Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

С.В. Галкин

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2007

УДК 517.3(075.8)
ББК 22.161.1+22.161.6

Г16

Г16

Рецензенты: С.А. Агафонов, В.В. Нитусов

Галкин С.В.

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения:

Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. –
164 с.: ил.

Рассмотрены неопределенный и определенный интегралы, несоб
ственные интегралы, приложения определенного интеграла, а также основные уравнения первого порядка, способы снижения порядка
дифференциальных уравнений, линейные уравнения второго и высшего порядков с постоянными и переменными коэффициентами. Приведены основные теоремы линейной теории, примеры решения уравнений с постоянными коэффициентами на метод подбора формы частного решения и метод вариации. Рассмотрены системы дифференциальных уравнений, основы теории устойчивости, а также поведение
траекторий систем в окрестности точек покоя на примерах систем
уравнений с двумя и тремя переменными. Изложены приближенные
методы решения систем дифференциальных уравнений.

Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Ил. 7. Библиогр. 9 назв.

УДК 517.3(075.8)

ББК 22.161.1+22.161.6

Учебное пособие

Сергей Владимирович Галкин

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Редактор О.М. Королева

Корректор Л.И. Малютина

Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать
Формат 60×84/16.
Бумага офсетная.

Печ. л. 10,25. Усл. печ. л. 9,53. Уч.-изд. л. 9,11 Тираж 1500 экз. Изд. № 146.

Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007

10.10.2007.

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x),
если F ′ (x) = f (x).

1.1. Теоремы о первообразных

Теорема. Если функция F (x) — первообразная для функции
f (x), то F (x) + С , где С — константа, — тоже первообразная для
функции f (x).
Д о к а з а т е л ь с т в о: (F (x) + C)′ = (F (x))′ + C′ = f (x).
Теорема. Пусть F (x) , G (x) — две первообразных для функции f (x), тогда они различаются на некоторую константу (F (x) −
−G (x) = C — константа).
Рассмотрим функцию V (x) = F (x) − G (x), она непрерывна
и дифференцируема на всей числовой оси, как и функции F (x),
G (x). Тогда для любых конечных значений x1,x2 (x2 > x1) по формуле конечных приращений Лагранжа получим

V (x2) − V (x1) = V ′ (c) (x2 − x1) =

=
F ′ (c) − G′ (c)
(x2 − x1) = (f (c) − f (c)) (x2 − x1) = 0.

Следовательно, V (x) ≡ C, F (x) − G (x) = C.

Неопределенным интегралом
f (x) dx (интеграл от функции

f (x) по dx) называется совокупность всех первообразных функций
для функции f (x):
f (x) dx = F (x) + C.

3

Функция f (x), стоящая под знаком интеграла, называется подынтегральной функцией, а выражение f (x) dx — подынтегральным выражением.

1.2. Свойства неопределенного интеграла

Свойства неопределенного интеграла можно условно подразделить на две группы. К первой группе относятся свойства, вытекающие из того, что интегрирование — операция, обратная дифференцированию. Во вторую группу собраны свойства линейности. Эти
свойства вытекают из того, что интегрирование, как и дифференцирование, является линейной операцией.
Первая группа свойств:

1)
d
dx

f (x) dx = f (x);

2)

d
dxf (x)dx = f (x) + C;

3) d
f (x) dx
= f (x) dx;

4)
df (x) = f (x) + C.

Докажем первое свойство. Так как
f (x) dx = F (x) + C, то

d
dx

f (x) dx = d
dx (F (x) + C) = dF (x)
dx
= f (x) .

Здесь функция F (x) является первообразной для f (x).

Докажем второе свойство. Обозначим g (x) = df (x)
dx
= f′ (x),

Φ (x) =
g (x) dx. Тогда f′ (x) = g (x), а Φ′ (x) = g (x) по первому
свойству. Поэтому функции Φ (x) , f (x) являются первообразными для функции g (x). Следовательно, по теоремам о первообразных они различаются на константу, т. е. Φ (x) = f (x) + C, или
d
dxf (x) dx = f (x) + C.

