Вариационные принципы и задачи математической физики

 

УДК 530:517.9(075.8) 
ББК 22.311 
        В17 
 

Р е ц е н з е н т ы: 

нач. лаборатории ЦНИИмаш д-р техн. наук, проф. С.Н. Сухинин; 
д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры «Математическое моделирование»  
МГТУ им. Н.Э. Баумана С.А. Агафонов 
 

Ванько В. И. 
В17 
Вариационные принципы и задачи математической физи- 
ки : учеб. пособие / В. И. Ванько. – М. : Изд-во МГТУ им. 
Н. Э. Баумана, 2010. – 191, [1] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-3372-8       
 
В книге изложены основные вариационные принципы механики; демонстрируются приложения принципов к решению многочисленных задач математической физики. Принципы позволяют поставить задачу в терминах дифференциальных уравнений, т. е. вывести 
соответствующее уравнение и естественные краевые условия. Несмотря на то, что при этом ужесточаются требования к гладкости искомых решений (повышение порядка дифференцируемости в два 
раза), дифференциальные уравнения Эйлера – Лагранжа во многих 
случаях позволяют качественно исследовать свойства экстремалей. 
Если не удается получить дифференциальное уравнение, которое 
имеет решение, в арсенале исследователя остается возможность использования так называемых прямых методов. В данной работе продемонстрированы оба подхода. 
Для студентов и аспирантов, а также преподавателей и специалистов. 

УДК 530:517.9(075.8) 
                                                          ББК 22.311 

 
 © Ванько В.И., 2010 
 
 © Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-3372-8 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ........................................................................................ 
5 

Глава 1. Вариационные принципы ........................................ 
7 
1.1. Дифференциальные принципы ................................................... 
8 
1.2. Принцип Мопертюи – Лагранжа ................................................. 16 
1.3. Принцип стационарного действия Гамильтона ......................... 23 
1.4. О характере экстремума действия по Гамильтону .................... 27 
1.5. Каноническая форма системы уравнений Эйлера.  
       Функция Гамильтона ................................................................... 30 
1.6. Канонические преобразования. Теорема Нетер ........................ 36 
1.7. Приложения теоремы Нетер: законы сохранения ..................... 44 
1.8. Минимальные принципы в теории упругости ........................... 48 

Глава 2. Вариационное исчисление и задачи  
математической физики ........................................................... 61 
2.1. Система с конечным числом степеней свободы ........................ 61 
2.2. Принцип возможных перемещений для деформируемого  
       тела ................................................................................................ 66 
2.3. Колебания струны ........................................................................ 76 
2.4. Колебания стержня ....................................................................... 79 
2.5. Мембрана под давлением ............................................................ 85 
2.6. Движение идеальной жидкости .................................................. 92 
2.7. Аэродинамическая задача Ньютона ........................................... 103 
2.8. Чистый изгиб упругой балки ....................................................... 119 
2.9. Эйлерова критическая сила ......................................................... 124 

Глава 3. Прямые методы вариационного исчисления ............... 130 
3.1. Основные сведения из функционального анализа .................... 131 
3.2. Минимизирующие последовательности .................................... 149 
3.3. Метод Ритца .................................................................................. 159 
3.4. Метод Канторовича ...................................................................... 166 
3.5. Метод Эйлера ............................................................................... 169 

Оглавление 

 

4 

3.6. Метод наискорейшего спуска ..................................................... 172 
3.7. Метод Бубнова – Галеркина ........................................................ 174 
3.8. Метод наименьших квадратов .................................................... 176 
3.9. Метод локальных вариаций ......................................................... 178 
3.10. Сравнение результатов .............................................................. 181 
 
Литература ........................................................................................... 188 
 

7.3. Факторы, определяющие выбор метода получения заготовки 
5 

Теория, мой друг, суха, 
Но зеленеет жизни древо. 
И.В. Гёте «Фауст»* 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Предлагаемое вниманию читателей, прежде всего студентов 
инженерных специальностей, учебное пособие можно рассматривать как дополнение к тому XV комплекса учебников «Математика в техническом университете» [5]. 
По мнению автора, в курсах теоретической механики для технических университетов вариационным принципам и их приложениям уделяется мало внимания, что можно объяснить недостаточным объемом учебных программ. 
В формировании мировоззрения будущего инженера понимание сути вариационных принципов играет определяющую роль. 
Поэтому автор считает своим долгом познакомить читателя с содержанием основных вариационных принципов и на простых примерах показать, как они работают: принципы позволяют решить 
поставленную задачу «напрямую» (прямые методы) либо получить 
соответствующее дифференциальное уравнение и естественные 
граничные условия. Второй подход, несмотря на то что при этом 
приходится сужать класс решений (увеличение вдвое порядка 
дифференцирования искомой функции), часто дает возможность 
качественного исследования решения. В работе продемонстрированы оба подхода. 
В первой главе рассмотрены основные вариационные принципы 
механики примерно в объеме университетского курса Н.Н. Бухгольца [4]. Особое внимание уделено принципам Даламбера – Лагранжа и Гамильтона, популярным в приложениях к задачам математической физики. Представлены также некоторые минимальные 
принципы теории упругости, наиболее полное изложение которых 
(с многочисленными приложениями) читатель найдет в книгах 
Л.С. Лейбензона и Я.А. Пратусевича [27, 36]. 
Вторая глава посвящена приложениям идей и методов вариационного исчисления к задачам математической физики. Наряду с 
_________________ 
* Пер. с нем. Б. Пастернака. – Прим. ред. 

