Дифференциальные уравнения математической физики. Вып. 12

МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ


= Uₜₜ AU = Uₜ AU = 0


XII



Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов



ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ








Издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана

Математика в техническом университете

                       Выпуск XII

Серия удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год

Комплекс учебников из 21 выпуска


Под редакцией В. С. Зарубина и А.П. Крищенко

I. Введение в анализ
II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V.  Дифференциальное исчисление функций многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X. Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования и операционное исчисление
XII. Дифференциальные уравнения математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики XIV. Методы оптимизации
XV.  Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI. Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX.  Исследование операций
XXI. Математическое моделирование в технике

Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов




ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Под редакцией д-ра техн, наук, профессора В.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Издание третье, исправленное

Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высш,их технических учебных заведений






Москва Издательство МГТУ им. И. Э. Баумана 2006

УДК 517.946(075.8)
ББК 22.311

    М29


Рецензенты: Ю.А. Дубинский, Э.М. Карташов



    Мартинсон Л. К.
М29 Дифференциальные уравнения математической физики : учеб. для вузов / Л. К. Мартинсон, Ю. И. Малов; под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. - Изд. 4-е, стер. - М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. - 367, [1] с. : ил. - (Математика в техническом университете; вып. XII).

     ISBN 978-5-7038-3539-5 (Вып. XII)
     ISBN 978-5-7038-2484-2

        Рассмотрены различные постановки задач математической физики для дифференциальных уравнений и частных производных и основные аналитические методы их решения, проанализированы свойства полученных решений. Изложено большое число линейных и нелинейных задач, к решению которых приводит исследование математических моделей различных процессов в физике, химии, биологии, экологии и др.
        Содержание учебника соответствует курсу лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
        Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.


УДК 517.946(075.8)
ББК 22.311






                                        © Мартинсон Л. К., Малов Ю. И., 2006, с изменениями

                                       © Мартинсон Л. К., Малов Ю. И., 2011


ISBN 978-5-7038-3539-5 (Вып. XII) ISBN 978-5-7038-2484-2

© Оформление. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ


    Предлагаемый учебник — один из выпусков серии “Математика в техническом университете”, ориентированной на студентов технических университетов. Введение, раздел I и приложения книги написаны авторами совместно, разделы II и III - Л.К. Мартинсоном.
    Объем знаний, необходимый для понимания содержания книги, не выходит за рамки стандартов по математической подготовке в технических вузах и университетах и предполагает уверенное владение материалом таких разделов математики, как векторный анализ и элементы теории поля, ряды Фурье, теория функций комплексного переменного, обыкновенные дифференциальные уравнения, интегральные преобразования. Для проверки готовности читателя к изучению данного выпуска рекомендуется выполнить задания, приведенные в начале книги.
    Расположение материала в трех разделах учебника соответствует трем уровням сложности. Изучение каждого последующего раздела предполагает проработку предыдущего. В полном объеме материал может быть использован для подготовки студентов высшего уровня инженерной квалификации и студентов по специальности “Прикладная математика”.
    Каждая глава учебнике заканчивается вопросами и задачами, которые рекомендуется решить самостоятельно для закрепления теоретического материала. В полном объеме работу на семинарах по курсу можно проводить с использованием пособия В..VI. Будака, А.А. Самарского, А.Н. Тихонова “Сборник задач по математической физике” (М., 1972).
    Ссылки на другие выпуски серии “Математика в техническом университетек” в книге даны римскими цифрами. Список рекомендуемой литературы не претендует на полноту и может быть полезен для дальнейшего изучения проблем, затронутых в настоящей книге.
    Авторы выражают свою благодарность проф. В.С. Зарубину за редакторскую работу и ценные замечания по структуре книги, которые были учтены в окончательной редакции.

Предисловие

Задания для самопроверки


    _ „                   .        , . ? . ₓ-f
    1. Найдите производную функции у (ж) = J sm—- d£. [VII] О а

    2.     Для функции и = 1/г, где г = \/'ж² + у² + г² , найдите вектор gradn в точке Mq(xq, yg, zq). [VII]
    3.     Для заданных скалярной функции у?(ж, у, z) и векторного поля 7^(х, у, z) запишите следующие операции векторной алгебры: div(y?7^), rot (у? "it’), div grad у?, rot rot 7^. [VII]
    4.     Применяя формулу Остроградского, найдите поток вектора 7^ = х~г+у^+z к через поверхность сферы х²+у²+z² = = R². [VII]
    5.     Найдите решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка у' + у = f (ж), удовлетворяющее начальному условию у(0) = уд. [VIII]
    6.     Найдите решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка у" + у = /(ж), удовлетворяющее начальным условиям у(0) = у® и у'(0) = у®. [VIII]
    7.     Найдите решение дифференциального уравнения у" — — а²у = 0, удовлетворяющее граничным условиям у(0) = 0 и у(1) = 1. [VIII]
    8.     Найдите коэффициенты разложения функции и(х) = х на отрезке [0, 1] в тригонометрический ряд Фурье по косинусам. [IX]
    9.     Найдите коэффициенты разложения функции u(x) = 1 на отрезке [0, 1] в тригонометрический ряд Фурье по синусам. [IX]
    10.     Является ли функция комплексного переменного f(z) = = z*, где символом * обозначено комплексное сопряжение, аналитической функцией? [X]
    11. Восстановите функцию n(t), если ее изображение по

