Дифференциальное исчисление функций одного переменного. Вып. 2

Комплекс учебников удостоен
Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год




МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ


Выпуск 2

Комплекс учебников
«Математика в техническом университете» из 21 выпуска



1. Введение в анализ
2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
3. Аналитическая геометрия
4. Линейная алгебра
5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
6. Интегральное исчисление функций одного переменного
7. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
8. Дифференциальные уравнения
9. Ряды
10. Теория функций комплексного переменного
11. Интегральные преобразования и операционное исчисление
12. Дифференциальные уравнения математической физики
13. Приближенные методы математической физики
14. Методы оптимизации
15. Вариационное исчисление и оптимальное управление
16. Теория вероятностей
17. Математическая статистика
18. Случайные процессы
19. Дискретная математика
20. Исследование операций
21. Математическое моделирование в технике

Е.Е. ИВАНОВА




ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО


Под редакцией
д-ра техн. наук, профессора B.C. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений

6-е издание








Москва
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МГТУ им. Н. Э. Баумана
2 0 17

УДК 517.2.221(075.8)
ББК 22.161.1
    И20

Рецензенты:
доцент Л.Н. Каролинская, доцент Н.В. Копченова

    Иванова, Е. Е.
И20 Дифференциальное исчисление функций одного переменного : учебник для вузов / Е. Е. Иванова ; под ред. B. C. Зарубина, А. П. Крищенко. — 6-е изд. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 407, [1] с. : ил. — (Математика в техническом университете ; вып. 2).

    ISBN 978-5-7038-3845-7
    ISBN 978-5-7038-4631-5 (вып. 2)

       Книга является вторым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете». Знакомит читателя с понятиями производной и дифференциала, с их использованием при исследовании функций одного переменного. Большое внимание уделено геометрическим приложениям дифференциального исчисления и его применению к решению нелинейных уравнений, интерполированию и численному дифференцированию функций. Приведены примеры и задачи физического, механического и технического содержания.
       Содержание учебника соответствует курсу лекций, который читается в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
       Для студентов технических вузов. Может быть полезна преподавателям и аспирантам.




УДК 517.2.221(075.8)
                                           ББК 22.161.1





                                © Иванова Е.Е., 1998
                                © Иванова Е.Е., 2006, с изменениями
ISBN 978-5-7038-4631-5 (вып. 2) © Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-3845-7            МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017

                ПРЕДИСЛОВИЕ




  Дифференциальное исчисление является одним из основных разделов математического анализа и служит инструментом исследования функций. В этой книге (втором выпуске комплекса учебников „Математика в техническом университете“) предметом исследования будут лишь функции одного действительного переменного, что и определяет ее название.
  Решающие шаги в создании дифференциального исчисления функций одного переменного сделали в XVII в. И. Ньютон и Г. Лейбниц. В современном представлении теоретическую основу дифференциального исчисления (и вообще математического анализа) составляет теория пределов. Используемые в этой книге сведения из теории пределов можно найти в изданном в 1996 г. и названном „Введение в анализ“ первом выпуске упомянутого комплекса учебников.
  В тексте книги имеются ссылки на другие выпуски комплекса учебников. Такой ссылкой служит номер выпуска. Например, [I, 7.5] означает, что имеется в виду пятый параграф седьмой главы в первом выпуске. Ссылки без римских цифр относятся только к этому, второму, выпуску. Так, (см. 1.2) отсылает читателя ко второму параграфу первой главы, а (см. Д.4.1) — к первому дополнению четвертой главы этой книги. Ссылки на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (2.1) — первая формула в главе 2, (рис. 1.5) — пятый рисунок в главе 1).
  Большинство используемых в этой книге обозначений введено в [ I ]. Они помещены в следующем за предисловием перечне основных обозначений, где наряду с их краткой расшифровкой указаны глава и параграф, в которых можно найти более подробное объяснение по каждому из обозначений. После этого перечня приведены написание и русское произношение входящих в формулы букв латинского и греческого алфавитов.