Предисловие 
6 

изложением задач, которые можно найти в любом учебнике математической физики (струна и мембрана), обсуждаются задачи о 
колебаниях стержня в вертикальной плоскости (две степени свободы); о бифуркации в смысле Эйлера форм равновесия упругого 
стержня при продольном сжатии; на примере задачи об изгибе 
балки поперечной нагрузкой показано, как вариационная постановка позволяет получить естественные краевые условия; краевые 
условия можно также получить, используя динамический принцип 
Гамильтона – Остроградского, что демонстрируется выводом 
уравнений движения идеальной жидкости.  
Особое внимание уделено подробному исследованию решения 
аэродинамической задачи Ньютона. Здесь подчеркивается выдающаяся роль А.Н. Крылова, который не только дословно перевел с 
латыни на русский язык великую книгу «Математические начала 
натуральной философии», но и снабдил своими комментариями и 
оригинальными решениями многие утверждения Ньютона. Подчеркнем, что современное решение классической задачи Ньютона 
принадлежит Крылову [21, 34]. 
Прямые методы решения задач математической физики представлены в третьей главе. Кроме традиционных в подобных пособиях методов Ритца, Бубнова – Галеркина и наименьших квадратов, излагаются методы Эйлера, наискорейшего спуска, Канторовича и метод локальных вариаций. 
В заключительном разделе третьей главы на примере решения 
задачи о прогибе мембраны под действием поперечного давления 
дано сравнение решений, полученных с помощью методов Ритца, 
Канторовича и наименьших квадратов, по величине нормы невязки.

1.1. Дифференциальные принципы 
7 

 

 
ГЛАВА 1 

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 

Под термином «принцип» подразумеваем такое аксиоматическое утверждение, которое при своей достаточной общности для 
данной области науки является основным, т. е. все остальные положения (например, законы движения) вытекают из сформулированного принципа как логические следствия [4]. 
Стремление к поиску принципов помимо требований научной 
эстетики имеет целью найти наиболее общие законы природы. 
Принцип должен не только удовлетворять общим логическим требованиям, но и иметь эвристическую ценность: чтобы из него вытекали не только те факты, следствием которых он является, но и 
факты, которые к моменту опубликования принципа еще не были 
известны. 
Созданные на базе исследований Галилея и Кеплера законы 
Ньютона, по существу являющиеся принципами, легли в основу 
механики и послужили ее развитию; принцип Даламбера дал мощный метод решения задач динамики, а принцип виртуальных перемещений Лагранж считал основным принципом механики. 
Принципы вводятся и формулируются аксиоматически как 
обобщение широкого круга опытных данных. То, что называется 
доказательством вариационных принципов является выводом 
принципов из уравнений движения. Такой вывод показывает только то, что для круга опытных данных, выражаемых уравнениями 
движения, тот или иной принцип приводит к правильным результатам, т. е. описывает рассматриваемое движение механической 
системы. «Доказательство» устанавливает, что в данной области 
принцип и уравнения движения эквивалентны, т. е. описывают одни и те же наблюдаемые явления, хотя и в различной математической форме. 

Глава 1. Вариационные принципы 
8 

Различают невариационные и вариационные принципы. Как 
те, так и другие подразделяют на дифференциальные и интегральные. 
Невариационный принцип представляет собой некоторое общее для всех движений свойство, которое имеет место для данного 
момента времени (дифференциальный принцип) либо для конечного промежутка времени (интегральный принцип). 
Следствием вариационного принципа является признак, отличающий действительное движение системы (т. е. именно то движение, которое происходит под действием заданной системы сил 
при данных наложенных на систему связях) от всех других движений, которые кинематически возможны, ибо не нарушают наложенные на систему связи. 
Вариационный принцип состоит в том, что некоторый функционал, характерный для данного принципа, имеет для действительного движения экстремальное значение по сравнению со всеми кинематически возможными движениями системы. Таким образом, прежде нужно сконструировать функционал, для которого 
действительная траектория является экстремалью; далее четко 
определить класс движений, среди которых находится искомая 
экстремаль – действительное движение. 
Отсюда следует, что, применяя вариационный принцип к 
решению задачи, мы сводим проблемы механики к проблемам 
вариационного исчисления при некоторых дополнительных условиях. 
Вариационные принципы так же, как и невариационные, разделяют на дифференциальные (дающие критерий истинного движения в данный момент времени) и интегральные (выделяющие 
истинное движение на конечном промежутке времени). 