4

Третье свойство вытекает из первого: d
f (x) dx
=

=
d
f (x) dx
dx
dx = f (x) dx.
Четвертое свойство следует из второго, если вспомнить, что с
дифференциалом первого порядка можно обращаться как с алгебраическим выражением (свойство инвариантности формы записи
первого дифференциала). Поэтому надо доказать два первых свойства.
Вторая группа свойств:

1)
(f1 (x) + f2 (x)) dx =
f1 (x) dx +
f2 (x) dx — свойство суперпозиции;

2)
λf (x) dx = λ
f (x) dx — свойство однородности.

Доказательства того и другого свойств проводятся аналогично.
Дифференцируем (по свойствам первой группы) левую и правую
части этих равенств, приходим к тождеству. Затем из теорем о первообразных заключаем, что левая и правая части равенств, как первообразные одной и той же функции, различаются на константу. Эта
константа может быть формально включена в неопределенный интеграл в левой или правой части равенства.
Для того чтобы вычислить интеграл от функции, проще всего
найти первообразную для этой функции по таблице для производных, переписав эту таблицу в обратном порядке. Запишем интегралы для основных элементарных функций:
xμdx = xμ+1

μ + 1 + C, μ ̸= −1;

dx
x = ln |x| + C,
− 1
x2

dx = 1
x + C;

dx
2√x = √x + C

(1)

— эти формулы лучше запомнить, они очень часто встречаются;
axdx = ax

ln a + C;
exdx = ex + C;
(2)

5

cos xdx = sin x + C,
sin xdx = − cos x + C,

dx
cos2 x = tg x + C,

dx
sin2 x = − ctg x + C.
(3)
ch xdx = sh x + C,
sh xdx = ch x + C,

dx
ch2 x = th x + C,

dx
sh2 x = − cth x + C.
(4)

Справедливость формул (1) — (4) легко проверить, дифференцируя правую часть соотношения и получая подынтегральную
функцию.
Интегралы (1) — (4) представляют собой часть таблицы интегралов.

2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

2.1. Метод подведения под дифференциал

Пусть известен интеграл
f (x) dx = F (x) + C(F (x), где

F(x) — первообразная для функции f (x)). Тогда
f (ϕ (x)) ×

×ϕ′ (x) dx =
f (ϕ (x)) dϕ (x) = F (ϕ (x)) + C.

Главное здесь «догадаться», как функцию f (x) dx представить
в виде f (ϕ (x)) dϕ (x).

По теореме о сложной функции dF (ϕ (x))
dx
=
dF
dϕ

dϕ
dx
=

= f (ϕ (x)) ϕ′ (x). Следовательно, функции F (ϕ (x)) и
f(ϕ (x))×

×ϕ′ (x) dx являются первообразными для функции f (ϕ (x)) ϕ′ (x)
и (по теоремам о первообразных) различаются на константу.
Метод подведения под дифференциал применяется часто.

6

П р и м е р ы. Вычислим интеграл:
cos (ln x) 1
xdx =
cos (ln x) d (ln x) = sin (ln x) + C;

e− 1
x
x2 dx = −
d
e
1
x
= −e
1
x + C.

2.2. Метод замены переменной

Это универсальный метод. Метод подведение под дифференциал является частным случаем замены переменной.
Теорема. Пусть функция x = u (t) непрерывно дифференцируема в некоторой области и имеет непрерывно дифференцируемую обратную функцию t = u−1 (x). Тогда справедливо равенство
f (x) dx =
f (u (t)) u′ (t) dt, где t = u−1 (x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя обе части равенства,
используя теоремы о производной сложной функции и инвариантность формы записи первого дифференциала, получаем тождество
дифференциалов f (x) dx = f (x) d (u (t)) = f (u (t)) u′ (t) dt, где
t = u−1 (x). Из него следует равенство интегралов в левой и правой частях равенства.
Заметим, что требования к обратной функции нужны, чтобы суметь возвратиться обратно, от переменной t к переменной x.

2.3. Метод интегрирования по частям

Для вычисления интеграла вида
u (x) dv (x), если вместо не
го удобно вычислять интеграл
v (x) du (x), пользуются методом
интегрирования по частям:
u (x) dv (x) = u (x) v (x) −
v (x) du (x).

Предполагается, что интегралы в обеих частях соотношения существуют.

