Дифференциальные уравнения. Вып. 8

МАТЕМАТИКА
В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ


dx
— = A(t)x,
VAJ L

t
VT(£) = VK(£o)exp j trA(r)(/r to

C.A. Агафонов,

А.Д. Герман, T.B. Муратова



ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ






Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана

Математика в техническом университете

                       Выпуск VIII

Серия удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год

Комплекс учебников из 21 выпуска


Под редакцией В.С. Зарубина и А.П. Крищенко

I. Введение в анализ
II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X. Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования и операционное исчисление
XII. Дифференциальные уравнения математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики XIV. Методы оптимизации
XV.  Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI. Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX.  Исследование операций
XXI. Математическое моделирование в технике

С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Под редакцией д-ра техн, наук, профессора В.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Издание четвертое, исправленное

Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений









Москва Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана 2006

УДК 517.9(075.8)
ББК 22.161.6
      А23
     Рецензенты: доц. Э.Р. Розендорн, проф. А.М. Седлецкий
А23 Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб, для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - 4-е изд., исправл. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 352 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. VIII).

         ISBN 5-7038-2796-5 (Вып. VIII)
         ISBN 5-7038-2484-2

         Изложены основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и даны основные понятия об уравнениях с частными производными первого порядка. Авторы стремилисв объединитв строгости изложения теории дифференциальных уравнений с прикладной направленностью ее методов. В связи с этим приведены многочисленные примеры из механики и физики. Отдельная глава посвящена линейным ОДУ второго порядка, к которым приводят многие прикладные задачи. Главу, посвященную изложению численных методов, следует рассматривать как вводную.
         Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
         Для студентов технических университетов и вузов. Может быть полезен интересующимся прикладными задачами теории дифференциальных уравнений.
Ил. 60. Табл. 1. Библиогр. 41 назв.

                                                   УДК 517.9(075.8)
                                                   ББК 22.161.6

ISBN 5-7038-2796-5 (Вып. VIII)
ISBN 5-7038-2484-2

© С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова, 2000;
   2006, с изменениями
© Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2000;
   2006, с изменениями
© Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000;
   2006, с изменениями

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Этот выпуск серии учебников „Математика в техническом университете “ посвящен изложению теории, методов решения и качественного исследования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Цель издания — помочь студентам в освоении теории и приобретении практических навыков решения ОДУ, широко используемых при описании явлений и процессов в различных областях естествознания и техники.
   С развитием науки и техники узкоспециальные знания имеют тенденцию к быстрому устареванию. Поэтому для решения постоянно возникающих новых задач инженеры должны обладать хорошей подготовкой в области таких фундаментальных наук, как математика, физика, механика. Такая подготовка служит базой для быстрого усвоения и овладения новыми перспективными научными и техническими направлениями. В связи с этим авторы сконцентрировали внимание на постановке и решении приводящих к ОДУ задач из механики и физики, достаточно часто встречающихся в инженерной практике.
   Содержание учебника полностью охватывает программу курса „Обыкновенные дифференциальные уравнения“ для технических университетов и вузов с углубленной программой изучения математики. Помимо изложения основ теории ОДУ в учебнике приведены краткие сведения об уравнениях с частными производными первого порядка.
   Этот выпуск тесно связан с предыдущими выпусками серии „Математика в техническом университете“. При использовании в этом выпуске сведений и понятий из других выпусков даны соответствующие ссылки. Например, [II, 4.1] означает ссылку на первый параграф четвертой главы второго выпуска. Выделение в тексте какого-либо термина светлым курсивом, указывает на то, что в данном параграфе он отнесен к ключе

ПРЕДИСЛОВИЕ

вым словам и читателю для понимания излагаемого материала должно быть известно значение этого термина. Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя, помещенного в конце книги, необходимую страницу, на которой используемый термин строго определен или описан (на этой странице он выделен полужирным курсивом). Следует иметь в виду, что в предметный указатель все термины входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже). Если в предметном указателе против термина стоит римская цифра, то это означает, что данный термин введен и описан в выпуске с соответствующим номером. В таком случае светлым курсивом указана страница этой книги, содержащая некоторые пояснения.
   Ссылки в тексте на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (1.2) — вторая формула в первой главе, (рис. 4.1) — первый рисунок в четвертой главе), тогда как (см. 2.3) отсылает читателя к третьему параграфу второй главы, а (см. Д.12.1) — к первому дополнению двенадцатой главы этой книги.
   Большинство используемых в этой книге обозначений введено в [I]. Они помещены в следующем за предисловием перечне, где наряду с их краткой расшифровкой дана ссылка, позволяющая найти более подробное объяснение по каждому из обозначений. В конце перечня даны написание и русское произношение входящих в формулы букв латинского и греческого алфавитов. Список рекомендуемой литературы помещен перед предметным указателем в конце книги.
   Перед чтением этого выпуска целесообразно в целях самоконтроля выполнить следующие несложные задания. В конце каждого задания римской цифрой отмечен номер того выпуска, в котором при возникновении затруднений можно найти все необходимые сведения. Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать известными (в основном тексте книги эти термины не выделены и не входят в предметный указатель).

