Аналитическая геометрия. Вып. 3

Комплекс учебников удостоен 
Премии Правительства Российской Федерации 
в области науки и техники за 2003 год
МАТЕ МАТИ К А  В Т ЕХ Н И Ч ЕСКОМ УНИ В Е РС И ТЕ ТЕ
Выпуск 3

Комплекс учебников
«Математика в техническом университете» 
из 21 выпуска
1. Введение в анализ
2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
3. Аналитическая геометрия
4. Линейная алгебра
5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
6. Интегральное исчисление функций одного переменного
7. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
8. Дифференциальные уравнения
9. Ряды
10. Теория функций комплексного переменного
11. Интегральные преобразования и операционное исчисление
12. Дифференциальные уравнения математической физики
13. Приближенные методы математической физики
14. Методы оптимизации
15. Вариационное исчисление и оптимальное управление
16. Теория вероятностей
17. Математическая статистика
18. Случайные процессы
19. Дискретная математика
20. Исследование операций
21. Математическое моделирование в технике

А. Н. КАНАТНИКОВ, А. П. КРИЩЕНКО
АНАЛИТИЧЕСКАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ
Под редакцией
д-ра техн. наук, профессора B.C. Зарубина 
и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко
Рекомендовано Министерством образования 
Российской Федерации 
в качестве учебника для студентов 
высших технических учебных заведений
9-е издание

УДК	 517.1(075.8) 
ББК	 22.151.5 
	
К19
Рецензенты: 
профессор В. И. Елкин, профессор Е. В. Шикин
Канатников, А. Н.
К19	 	
Аналитическая геометрия : учебник для вузов / А. Н. Канатников, А. П. Крищенко ; под ред. B. C. Зарубина, А. П. Кри- 
щенко. — 9-е изд. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2019. — 374, [2l с. : ил. — (Математика 
в техническом университете ; вып. 3).
(Сер. Математика в техническом университете; вып. 3).
ISBN 978-5-7038-3845-7 
ISBN 978-5-7038-4904-0 (вып. 3)
Книга является третьим выпуском серии «Математика 
в  техническом университете» и знакомит читателя с основными 
понятиями векторной алгебры и ее приложений, теории матриц 
и определителей, систем линейных алгебраических уравнений, 
кривых и поверхностей второго порядка. Материал изложен 
в  объеме, необходимом на начальном этапе подготовки студента 
технического университета.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который 
читается в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.
УДК 517.1(075.8)
ББК 22.151.5
© Канатников А. Н., Крищенко А. П., 2000
© Канатников А. Н., Крищенко А. П., 2011, 
с изменениями
ISBN 978-5-7038-4904-0 (вып. 3) 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-3845-7
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2019

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга — третий выпуск комплекса учебников «Математика в техническом университете». Ее содержание выходит 
за рамки аналитической геометрии и отражает тот курс, который стал уже традиционным во многих вузах технической 
ориентации. В этом курсе можно выделить три раздела: векторную алгебру, аналитическую геометрию и теорию матриц 
и систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Векторная алгебра, составляющая первую часть книги 
(главы 1, 2), тесно переплетается с элементарной геометрией 
и представляет собой, по существу, современный язык той 
части геометрии, которая связана с понятиями параллельных 
прямых и подобия. Мы предполагаем, что читатель хорошо 
знаком с такими терминами, как точка, прямая, плоскость 
и знает их свойства (в частности, признаки параллельности 
прямых, признаки равенства и подобия треугольников, признаки параллелограмма и т.д.).
Аналитическая геометрия, основным методом которой 
является метод координат, составляет вторую часть книги. 
Понятие системы координат, так же как и многие факты 
аналитической геометрии, известно любому начинающему 
студенту со школьной скамьи. Изучение этого раздела геометрии в техническом вузе отличается бîльшей строгостью 
и систематичностью. В книге изложение аналитической геометрии, в частности введение декартовой системы координат, 
опирается на векторную алгебру. Ей посвящены главы 3–5. 
Основное внимание уделено теории прямых и плоскостей, 
а  также кривых и поверхностей второго порядка (главы 11 и 12).
Третья часть книги посвящена основам матричной алгебры 
(главы 6–8) и системам линейных алгебраических уравнений 
(главы 9 и 10).

Предисловие
При отборе и изложении материала авторы стремились 
предусмотреть возможные различия в объеме его изучения. 
Сложные и второстепенные вопросы, обычно не входящие 
в  программу, даны в виде дополнений в конце соответствующей главы.
Книга, как и другие выпуски комплекса учебников, имеет 
развитый аппарат для поиска нужной информации, позволяющий использовать книгу как справочник. Ключевые понятия, 
которые должны быть известны читателю, в тексте книги 
выделены курсивом. Любой определяемый термин в  тексте 
выделен полужирным курсивом, а номер страницы указан 
в предметном указателе, который находится в конце книги. 
Термины в предметном указателе даны в алфавитном порядке 
по существительному в именительном падеже. Ссылки предметного указателя разделяются на основные (даны в прямом 
начертании) и неосновные (даны курсивом), которые указывают 
на дополнительные сведения о термине. Ссылки на термины, 
введенные в других выпусках комплекса, содержат номера 
этих выпусков. Например, I-215 означает страницу 215 первого выпуска, а II — второй выпуск (соответствующее место 
в этом выпуске можно найти по его предметному указателю).
В тексте также имеются ссылки, облегчающие поиск нужных определений и других сведений. Такие ссылки могут 
относиться как к данной книге, так и к другим выпускам 
комплекса учебников. Например, (см. 1.2) отсылает читателя 
ко второму параграфу первой главы этой книги, тогда как 
[I-7.5] означает ссылку на пятый параграф седьмой главы 
в  первом выпуске. Определения, теоремы, замечания, формулы и т.п. имеют двойную нумерацию. Например, теоре- 
ма 2.1 — это первая теорема в главе 2, (2.1) — первая формула 
в главе 2, рис. 1.5 — пятый рисунок в главе 1.
Большинство используемых обозначений помещены в  перечне основных обозначений. В нем наряду с их краткой 
расшифровкой даны ссылки на разделы этого или других 
выпусков серии, в которых вводится обозначение. Приведены 
также написание и русское произношение букв латинского 
и  греческого алфавитов.

