Высшая математика. Практикум

ВЫСШАЯ 

МАТЕМАТИКА

Москва

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК

ИНФРА-М

202ПРАКТИКУМ

И.Г. ЛУРЬЕ,  Т.П. ФУНТИКОВА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
 
Л86

Лурье И.Г.

Высшая математика. Практикум : учебное пособие / И.Г. Лурье, 

Т.П. Фунтикова. — Москва : Вузовский учебник : ИНФРА-М, 
2023. — 160 с.

ISBN 978-5-9558-0281-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-006215-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-100262-9 (ИНФРА-М, online)

Пособие является руководством по решению типовых задач по мате
матике. Содержит основные разделы математики, необходимые для подготовки специалистов направлений «Экономика» и «Менеджмент». Может быть использовано студентами других направлений, в учебные планы 
которых входит изучение математики.

Л86

© Лурье И.Г., 
    Фунтикова Т.П., 
    2013
© Вузовский 
    учебник, 2013

Р е ц е н з е н т ы:
Ю.Н. Антипов, д-р физ.-мат. наук, проф.; 
Е.Н. Кикоть, д-р пед. наук, проф.

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

ISBN 978-5-9558-0281-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-006215-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-100262-9 (ИНФРА-М, online)

 
Предисловие

Цель данного методического пособия — оказать помощь студен
там в получении навыков решения базовых стандартных задач по 
математике. Предполагается, что студенты предварительно ознакомятся с теорией по изучаемому вопросу, поэтому сведения из теории 
приводятся очень кратко, основное внимание уделяется решению 
задач.

Пособие предназначено для студентов заочной и очно-заочной 

форм обучения, а также для студентов дневного отделения, испытывающих трудности при изучении математики.

Для более глубокой проработки изложенного материала в посо
бии рекомендуется литература с указанием теоретического материала 
и задач для практической подготовки. 

Часть I

Раздел 1 

Элементы линейной алгебры 

Глава 1. 
Элементы теории множеств

§ 1. 
Понятие множества

Множество есть совокупность объектов, различимых между со
бой, мыслимая как единое целое. Множества обозначаются А, В, 
С, …, а элементы множества — а, b, с, x, y, … . 

Если объект х является элементом множества А, то записывают 

x ∈ A (х принадлежит А), в противном случае записывают x ∉ A (х не 
принадлежит А).

Существуют стандартные множества: 
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
R — множество действительных чисел;
C — множество комплексных чисел.

Различают также следующие виды множеств:
1. Конечные множества — все их элементы можно перечислить. 

Например: буквы алфавита; 1 1

2

1
3

1
4

1
5
;
; ;
;




; четные числа от 0 до 100, 

иначе это можно записать {x = 2n 1 ≤ n ≤ 50}. Существуют множества, состоящие из одного элемента: {x}.

2. Бесконечные множества содержат бесчисленное множество 

элементов. Среди этих множеств есть: 

 
• счетные — элементы различимы, их можно пересчитать, хоть 

счет и будет бесконечен, например множество N;

 
• несчетные, например множество точек на отрезке [a; b].

3. Пустое множество ∅ не содержит ни одного элемента.
4. Равные множества А = В состоят из одних и тех же элементов. 

Например: {2, 4, 6} = {2, 4, 4, 6}, но {1, 2} ≠ {{1}, 2}, так как в первом 

множестве 1 — элемент, а во втором {1} — множество. Утверждать, 
что A = В, можно только в том случае, если любой x ∈ A ⇒ x ∈ B и 
любой x ∈ B ⇒ x ∈ A.

5. Множество А является подмножеством множества В (A ⊆ B), 

если для всех x ∈ A выполняется x ∈ B. Например: пусть дано множество B = {1, 2, 3, 4}, тогда, в частности, {1}, {1, 2}, B, ∅ есть подмножества множества B, т.е.

{1} ⊆ B, {1, 2} ⊆ B, B ⊆ B, ∅ ⊆ B.

Говорят, что А включено в B (A ⊂ B), если A ⊆ B и A ≠ B. Например:

А = {x, y, z}, B = {x, y, z, t} ⇒ A ⊂ B.