Задания для самопроверки

   1.    Запишите при помощи символов включения связь между множествами С комплексных чисел, Ж действительных чисел, Z целых чисел и N натуральных чисел. Что такое абсолютное значение действительного числа и модуль комплексного числа? [I]
   2.    Дайте геометрическую интерпретацию неравенства треугольника. [I]
   3.    Какие из промежутков числовой прямой Ж имеют общие точки: отрезок [а, &], интервал (&, с), полуинтервал (а, с], бесконечный интервал (—оо, Ь) и бесконечный полунтервал [Ь, +оо)? Есть ли общая точка у всех этих промежутков? При помощи символа принадлежности укажите, какие из этих промежутков содержат точку с. [I]
   4.    Что называют критерием некоторого утверждения? [I]
   5.    Из каких этапов состоят доказательства от противного и по методу математической индукции? [I]
   6.    Укажите область определения (существования) и область значений и постройте графики однозначных ветвей многозначной действительной функции у² = 1/х одного действительного переменного х. [I]
   7.    Сформулируйте определения предела, производной и дифференциала скалярной функции действительного переменного в точке. Всякая ли функция, непрерывная в точке, является дифференцируемой в этой точке? Каковы свойства функции, непрерывной на отрезке? [I], [II]
   8.    При выполнении каких условий у функции у = /(ж) существует дифференцируемая обратная функция х = /⁻¹(у) и как связаны между собой производные этих функций? Как вычислить производную сложной функции и функции, заданной параметрическим способом? [I], [II]
   9.    Изобразите годограф двумерной вектор-функции r(t) скалярного аргумента t, если ее координатными функциями являются ж(£)=£ и y(t) = t². [II]

ПРЕДИСЛОВИЕ

   10.   Как вводят в n-мерном евклидовом (векторном) пространстве Ж” декартову систему координат? В каком случае совпадают координаты точки и вектора в этом пространстве? Что такое радиус-вектор? [II], [IV]
   11.   Запишите выражение для линейной комбинации п векторов и сформулируйте определения линейно зависимой и линейно независимой системы векторов. [Ш], [IV]
   12.   Перечислите основные свойства определителя квадратной матрицы. Запишите выражение для производной определителя, элементы которого являются действительными функциями одного действительного переменного. [II], [III]
   13.   Как задать матрицу линейного преобразования? Что называют собственным вектором, собственным значением и характеристическим уравнением такого преобразования? [IV]
   14.   При каком условии однородная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет ненулевое решение? Как найти решение такой СЛАУ? [III]
   15.   Сформулируйте критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. [IV]
   16.   Каковы условия существования и дифференцируемости неявной векторной функции векторного аргумента? Что такое частная производная этой функции? [V]
   17.   Как направлен вектор градиента скалярной функции векторного аргумента по отношению к ее поверхности или линии уровня? [V]
   18.   Что называют неопределенным интегралом? Напишите формулу Ньютона — Лейбница. Чему равна производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу? [VI]
   19.   Сколько нулей имеет многочлен степени п? Каким числовым множествам могут принадлежать эти нули? В чем различие между простым и кратным нулем? [I]

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ


◄ и ► — начало и окончание доказательства
Ф — окончание примера или замечания
а Е А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) I, 1.1
а А — элемент а не принадлежит множеству А (множество А не содержит элемент а) I, 1.1
А = {а, Ь, с} — множество А состоит из элементов а, Ь, с I, 1.1
А = {ж: ...} — множество А состоит из элементов х, обладающих свойством, указанным после двоеточия I, 1.1
А (Z В, В D А — подмножество А включено в множество В (В включает А) I, 1.2
А С В, В Е) А — подмножество А включено в множество В или совпадает с ним I, 1.2
N — множество натуральных чисел I, 1.3
Z — множество целых чисел I, 1.3
Q — множество рациональных чисел I, 1.3
Ж      — множество действительных чисел    I, 1.3
Ж      — расширенная числовая прямая I, 1.3
[а, Ь] — отрезок с концами в точках а и b  I, 1.3
(а, Ь) — интервал с концами в точках а и b I, 1.3
[а, &), (а, Ь] — полуинтервалы с концами в точках а и b I, 1.3
|х|    —абсолютное значение числа ж 1,1.3
+оо, —оо — бесконечные точки расширенной числовой пря         мой I, 1.3
оо — объединение бесконечных точек +оо и —оо I, 1.3