Введение в анализ. Вып. 1

Комплекс учебников удостоен
Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год




МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ



Выпуск 1

Комплекс учебников
«Математика в техническом университете» из 21 выпуска


1. Введение в анализ
2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
3. Аналитическая геометрия
4. Линейная алгебра
5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
6. Интегральное исчисление функций одного переменного
7. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
8. Дифференциальные уравнения
9. Ряды
10. Теория функций комплексного переменного
11. Интегральные преобразования и операционное исчисление
12. Дифференциальные уравнения математической физики
13. Приближенные методы математической физики
14. Методы оптимизации
15. Вариационное исчисление и оптимальное управление
16. Теория вероятностей
17. Математическая статистика
18. Случайные процессы
19. Дискретная математика
20. Исследование операций
21. Математическое моделирование в технике

В.Д. МОРОЗОВА




ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ




Под редакцией
д-ра техн. наук, профессора B.C. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений

6-е издание








Москва
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МГТУ им. Н. Э. Баумана
2 0 16

УДК 517.1(075.8)
ББК 22.161
    М80

Рецензенты:
академик РАН В.А. Садовничий; доцент Н.В. Копченова



     Морозова, В. Д.
М80    Ведение в анализ : учебник для вузов / В. Д. Морозова ; под
     ред. B. C. Зарубина, А. П. Крищенко. — 6-е изд. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. — 407, [1] с. : ил. — (Математика в техническом университете ; вып. 1).

     ISBN 978-5-7038-3845-7
     ISBN 978-5-7038-4408-3 (вып. 1)

       Книга является первым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете», состоящего из двадцати одного выпуска. Знакомит читателя с понятиями функции, предела, непрерывности, которые являются основополагающими в математическом анализе и необходимыми на начальном этапе подготовки студента технического университета.
       Отражена тесная связь классического математического анализа с разделами современной математики (прежде всего с теорией множеств и непрерывных отображений в метрических пространствах).
       Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
       Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.

УДК 517.1(075.8)
                                        ББК 22.161

                             © Морозова В.Д., 2000
                             © Морозова В.Д., 2014, с изменениями
ISBN 978-5-7038-4408-3 (вып. 1) © Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-3845-7         МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016

                К ЧИТАТЕЛЮ





   Математика зародилась в глубокой древности и к настоящему времени проникла в той или иной степени во многие сферы человеческой деятельности. Математические методы давно и успешно использовались в таких точных науках, как механика, физика, астрономия, находили широкое применение в технике. В последнее время существенно расширилось приложение математики к экономике, химии, биологии, медицине, психологии, лингвистике, социологии и другим гуманитарным наукам. Стали привычными неожиданные на первый взгляд сочетания слов: „математическая экономика“, „математическая биология “, „математическая лингвистика“, но экспансия математики продолжается, и это теперь уже не вызывает удивления. Деятельность же современного инженера просто немыслима без прочного и всестороннего союза с математикой.
   Чем же объяснить такую большую роль, которую играет в жизни человеческого общества столь абстрактная и, казалось бы, оторванная от реальности наука?
   Проявление человеческого интеллекта в любой конкретной области обычно связано не только с рассмотрением качественных особенностей различных объектов, явлений и процессов, но и с анализом их пространственных и количественных характеристик, для описания и изучения которых необходим общий метод. Именно такой метод, пригодный для самых разнообразных приложений, дает математика. Это достаточно четко сформулировал Фридрих Энгельс: „ Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира“.
   Надо сказать, что современная математика уже переступила через эту формулировку: она может оперировать такими

К ЧИТАТЕЛЮ

объектами и отношениями между ними, которые нельзя представить ни числами, ни геометрическими образами. „ Чистые “ математики, движимые внутренней логикой развития своей науки, нередко приходили к теоретическим построениям, которые не сразу обретали практическую интерпретацию. Так, греческие математики изучали свойства эллипса почти за две тысячи лет до того, как немецкий астроном Иоганн Кеплер использовал эти свойства в законах движения планет. В теории относительности Альберт Эйнштейн нашел первое применение результатам, которые были получены математиками примерно за полстолетия до него. Русский ученый Е.С. Федоров и немецкий математик А. Шенфлис на основе представлявшейся чисто умозрительной теории групп решили задачу классификации всех возможных кристаллических решеток.
   Суть общего метода математики состоит в том, что для конкретного изучаемого объекта строят или используют готовую математическую модель в виде формул, уравнений, геометрических образов или логических соотношений и затем средствами математического аппарата анализируют ее. Результаты такого анализа проверяют сопоставлением с реальностью и в случае расхождения уточняют математическую модель или отказываются от нее и строят новую. Этапы развития многих естественно-научных направлений в познании законов природы и в совершенствовании техники — это, по существу, построение последовательности все более точных и более полных математических моделей изучаемых явлений. В связи с этим интересны как высказывание Чарлза Дарвина: „ У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных “, так и замечание Карла Маркса о том, что любая наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой.
   Отвечающая реальности (адекватная) математическая модель — большое научное достижение. Она позволяет провести детальный анализ изучаемого объекта и дать надежный про

гноз его поведения в различных условиях. Но за адекватность математической модели нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности при ее использовании. В этом случае на помощь математике приходит современная вычислительная техника, существенно расширившая класс математических моделей, допускающих исчерпывающий количественный анализ.
   Одни и те же математические модели находят подчас совершенно различные приложения. Известно, что закон взаимодействия двух электрических зарядов и закон притяжения двух масс выражаются формулами с одинаковой структурой. При помощи одной и той же математической модели можно изучать течение жидкости, распространение теплоты, распределение электрического потенциала, деформацию мембраны, напряжения при кручении бруса, фильтрацию нефти в нефтеносном слое или влаги в почве, распространение какой-либо примеси в воздухе или эпидемии в регионе. Благодаря общности математических моделей возникает „родство“ между различными отраслями знаний, что ускоряет их совместное развитие.
   Такая общность объясняется тем, что в математике используют абстрактные основополагающие понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содержанию. Это позволяет конкретные факты из самых различных областей знаний рассматривать как проявление этих понятий и отношений между ними. Совокупность таких понятий и отношений, выраженных при помощи системы символов и обозначений, образует, по существу, универсальный язык науки. Его универсальность французский математик Анри Пуанкаре выразил одной фразой: „Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем “. Вместе с тем именно абстрактность математики создает определенные трудности при ее изучении и использовании, хотя эти трудности часто преувеличивают. А.И. Герцен считал, что трудных наук нет, есть только трудные изложения.

