Вариационное исчисление и оптимальное управление. Вып 15

Комплекс учебников удостоен 
Премии Правительства Российской Федерации 
в области науки и техники за 2003 год

МАТЕ МАТИ К А  В Т ЕХ Н И Ч ЕСКОМ УНИ В Е РС И ТЕ ТЕ

Выпуск 15

Комплекс учебников
«Математика в техническом университете» 
из 21 выпуска

1. Введение в анализ
2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
3. Аналитическая геометрия
4. Линейная алгебра
5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
6. Интегральное исчисление функций одного переменного
7. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
8. Дифференциальные уравнения
9. Ряды
10. Теория функций комплексного переменного
11. Интегральные преобразования и операционное исчисление
12. Дифференциальные уравнения математической физики
13. Приближенные методы математической физики
14. Методы оптимизации
15. Вариационное исчисление и оптимальное управление
16. Теория вероятностей
17. Математическая статистика
18. Случайные процессы
19. Дискретная математика
20. Исследование операций
21. Математическое моделирование в технике

В.И. ВАНЬКО, О.В. ЕРМОШИНА, Г.Н. КУВЫРКИН

ВАРИАЦИОННОЕ 
ИСЧИСЛЕНИЕ  
И  
ОПТИМАЛЬНОЕ 
УПРАВЛЕНИЕ

Под редакцией
д-ра техн. наук, профессора B.C. Зарубина 
и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Рекомендовано Министерством образования 
Российской Федерации 
в качестве учебника для студентов 
высших технических учебных заведений

4-е издание, 
исправленное и дополненное

Рецензенты: 

профессор Н.А. Бобылев, профессор Р.А. Васин

Ванько, В. И.

В17  
Вариационное исчисление и оптимальное управление : 

учебник для вузов / В. И. Ванько, О. В. Ермошина, Г. Н. Кувыркин ; под ред. B. C. Зарубина, А. П. Крищенко. — 4­е изд., 
испр. и доп. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 488 с. : ил. — (Математика в техническом 
университете ; вып. 15).

ISBN 978­5­7038­3845­7 
ISBN 978­5­7038­4876­0 (вып. 15)
Наряду с изложением основ классического вариационного исчисления и элементов теории оптимального управления рассмотрены 
прямые методы вариационного исчисления и методы преобразования 
вариационных задач, приводящие, в частности, к двойственным вариационным принципам. На примерах из физики, механики и техники показана эффективность методов вариа ционного исчисления и 
оптимального управления для решения прикладных задач.

Для студентов и аспирантов технических университетов, а также 

для инженеров и научных работников, специализирующихся в об ласти 
прикладной математики и математического моделирования.

 
УДК 517.1(075.8)

 
ББК 22.151.5

УДК 517.1(075.8) 
ББК 22.151.5 
 
В17

© Ванько В.И., Ермошина О.В., 

Кувыркин Г.Н., 1999

© Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н., 2018, с изменениями

© Оформление. Издательство  

МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018

ISBN 978­5­7038­4876­0 (вып. 15) 
ISBN 978­5­7038­3845­7

Учебное издание

Математика в техническом университете  

Выпуск 15

Ванько Вячеслав Иванович 

Ермошина  Олеся Владимировна 
Кувыркин Георгий Николаевич

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
 

И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

Оригинал­макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.
В оформлении использованы шрифты Студии Артемия Лебедева.
Подписано в печать 25.06.2018. Тираж 350 экз. Формат 60×90/16.  
Усл. печ. л. 30,75. Заказ 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2­я Бауманская ул.,  
д. 5, стр. 1.     press@bmstu.ru      www.baumanpress.ru
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва,  
2­я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.     baumanprint@gmail.com

ПРЕДИСЛОВИЕ

В истории развития естественных наук четко прослеживается 
стремление свести количество исходных положений данной 
науки к минимуму, и лучше всего к одному основополагающему принципу, который, как в зерне, заключал бы в себе 
все содержание рассматриваемой области знаний. Например, 
из принципа возможных перемещений Лагранжа вытекают 
уравнения равновесия системы материальных точек и абсолютно твердых тел. Соединив принцип Лагранжа с принципом 
Даламбера, получим более общий принцип механики, следствиями из которого являются уравнения движения.
Упомянутые принципы естественным образом обобщаются 

на модели сплошной среды — деформируемые твердые тела, 
жидкости и газы.
Одна из трудностей вычислительного характера, возникающих при реализации решения задачи, например, о нахождении напряженно­деформированного состояния сплошной 
среды либо некоторой конструкции, — высокий порядок производных искомых величин в уравнении движения (равновесия). Кроме того, вывод самих уравнений движения и постановка краевых условий зачастую являются самостоятельной 
проблемой.