ПРЕДИСЛОВИЕ

   В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, включающий в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) термины, значения которых необходимо знать читателю для понимания излагаемого материала. За каждым термином следует страница, на которой он строго определен или описан и выделен в тексте полужирным курсивом. Если термин введен в другом выпуске, то дана ссылка на этот выпуск (например, III означает ссылку на третий выпуск, а 1-312 — на страницу 312 первого выпуска), а также указана курсивом страница предлагаемой книги, на которой имеются некоторые пояснения к этому термину.
   Ключевые слова, важные для понимания содержания, при первом упоминании в каждом параграфе выделены светлым курсивом,. Значение этих слов читатель может уточнить при помощи предметного указателя.
   Перед чтением этой книги нужно в целях самоконтроля выполнить следующие несложные задания. При возникновении затруднений все необходимые сведения можно найти в [I]. Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать известными (в основном тексте книги эти термины не выделены и не входят в предметный указатель).

Задания для самопроверки

   1.   Какие числа принадлежат множествам N, Z, Q, Ж и Ж\Q ? Что такое абсолютное значение (модуль) числа?
   2.   Каков ход доказательства по методу математической индукции ?
   3.   Запишите обозначения промежутков числовой прямой: интервала, отрезка, полуинтервала, бесконечных интервала и полуинтервала.
   4.   Изобразите на числовой прямой окрестности конечной и бесконечной точек расширенной числовой пря

мой. В чем отличие этих окрестностей от проколотых

окрестностей и полуокрестностей.

   5.   Укажите области определения (существования) и значений и постройте графики однозначных ветвей многозначной функции у² = 1/х.

   6.   Охарактеризуйте явный и неявный аналитические, параметрический, графический, табличный, алгорит

мический и словесный способы задания функции. При

ведите примеры составной, четной, нечетной и периоди

ческой функций.

   7.   Какими свойствами обладают сходящиеся последовательности ? Сформулируйте признак Вейерштрасса схо

димости последовательности.
   8.   Сформулируйте и запишите в символическом виде определения (по Гейне и по Коши) конечного предела функции в точке аЕR

   9.   Выполните задание 8, когда аргумент функции стремится к бесконечной точке расширенной числовой прямой.
   10.   Приведите пример функции, ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки а, но не имеющей предела в этой точке.
   11.   Сформулируйте теорему о связи предела функции в точке с односторонними пределами функции в этой точке.
   12.   Определена ли функция 2s²/sins в точке х = 0? Существует ли в этой точке предел рассматриваемой функции?
   13.    При каком изменении аргумента функции sins, 1/х являются бесконечно малыми, а функции ж², ctgs — бесконечно большими ?
   14.   Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями? При каких условиях произведение двух функций является бесконечно малой функцией ?
   15.   Сформулируйте теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции.
   16.   Запишите выражения для первого и второго замечательных пределов.

ПРЕДИСЛОВИЕ

   17.  Какова связь между приращением функции и приращением ее аргумента для функции, непрерывной в точке и непрерывной в этой точке только слева ?
   18.  При выполнении каких условий сложная функция (суперпозиция функций) непрерывна в точке ?
   19.  Приведите примеры функций, имеющих точки : а) разрыва первого рода; б) устранимого разрыва; в) разрыва

второго рода.
   20.   Приведите примеры функций, непрерывных в интервале (а, &), но не являющихся непрерывными на отрезке [а, &]. Сформулируйте свойства функции, непрерывной на отрезке [а, &]. Сохраняет ли эти свойства функция, непрерывная лишь в интервале (а, &)?

   21.  Перечислите основные элементарные функции. Какие из этих функций определены и непрерывны на всем множестве действительных чисел ? Какие функции относят к классу элементарных функций ? Входят ли в этот класс

гиперболические тангенс и котангенс ?
   22.  В чем различие между монотонной и строго монотонной в некотором промежутке функциями ? Каковы условия

существования в нем непрерывной и строго монотонной фун

кции, обратной заданной функции? Изобразите графики

возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубыва

ющей в промежутке функций.