6. Множество всех подмножеств А называется множеством-сте
пенью множества А и обозначается P(А). Например, если A = {1, 2, 3}, 
то P(А) состоит из множеств A, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, ∅. 
Существует формула: если А содержит n элементов, то P(А) содержит 
2n элементов.

§ 2. Операции над множествами

1. Объединением множеств А и В называется множество, состоя
щее из элементов множества А или множества В. Обозначается A ∪ B 
или A + B:

A ∪ B = {x| x ∈ A или x ∈ B}.

Графически объединение множеств показано на рис. 1, заштри
хованная часть есть A ∪ B.

A ∪ B

Рис. 1

Например, A = {1, 2, 3, x, y}, B = {2, 3, 4, y, t}, тогда A ∪ B =

= {1, 2, 3, 4, x, y, t}.

2. Пересечением множеств А и В называется множество, состоя
щее из элементов, общих для обоих множеств. Обозначается A ∩ B 
или AB:

A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}.

Графически пересечение множеств показано на рис. 2, заштрихо
ванная часть есть A ∩ B.

A ∩ B

Рис. 2

Например, A = {1, 2, 3, x, y}, B = {2, 3, 4, y, t}, тогда A ∩ B =

= {2, 3, y}.

3. Разностью множеств А и В называется множество элементов А, 

не принадлежащих В. Обозначается А \ В или А - В:

А \ В = {x | x ∈ A и x ∉ B}.

Графически разность множеств показана на рис. 3, заштрихован
ная часть есть А \ В.

А \ В

Рис. 3

Например, A = {1, 2, 3, x, y}, B = {2, 3, 4, y, t}, тогда А \ В = {1, x}, 

B \ A = {4, t}.

4. Симметрической разностью А и В называется множество эле
ментов из А и В, не входящих в A ∩ B. Обозначается A D B:

A D B = (А \ В) ∪ (B \ A).

Графически симметрическая разность показана на рис. 4, заштри
хованная часть есть A D B.

A D B

Рис. 4

Например, A = {1, 2, 3, x, y}, B = {2, 3, 4, y, t}, тогда А D В =

= {1, x} ∪ {4, t} = {1, x, 4, t}.

Задачи для самостоятельного решения

1. Проверить равенство множеств:

1
2
3

)
(
\
)
(
)\(
);

)(
)\
(
\
)
(
\
);

)(
\
)
(
\
)

A
B
C
A
B
A
C

A
B
C
A
C
B
C

A
C
B
C

∩
=
∩
∩

∪
=
∪

∩
= (
)\
;

)
(
)
(
) (
);

)
(
)\(
)

A
B
C

A
B C
A
B
A
C

A B
A
B
A
B

∩

∩
=
∩
∩

=
∪
∩

4
5

∆
∆

∆

для множеств А, В, С, заданных следующим образом:

а) А = {1, 2, 3, x, y, z}, B = {3, 4, y, t}, C = {1, 3, 5, x, t, u};
б) (рис. 5).

Рис. 5

2. Перечислить все элементы P(А), если:
а) А = {{1, 2}, {3}, 1}; б) A = {a, b, c, 1, 2, {1, a}, {2, c}}.

Рекомендуемая литература:

[1], с. 10, 17; [2], с. 151–171.

Глава 2. 
Определители

§ 1. Определители второго порядка. Свойства определителей 

Рассмотрим определитель второго порядка a
a

a
a

11
12

21
22

. Числа a11, 

a12, a21, a22 называются элементами определителя. Первый индекс 

элемента определителя указывает номер строки, второй — номер 
столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Определитель состоит из двух строк и двух столбцов. Элементы 

a11, a22 образуют главную диагональ определителя, а элементы a21, 
a12 — побочную. Вычисляется определитель второго порядка по следующей формуле:

 
a
a

a
a
a a
a a
11
12

21
22

11 22
21 12
=
−
. 
(1)

Перечислим свойства определителей.
Свойство 1. Величина определителя не меняется при замене всех 

его строк соответствующими по номеру столбцами.