1.1. Дифференциальные принципы 

1. Принцип возможных (виртуальных) перемещений и принцип 
Даламбера – Лагранжа 
Положение равновесия системы отличается от всех кинематически возможных ее положений тем, что только для положения равновесия сумма элементарных работ активных сил, действующих на систему, на возможных перемещениях системы равна нулю. 

1.1. Дифференциальные принципы 
9 

Следуя Лагранжу, обозначим возможное перемещение некоторой i-й точки системы, не нарушающее наложенные на систему 
связи, символом 
.ir
δ

Элементарной работой силы 
,
iF
 приложенной к i-й точке, на 
ее возможном перемещении называют скалярное произведение 
векторов 
iF
и 
:
ir
δ

.
(
)
i
i
i
A F
F
r
δ
=
⋅δ



Тогда сформулированный выше принцип возможных перемещений Лагранжа для системы n точек запишем в виде 

 
1
.
(
)
0
n
i
i
A F
=

δ
=
∑

 
(1.1) 

Для удобства изложения переобозначим декартовы координаты n материальных точек системы: координаты (x1, y1, z1) 1-й точки 
обозначим через (x1, x2, x3), координаты (x2, y2, z2) 2-й точки – через 
(x4, x5, x6), координаты (xn, yn, zn) n-й точки – через (x3n–2, x3n–1, x3n). 
Вариация радиус-вектора i-й точки будет представлена в виде 

{
} {
}
3
2
3
1
3
,
,
,
,
.
i
i
i
i
i
i
i
r
x
y
z
x
x
x
−
−
δ
= δ
δ
δ
= δ
δ
δ


Аналогично переобозначим и компоненты сил: 

{
} {
}
3
2
3
1
3
.
,
,
,
,
i
ix
iy
iz
i
i
i
F
F
F
F
X
X
X
−
−
=
=


Вследствие сказанного выше принцип возможных перемещений имеет вид 

3

1
.0
n
i
i
i
X
x
=

δ
=
∑
 

Несмотря на то что в выражение этого принципа не входит 
(в общем случае) вариация некоторого функционала, он имеет характер вариационного дифференциального принципа, так как под 
знаком суммы стоит линейная функция вариаций координат, т. е. 
вариационное выражение. 

Глава 1. Вариационные принципы 
10

Потенциалом сил, действующих на механическую систему, 
называют скалярную функцию координат точек системы U(x1, x2, 
x3, ..., x3n), такую, что для любой i-й точки с координатами (x3i–2, 
x3i–1, x3i) координаты действующей на нее силы 
iF
есть производные U(·) по соответствующим координатам точки: 

3
2
3
1
3
2
3
1
,
,
ix
i
iy
i
i
i

U
U
F
X
F
X
x
x
−
−

−
−

∂
∂
≡
=
≡
=
∂
∂
  

3
3
.
iz
i
i

U
F
X
x
∂
≡
= ∂
 

Такие системы сил называем потенциальными. 
Итак, пусть активные силы имеют потенциал. Тогда 

3
3

1
1
,
n
n
i
i
i
i
i
i

U
X
x
x
U
x
=
=
∂
δ
=
δ
= δ
∑
∑ ∂
 

и выражение принципа возможных перемещений (1.1) приобретает вид 

 
δU = 0. 
(1.2) 

Таким образом, когда система потенциальна, положению равновесия отвечает стационарное значение потенциала U(·). 
Соединяя принцип возможных перемещений с принципом Даламбера, получаем принцип Даламбера – Лагранжа, описывающий отличие истинного движения системы от любого возможного 
(виртуального) движения. 
В любой момент времени действительное движение системы 
отличается от виртуальных ее движений тем, что только для действительного движения сумма элементарных работ активных сил и 
сил инерции на возможных перемещениях системы равна нулю: 

 

2
2
3

2
2
1
1
d
d
0,
d
d

n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
r
x
F
m
r
X
m
x
t
t
=
=

⎛
⎞
⎛
⎞
−
δ
=
−
δ
=
∑
∑
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠


(1.3) 

где, очевидно 
3
2
3
1
3
.
i
i
i
i
m
m
m
m
−
−
=
=
=