А включено в множество В (В включает А) 1-1.2
А С В, В D А — множество А включено в множество В или совпадает с ним 1-1.2
N — множество натуральных чисел 1-1.3
Z — множество целых чисел 1-1.3
Q — множество рациональных чисел 1-1.3
Ж — множество действительных чисел 1-1.3
[а, Ь] — отрезок с концами в точках а и b 1-1.3
(а, Ь) — интервал с концами в точках а и b 1-1.3
[а, &), (а, Ь] — полуинтервалы с концами в точках а и b 1-1.3
|х|    — абсолютная величина (модуль) числа х 1-1.3
+оо, —оо — бесконечные точки расширенной (пополненной) числовой прямой 1-1.3
оо — объединение бесконечных точек +оо и —оо 1-1.3
(—оо,+оо), (—оо, а), (Ь,+оо) — бесконечные интервалы 1-1.3
(—оо, а], [&, +оо) — бесконечные полуинтервалы 1-1.3
Зх: ... — существует х такое, что ... 1-1.5
3!х: ... — существует единственное х такое, что ... 1-1.5
Vs — для любого х 1-1.5
у = /(ж) — переменное у — функция переменного х 1-2.1
f(a), /(ж)|  — значение функции /(ж) в точке а 1-2.1