В настоящее время достаточно распространена следующая схема постановки задач о состоянии деформируемых 
тел. На основе подходящего (в части IV мы обсуждаем этот 
вопрос) вариационного принципа выписывают функционал 
(чаще всего — некоторое интегральное соотношение). С помощью правил и приемов вариа ционного исчисления получают уравнения движения и естественные краевые условия. 

...Мне казалось, что лучше пересказать удовлетворившие меня изложения различных вопросов механики, чем в 
погоне за ложной оригинальностью ставить себя в странное положение не повторять умных формулировок лишь 
на том основании, что они были кем-то до тебя сказаны.

Н.Г. Четаев. Теоретическая механика

Предисловие

Последнее обстоятельство является замечательным фактом: 
«хороший» вариационный принцип содержит всю информацию о природе изучаемого явления. Однако если получен функционал и известны его экстремальные свойства, до 
уравнений движения (равновесия) дело не доводят, а строят 
последовательность функций, предел которой доставляет 
функционалу стационарное или экстремальное значение, 
например минимизирует значение функционала. Этот способ получения приближенного решения является наиболее 
простым и экономичным.

Авторы выпуска XV серии «Математика в техническом 

университете» ставят перед собой следующие задачи:

• изложить основы классического вариационного исчисления, подчеркнув при этом особенности и специфику вариационных задач как задач, обобщающих проблему поиска экстремумов функций многих переменных без ограничений и 
с таковыми;

• обсудить основные идеи и методологию теории оптимального управления Понтрягина и метода динамического 
программирования Беллмана;

• изложить основную идею преобразования вариационных задач (выявление двойственных вариационных задач) и 
построения на их основе аппроксимаций искомого решения.

В части IV приведены примеры использования вариационных принципов при постановке и решении различных научно­технических проблем. На основе принципа Гамильтона 
получены известные уравнения математической физики, уравнения движения идеальной жидкости. Подробно рассмотрена 
аэродинамическая задача Ньютона (представлено решение задачи именно методами вариаци онного исчисления). Отмечена 
выдающаяся роль А.Н. Кры лова, который не только дословно 
перевел великий труд И. Ньютона «Математические начала 
натуральной философии», но и снабдил комментариями и 
подробными решениями многие утверждения Ньютона. Подчеркнем, что современное вариационное решение аэродинамической задачи принадлежит Крылову. 
Изложен вариационный подход к задачам на собственные 
значения, подробно изучены задачи о продольном изгибе упругих стержней. Рассмотрены динамические и нестандартные 
задачи термомеханики. 
В конце отдельных глав приведены задачи для самостоятельного решения в целях проверки усвоения материала.

Основные источники (монографии, учебники, журнальные 
статьи и задачники) помещены в списках литературы в алфавитном порядке.
Мы считаем своим приятным долгом выразить признательность профессору А.Н. Канатникову, чья критика во многом 
способствовала совершенствованию изложения, доцентам 
А.Д. Герман, которая любезно предоставила нам записи своих лекций по вариационному исчислению, и Е.В. Пилявской, 
активно сотрудничавшей с нами при написании дополнений, 
включенных в это издание (2.6–2.9, 3.4, 3.5, 16–18).
Авторы будут благодарны всем, кто выскажет свои замечания по книге.

Задания для самопроверки

Перед изучением данного выпуска полезно убедиться, что читатель готов к усвоению материала, изложенного в учебнике. 
Для этого предлагаются следующие задания.
1. Какие множества называют: а) замкнутыми; б) открытыми; в) ограниченными; г) компактными? Что называют 
диаметром множества? [I]
2. Дайте определение точной верхней (нижней) грани числового множества. В чем различие между min f (x) и inf f (x) 
для действительной функции f (x) одного действительного переменного, определенной на некотором промежутке числовой 
прямой? [I]
3. Напишите формулу Тейлора: а) для функции одного 
действительного переменного; б) для функции многих переменных. [II], [V]
4. Как проверить, является ли функция одного действительного переменного выпуклой вверх (вниз)? [II]
5. Что такое: а) линейное пространство; б) евклидово пространство; в) нормированное пространство? Приведите пример 
нормы в линейном пространстве. Как вводят в n стандартное 
скалярное умножение? [IV]
6. Как найти собственные значения и собственные векторы: 

а) линейного оператора в конечномерном линейном пространстве; б) квадратной матрицы? Что такое характеристическое 
уравнение матрицы? [IV]
7. Какую квадратичную форму называют положительно 
(отрицательно) определенной? Сформулируйте критерий Сильвестра. [IV]