К ЧИТАТЕЛЮ

   Есть две крайние точки зрения на то, как лучше осваивать математику. Они связаны с двумя основными аспектами этой науки. В процессе своего становления математика накапливала разрозненные факты и обобщала их в виде все более полных теорий, двигаясь по индукции (латинское слово inductio — наведение) от частного к общему. Но уже сформировавшиеся разделы математики строят по дедукции (от латинского de-ductio — выведение), начиная с общих понятий и положений и строго логически выводя из них следствия.
   Можно изучать математику индуктивным путем, следуя ее основным этапам развития. Такой пологий подъем легче и очень увлекателен, так как позволяет пережить драму и столкновение идей, которые послужили зародышем многих математических открытий и прорывов в новые области математики. Но это путь изучения скорее не математики, а ее истории. Он не рационален для будущего инженера, да и не реален по затратам времени даже для будущего профессионального математика.
   Дедуктивный путь изучения сложнее и требует значительных интеллектуальных усилий, чтобы воспринять уже сложившуюся систему абстрактных понятий и положений и следовать дорогой логически безупречных доказательств. Но зато, взобравшись по крутому склону, можно быстрее обозреть обширные владения математики. Надо прямо сказать, что такой путь не каждому по плечу и предполагает определенный склад мышления. Склонные к инженерной деятельности люди, как правило, абстрактным построениям предпочитают конкретную информацию и нередко утонченную строгость доказательств воспринимают как „торжество науки над здравым смыслом“ (по саркастическому замечанию Алексея Николаевича Крылова (1863-1945), русского инженера-кораблестроителя, механика и математика, первого переводчика с латинского на русский язык „Математических начал натуральной философии“ Ньютона).

Ясно, что оба пути в своих крайних проявлениях не годятся для технического университета. Рациональный путь лежит где-то между ними. Именно такой путь и попытались найти и провести по нему читателя — студента технического университета — составители предлагаемого комплекса учебников. Но читателю стоит помнить, что в математике нет „царских путей “.
   Математика является плодом интеллектуальной деятельности всего человеческого общества, но вместе с тем ее многие достижения и открытия связаны с именами конкретных ученых. История математики поучительна и позволяет глубже понять ее содержание и взаимосвязь отдельных разделов. Поэтому в этом (первом) выпуске комплекса учебников помещен краткий очерк основных этапов развития математики до начала XX в. и отмечена роль ученых, оставивших в ней наиболее заметный след. Однако даже простое перечисление тех, кто украсил математику своими творениями, в таком очерке невозможно. Поэтому краткие сведения о математиках, не упомянутых в этом очерке, приведены по мере изложения в основном тексте этого и последующих выпусков.
   Математика (как и любая наука) непрерывно развивается. Облик некоторых разделов математики менялся за время жизни одного поколения. Поэтому выучить математику раз и навсегда невозможно. Инженер должен расширять свои познания в математике всю свою творческую жизнь. Но основы следует заложить в молодые годы. В меру своих знаний и опыта составители предлагаемого комплекса учебников стремились помочь в этом читателю, пытались показать не только необходимость математики для инженера, но и ее красоту и гармонию, старались заинтересовать и увлечь математикой. Девизом составителей служили прекрасные слова французского математика, физика и механика С.Д. Пуассона: „Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием “.

К ЧИТАТЕЛЮ

   Одним из условий успешного развития современной техники и ведущих отраслей промышленности является математизация научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ в перспективных технических направлениях. Основным проявлением этой математизации становится широкое использование методов математического моделирования и вычислительного эксперимента. Они состоят в адекватной замене реального технического объекта или процесса соответствующей математической моделью и в ее последующем изучении (экспериментировании с нею) на ЭВМ с помощью вычислительно-логических алгоритмов. Для решения таких задач необходимы специалисты высокой квалификации, профессионально владеющие как инженерными знаниями и навыками, так и математическими методами и их реализацией средствами современной вычислительной техники. Другими словами, качественно нового эффекта можно достичь лишь при комплексной подготовке специалистов по всем звеньям замкнутого цикла вычислительного эксперимента: технический объект — его математическая модель — алгоритм — его реализация на ЭВМ — инженерная интерпретация результатов математического моделирования и их использование при совершенствовании технического объекта.
   Подготовка таких специалистов должна стать, по-види-мому, одной из основных задач технических университетов, сформировавшихся в последнее время на базе ведущих втузов страны. Отличительной чертой технических университетов должно быть, прежде всего, рациональное сочетание университетского уровня обучения с передовыми достижениями традиционного инженерного образования. Такое сочетание может быть реализовано лишь путем приоритетного усиления цикла общенаучных дисциплин, и в первую очередь математической подготовки студентов. Качество усвоения общенаучных дисциплин определяет глубину и логическую завершенность естественно-научного образования специалистов, их научное мировоззрение, умение работать с литературой, са