7

Докажем справедливость этой формулы. Дифференцируя произведение функций u(x)v(x), получаем d (u (x) v (x)) = v (x) ×
×du (x) + u (x) dv (x) , или u (x) dv (x) = d(u (x) v (x)) − v (x) ×
×du (x) . Интегралы левой и правой частей последнего равенства

существуют (
d (u (x) v (x)) = u (x) v (x) + C).

Интегрируя это равенство, получим нужное соотношение.
П р и м е р ы. Вычислим интеграл:
ln xdx = x ln x −
xd ln x = x ln x − x + C;
x ln xdx =
ln xd
x2

2

= x2 ln x
2
−
x2

2 d ln x =

= 1
2x2 ln x − 1
4x2 + C;
x cos xdx =
xd sin x = x sin x −
sin xdx =

= x sin x + cos x + C.

Вычислим интегралы
ex cos xdx,
ex sin xdx:

ex sin xdx = −ex cos x +
ex cos xdx;
ex cos xdx = ex sin x −
ex sin xdx.

Теперь, подставляя второй интеграл в первый, получаем
ex sin xdx = 1
2ex (sin x − cos x).

Аналогично, подставляя первый интеграл во второй, получаем
ex cos xdx = 1
2ex (sin x + cos x).

Пополним таблицу интегралов (1) — (4), применяя методы интегрирования:

8

dx
x2 + a2 = 1
a2

dx

1 +

x
a

2 = 1
a

d

x

a

1 +

x
a

2 =

= 1
a arctg x
a + C;
(5)

dx
x2 − a2 = 1
2a

1
x − a −
1
x + a

dx =

= 1
2a (ln |x − a| − ln |x + a|) + C = 1
2a ln
x − a
x + a

+ C;
(6)

dx
√
a2 − x2 =
d

x

a

1 −

x
a

2 = arcsin x
a + C;
(7)

dx
√
x2 + a
=

√
x2 + a dt
√
x2 + a
x +
√
x2 + a
=

dt
t =

= ln |t| + C = ln |x +
x2 + a| + C;
(8)

в (8) выполнена подстановка
√
x2 + a = t − x — одна из подстановок Эйлера;

2x dx

2
√
x2 + a
= dt − dx, dx

x
√
x2 + a
+ 1
= dt,

dx =

√
x2 + a
x +
√
x2 + a
dt;

a2 − x2dx =
a2 cos2 t dt = a2

2

(1 + cos 2t) dt =

= a2

2 t + a2

4 sin 2t + C = a2

2 arcsin x
a + a2

2 2 sin t cos t + C =

= a2

2 arcsin x
a + a2x
2a

1 −

x
a

2
+ C = 1
2x
a2 − x2+

+ a2

2 arcsin x
a + C,
(9)

9

(x = a sin t, dx = a cos tdt);

x2 + A dx = x
x2 + A −
x2
√
x2 + A
dx =

= x
x2 + A −
x2 + A − A
√
x2 + A
dx = x
x2 + A−

−

x2 + A dx +

A
√
x2 + A
dx,
(9a)

u =
x2 + A; dv = dx; du =
xdx
√
x2 + A
; v = x
;

x2 + A dx = 1
2x
x2 + A + A
2 ln |x +
x2 + A| + C;
xdx
a2 ± x2 = ±1
2

d
a2 ± x2a2 ± x2
= ±1
2 ln
a2 ± x2+ C;
(10)
tg xdx =
sin x
cos xdx = −
d cos x
cos x = − ln |cos x| + C;
ctg xdx =
d sin x
sin x = ln |sin x| + C;
(11)

dx
sin x =
2
1 + t2(1 + t2) 2tdt = ln |t| + C = ln
tg x
2

+ C,
(12)

t = tg x
2; sin x = 2 sin x
2 cos x
2 = 2

1

1 + 1
t2

1
1 + t2 =
2t
1 + t2 ;

cos x = cos2 x
2 − sin2 x
2 =
1
1 + t2 −
1

1 + 1
t2
= 1 − t2

1 + t2 ;

x = 2 arctgt, dx =
2
1 + t2 dt
;

dx
cos x = ln
tg

x
2 + π
4

+ C.
(13)

Интеграл (13) предлагается вывести самостоятельно.
Соотношения (1) — (13) представляют собой таблицу основных
интегралов.

10