Лапласу имеет вид п(р) =

е~рт р² + 1

т = const. [XI]

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ


Геометрические объекты и функциональные пространства

         --- евклидово пространство размерности N 1.1         
£2(ф     --- пространство функций, квадратично интегрируе-    
         мых с некоторым весом П2                             
м        --- точка пространства     В1                        
Гмм0     --- расстояние между точками М и Mq 3.2              
У, О.    --- области в пространстве 913 (в большинстве случаев
         ограниченные) 1.3                                    
S, Ш     --- границы областей в пространстве 913 2.1          
D„Q      --- области в пространстве 912 3.3                   
С, Г     --- границы областей в *Н2 3.3                       
и(М, t)  --- искомая функция, решение уравнения (задачи) ма-  
         тематической физики В1                               
INI      --- норма функции и В1                               
ж, у, Z  --- декартовы координаты В1                          
г        --- радиальная координата 3.2                        
t        --- временная переменная В1                          
         Символы обозначения производных                      
Г =^L    у" =    --- производные функции у(х) 1.6             
J - dx'- _ д2и   _ ди    „„„  „„„„„„                          
_ ди     , ихх =    ut =   --- частные производные функции    
Ux = Wx  и(х, t) Bl                                           
L[u] --- дифференциальный оператор П2                  
     --- оператор физической величины в квантовой меха     нике 7.4                                          
A    --- оператор Лапласа В1                           
△2   --- двумерный оператор Лапласа 6.1                

Основные обозначения

^O,ip — угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах 7.3
□      — оператор Даламбера 6.4

Обозначения специальных функций
Г(ж)   — гамма-функция Эйлера 8.3
В (ж, у) — бета-функция 8.4
Дп(ж) — функция Бесселя n-го порядка 5.2
^(ж) — функция Неймана n-го порядка 5.2
Рп(ж) — полином Лежандра 4.3
/’/"(./:) — присоединенные функции Лежандра 7.3
Нп(х) — полином Чебышева - Эрмита 7.2
Ьр(ж) — обобщенный полином Чебышева - Лагерра 7.3
      у?) — сферическая функция 7.3
6(ж)   — обобщенная дельта-функция 1.4
<5дг(М, Mq) — двумерная или трехмерная дельта-функция 3.2

Физические константы
е = 1,6 • 10⁻¹⁹ Кл — элементарный электрический заряд
с = 2,99 • 10⁸ м/с — скорость света в вакууме
б = 1,05-10⁻³⁴Дж-с — рационализированная постоянная Планка
к = 1,38 • 10⁻²³ Дж/К — постоянная Больцмана
eq = 8,85 • 10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная
уо = 1,26 • 10⁻⁶ Гн/м — магнитная постоянная

ВВЕДЕНИЕ


Bl. Задачи математической физики

    Исторически большинство математических моделей, в основе которых лежат дифференциальные уравнения в частных производных, были разработаны для решения задач, описывающих физические процессы прежде всего в гидродинамике, аэромеханике и электродинамике. Как удачно пошутил по этому поводу Дж. Литлвуд, объектами прикладной математики являются “вода, газ и электричество”. Именно поэтому в приложениях дифференциальные уравнения в частных производных получили название уравнений математической физики.
    В настоящее время с помощью таких уравнений моделируют процессы различной природы: физические, химические, биологические, экологические, экономические и др. Широкое применение методы математической физики находят и при решении инженерных задач.
    Такая информационная емкость, или, как говорил А.Д. Сахаров, “всесилие”, уравнений математической физики обусловлена тем, что в их основе лежат фундаментальные законы природы, такие, например, как законы сохранения, связанные с симметрией пространства и времени. Именно благодаря этому такие, на первый взгляд, различные процессы, как распространение теплоты в сплошной среде, диффузия химических компонентов, проникновение магнитного поля в хорошо проводящую среду и распространение волн эпидемий, можно описать одинаковыми по форме уравнениями.
    Трудно даже сначала представить, что, например, уравнение Лапласа Дм = 0, занимающее в типографской строчке меньше места, чем знаменитое 2x2 = 4, позволяет теоретически описать практически все многообразие электростатических полей в природе и исследованию методов решения только этого уравнения математической физики посвящены многие монографии.