   23.   Приведите примеры бесконечно малых при х-Л/ функций: а) одного порядка; б) более высокого порядка малости; в) первого порядка малости; г) несравнимых; д) эквивалентных. Сформулируйте свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
   24.  Каков смысл символов „о малое“ и О болыпое“?
   25.   Запишите в виде степенной функции главную часть функции, бесконечно малой при х Л- а.
   26.  Приведите примеры функций, графики которых имеют

вертикальную, односторонние и двусторонние горизон

тальные и наклонные асимптоты.

                ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ





◄ и ► — начало и окончание доказательства
Ф — окончание примера, замечания
а Е А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) I, 1.1
А = {а, Ь, с} — множество А состоит из элементов а, Ь, с I, 1.1
А (Z В, В D А — подмножество А включено в множество В (В включает А) I, 1.2
А С В, В Е) А — подмножество А включено в множество В или совпадает с ним I, 1.2
N — множество натуральных чисел I, 1.3
Z — множество целых чисел I, 1.3
Q — множество рациональных чисел I, 1.3
Ж      — множество действительных чисел I, 1.3
[а, Ь] — отрезок с концами в точках а и b I, 1.3
(а, Ь) — интервал с концами в точках а и b I, 1.3
[а, &), (а, Ь] — полуинтервалы с концами в точках а и b I, 1.3
|х|    — абсолютное значение числа х I, 1.3
+оо, —оо — бесконечные точки расширенной (пополненной) числовой прямой I, 1.3
оо — объединение бесконечных точек +оо и —оо I, 1.3
(—оо,+оо), (—оо,а), (Ь,+оо) — бесконечные интервалы 1,1.3
(—оо, а], [&, +оо) — бесконечные полуинтервалы I, 1.3
и(жо) — окрестность точки xq I, 1.3, I, 5.2
и(жо, е) — е-окрестность точки xq I, 1.3,1, 5.2
А => В — из высказывания А следует В (А — достаточное условие В, а В — необходимое условие А) I, 1.5

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

АааВ — высказывания Ли В равносильны I, 1.5
       — утверждение справедливо по определению I, 1.5
Эх :   — существует такое ж, что ... I, 1.5
Э!.г : ... — существует единственное ж, такое, что ... I, 1.5
~$х : ... — не существует ж, такого, что ... I, 1.5
Vs — для любого х I, 1.5
  А' — Г — отображение f множества X в (или на) множество Y I, 2.1; 10.1
у = /(ж) — переменное у — функция переменного х I, 2.1 /(а) ⁼ /(Ж)|ж_а — значение функции /(ж) в точке а I, 2.1 х = /⁻¹(у) — функция, обратная к функции y = f(x) 1,2.3;
          11.1
М(х, у) — точка М плоскости с координатами х (абсцисса) и У (ордината) I, 2.5
п
   (ik — сумма п слагаемых ах, ..., а^, ..., ап I, 2.6
к=1
п
П От — произведение п сомножителей ах, ..., ата, ..., ап m⁼¹ I, 2.6
к = 1, п — число к принимает последовательно все значения из множества N от 1 до п включительно I, 2.6
О
U (а)  — проколотая окрестность точки а 1,7
О
U (а, <5) — проколотая ^-окрестность точки а 1,7
х -А а — переменное х стремится к точке а I, 7.1
lim / (ж) — предел функции /(ж) в точке а (при хАа) I, 7.1 х— о      о
U_(a) и и_|_(а) — проколотые левая и правая полуокрестности точки а I, 7.2
/(а + 0) — предел справа функции /(ж) в точке а I, 7.2
f(a — 0) — предел слева функции /(ж) в точке а I, 7.2
Хх и Ду = А/(ж) — приращения аргумента х и функции у = = f(x) 1,9.1; 1.2