Предисловие
Перед чтением этой книги предлагаем в целях самоконтроля выполнить несколько несложных заданий. В тексте 
каждого задания прямым полужирным шрифтом выделены 
ключевые термины, значение которых должно быть известно читателю, а в конце указан выпуск комплекса, в котором 
можно справиться об этих терминах при помощи предметного 
указателя выпуска.
Задания для самопроверки
1.  Является ли множество  действительных чисел упорядоченным и образуют ли натуральные числа его подмножество? Что такое абсолютное значение (модуль) числа? [I]
2.  Имеют ли операции сложения и умножения действительных чисел свойства коммутативности, ассоциативности 
и в чем состоит их свойство дистрибутивности? [I]
3.  В чем выражается свойство антикоммутативности некоторой бинарной операции? [I]
4.  Что понимают под критерием некоторого утверждения? [I]
5.  Из каких этапов состоит доказательство по методу математической индукции? [I]
6.  Что такое функция, алгоритм и рекуррентное соотношение? Приведите примеры функций, заданных с помощью 
рекуррентных соотношений. [I]
7.  Укажите область определения (существования) и область значений и постройте графики однозначных ветвей 
многозначной функции у2 = х. [I]
8.  Проверьте, является ли функция y = x sin x: а) четной; 
б) нечетной. [I]
9.  Сформулируйте определение взаимно однозначного 
отображения двух множеств. [I]
10.  Какие свойства имеют функции, непрерывные на 
отрезке? [I]

Предисловие
11.  Что такое вертикальные и наклонные асимптоты 
графика функции и как их находят? [II]
12.  На каких интервалах функция у = х + 1/х является 
возрастающей (убывающей)? [II]
13.  Сформулируйте достаточное условие выпуклости вверх 
графика функции у = f(x). [II]
14.  Как вычисляется производная сложной функции 
у  =  f(g(x))? [II]


ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
∈
◄ и ►	— начало и окончание доказательства 
#	
— окончание примера, замечания
а ∈ А, А   а	
— элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а)  I-1.1 
А ⊂ В, В ⊃ А	 — подмножество А включено в множество В (В
включает А) I-1.2 
А ⊆ В, В ⊇ А 	 — подмножество А включено в множество В или
совпадает с ним  I-1.2 
	
— множество натуральных чисел  I-1.3
	
— множество действительных чисел  I-1.3
АВ	
— отрезок, соединяющий точки A и В  1.1
| AВ |	
— длина отрезка АВ  1.1

AB AB
,
	 — геометрический вектор с началом в точке A и концом в точке В  1.1

AB AB
,
	 — длина геометрического вектора  1.1 
a, | a |	 — вектор и его длина  1.1, 1.2
0	
— нулевой вектор  1.1
a + b	 — сумма векторов a и b  1.3
λa	
— произведение вектора a на число λ ∈   1.3
прla	
— ортогональная проекция вектора a на направление
вектора l  1.4
a b
,
	
— угол между векторами a и b  1.4
a ⊥ b, L1 ⊥ L2   — вектор a ортогонален вектору b, прямая L1
перпендикулярна прямой L2  4.1
a || b, L1 || L2     — вектор a коллинеарен вектору b, прямая L1
параллельна прямой L2  4.3 
n
ak
  — сумма n слагаемых а1, …, аk, …, an  I-2.6
=
∑
k
1

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
m
αk
a    — линейная комбинация векторов а1, …, аk, …, am
k
=
∑
k
1
с коэффициентами α1, …, αk, …, αm  1.5
a = {x; у} (a = {x; у; z}) — задание вектора a из V2 (V3) с помощью его координат в фиксированном базисе в V2 (V3)  1.5
V1(V2 и V3) 	
— пространство коллинеарных векторов (компланарных векторов и всех свободных векторов)  1.6
i (i, j и i, j, k) 	
— ортонормированный базис в V1 (правый ортонормированный базис в V2 и V3)  1.6
ab	
— скалярное произведение векторов a и b  2.2
a × b	
— векторное произведение векторов a и b  2.3
abc	
— смешанное произведение векторов a, b и с  2.4
Оху, Oij (Oxyz, Oijk)	— правая прямоугольная система координат на плоскости (в пространстве)  3.1
М(x; у) 	
— точка М плоскости с координатами x (абсцисса) и у (ордината)  3.1
М(x; у; z)	
— точка М пространства с координатами x (абсцисса), у (ордината) и z (аппликата)  3.1 
ρ и ϕ	 — полярные координаты (полярные радиус и угол)
точки на плоскости 3.6 
| x |	
— абсолютное значение числа x  I-1.3 
A ⇒ В	— из высказывания A следует В (В — необходимое
условие для А, а А — достаточное условие для В) 
I-1.5
A ⇔ В	— высказывания A и В равносильны  I-1.5 
E, I	
— единичная матрица  6.1 
Θ	
— нулевая матрица  6.1 
АT	
— матрица, транспонированная к А  6.3 
det A	
— определитель матрицы А  7.1 
A–1	
— матрица, обратная к матрице А  8.1 
Rg A	
— ранг матрицы А  8.4