 Предисловие

Предисловие

8. Какую функцию многих переменных называют: а) непрерывной по совокупности переменных; б) непрерывной по 
части переменных?
9. Что называют условным экстремумом функции многих 
переменных? Как можно найти точки условного экстремума? 
Что такое множители Лагранжа? [V]
10. При каких условиях интеграл, зависящий от параметра, есть дифференцируемая функция? [VI]
11. Что называют: а) кратным интегралом; б) криволинейным интегралом; в) поверхностным интегралом? Напишите: а) формулу Грина; б) формулу Остроградского — Гаусса; 
в) формулу Стокса. В каком случае значение криволинейного 
интеграла не зависит от пути интегрирования? [VII]
12. Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) n­го порядка. Что называют его: а) частным решением; б) общим решением? Как для этого уравнения ставится 
задача Коши? [VIII]
13. Что такое первый интеграл системы ОДУ? Как ОДУ 
n­го порядка можно преобразовать в систему n ОДУ первого 
порядка? [VIII]
14. Что называют нормальной системой ОДУ? Как для 
однородной нормальной системы линейных ОДУ построить 
фундаментальную систему решений? [VIII]
15. Пусть дана нормальная система ОДУ. Что называют ее: 

а) решением; б) фазовой траекторией; в) интегральной кривой? 
При каких условиях фазовые траектории системы не пересекаются? [VIII]
16. Что такое сходящийся числовой ряд? При каких условиях данный функциональный ряд сходится на данном множестве 
точек: а) поточечно; б) равномерно? [IX]
17. При каких условиях на периодическую функцию можно утверждать, что ее ряд Фурье сходится к ней: а) в данной 
точке; б) на данном промежутке? [I], [IX]
18. Дайте определение: а) банахова пространства; б) гильбертова пространства. Что называют рядом Фурье элемента 
гильбертова пространства? Напишите неравенство Бесселя и 
равенство Парсеваля. [IX]
19. Сформулируйте задачу Штурма — Лиувилля. Найдите собственные значения и собственные функции оператора 
Штурма — Лиувилля в случае граничных условий в виде 
линейной комбинации функции и ее производной. [XI], [XII]

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

и 
— начало и окончание доказательства

# 
— окончание примера, замечания

а ∈ А, А  а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) I-1.1 

а ∉ А  
— элемент а не принадлежит множеству А I-1.2

А ⊆ В, В ⊇ А — подмножество А включено в множество В или 

совпадает с ним I-1.2 

V   
— замыкание множества V в нормированном или 
метрическом пространстве XIII

∂V  
— граница множества V в нормированном или 
метрическом пространстве I, XIII 

  
— множество натуральных чисел I-1.2

  
— множество действительных чисел I-1.3

 
— множество комплексных чисел I-4.3, X

n  
— линейное арифметическое пространство IV

АВ, | АВ | 
— отрезок, соединяющий точки A и В, и его 
длина III

а, а  
— вектор (элемент линейного пространства) и 
столбец его координат IV 

| a | 
— длина (модуль) вектора a III, IV

|| a || 
— норма вектора a в нормированном пространстве IV

0  
— нулевой вектор III, IV

(a, b) 
— скалярное произведение векторов a и b III, IV

Aт 
— матрица, транспонированная к A III 

Основные обозначения

det A 
— определитель матрицы A III

ak

k

n

=∑

1

 
— сумма n слагаемых a1, ..., ak, ..., an I-2.6

k
n
=1,
 
— число k принимает последовательно все значения из множества  от 1 до n включительно 
I-2.6

f a
f x
x a
( ), ( )
=  — значение функции f (x) в точке а I-2.1

x(t) 
— вектор­функция скалярного аргумента t II

f (x) 
— векторная функция векторного аргумента 
(функция многих переменных) V

grad f (x) 
— градиент скалярной функции f (x) векторного 
аргумента х V

x( ),
t
′x ( )t  
— производная вектор­функции скалярного аргумента t II

∂
∂

f x y

x

( , ),  ′fx,  ′f
x y
x( , )   — частная производная функции f (x, у) 

по переменному x V

J y[ ]  
— функционал, определенный на некотором 
множестве функций у(x); значение функционала 
на функции (в точке) у(x) 1.2

|| ⋅ ||C, || ⋅ ||C1 
— нормы в нормированном пространстве С1[а,  b] 
1.2

C [а, b] 
— линейное пространство кусочно­непрерывных 
на отрезке [а, b] функций 6.5

С n [а, b] 
— нормированное пространство функций, имеющих непрерывную n­ю производную IV­1.2 

L2(Ω) 
— гильбертово пространство функций, суммируемых на множестве Ω ⊂ n с квадратом IX

δy, δy(x) 
— вариация аргумента функционала, значение 
вариации в точке х 1.2 

δ
δ
′ ≡
′
y
y
(
)  
— производная от вариации δy, если вариация 
изохронна

δJ[y, δy]  
— (первая) вариация функционала J в точке у 
1.2