Свойство 2. Определитель меняет знак, если в нем поменять мес
тами две строки или два столбца.

Свойство 3. Множитель, общий для элементов некоторой строки 

(столбца), можно выносить за знак определителя.

Например: a
a

a
a

a
a

a
a

11
12

21
22

11
12

21
22

2
2
2
= ⋅
 или 4
6

1
3
2 2
3

1
3
= ⋅
.

Свойство 4. Величина определителя не изменяется, если к элемен
там какой-то строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Например: a
a

a
a

a
a
a
a

a
a

11
12

21
22

11
21
12
22

21
22

2
2
=
+
+
.

Аналогично, если в определителе 3
1

1
2
-  умножим элементы пер
вой строки на 2 и прибавим к соответствующим элементам второй 
строки, то получим определитель, равный данному: 

3
1

1
2 3
2
2
1

3
1

7
0

−

+ ⋅
+ ⋅ −(
) =
−
.

Действительно,

3
1

1
2
3 2 1
1
7
− = ⋅ − ⋅ −(
) =
 и 
3
1

7
0
3 0
7
1
7
− = ⋅ − ⋅ −(
) =
.

Свойство 5. Определитель равен нулю, если:
а) имеются две пропорциональные строки (столбца), например

a
a

a
a

11
12

11
12
2
2
0
=
 или 1
2

2
4
0
= ;

б) все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, напри
мер

0
0
0
12

22

a
a
=
.

§ 2. Определители третьего порядка

Определители третьего порядка записываются в следующем виде: 

∆ =

a
a
a

a
a
a

a
a
a

11
12
13

21
22
23

31
32
33

 и вычисляются по схеме

 

,

где составляются произведения элементов определителя, взятых по 
три. Например:

5
1
2

3
2
4

1
3
1

−

−

=

= ⋅ ⋅ −
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
−
⋅ ⋅ −
+ ⋅ ⋅ −
+ ⋅ ⋅
(
) = −
5 2
1
1 4 1 3 3
2
3 1
1
1 2
2
3 4 5
77
(
)
(
)
(
)
(
)
.

Все свойства определителей второго порядка справедливы и для 

определителей третьего порядка.

Определение. Минором Мik некоторого элемента aik называется 

определитель, полученный из данного вычеркиванием i-й строки и 
k-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aik (i, k = 1, 2, 3).

Так, минором М12 элемента a12 будет определитель второго поряд
ка, полученный из определителя ∆ =

a
a
a

a
a
a

a
a
a

11
12
13

21
22
23

31
32
33

 вычеркиванием 

первой строки и второго столбца. Записывается этот минор следу
ющим образом: M
a
a

a
a
12

21
23

31
33

=
.

О п р е д е л е н и е. Алгебраическим дополнением Аik элемента aik 

определителя называется соответствующий ему минор Мik, взятый 
со знаком (-1)i+k, т.е.

Aik = (-1)i+kМik.

Так, алгебраическим дополнением А12 элемента a12 будет 

A
M
a
a

a
a

a
a

a
a
12

1 2

12

3
21
23

31
33

21
23

31
33

1
1
= −(
)
= −(
) ⋅
= −

+
.

Укажем для определителя третьего порядка еще одно свойство.
Свойство 6. Определитель равен сумме произведений элементов 

какого-нибудь столбца (строки) на их алгебраические дополнения, 
т.е.

 
∆ =
+
+
a A
a
A
a
A
k
k
k
k
k
k
1
1
2
2
3
3 , k = 1, 2, 3 
(2)

или

 
∆ =
+
+
a A
a A
a A
i
i
i
i
i
i
1
1
2
2
3
3 , i = 1, 2, 3. 
(3)

Сумму (2) называют разложением определителя по элементам k-го 

столбца, а сумму (3) — разложением определителя по элементам i-й 
строки.

 Пример. Вычислить определитель третьего порядка 

5
3
2

1
2
4

7
3
6

.

Решение. Используем разложение по элементам первой строки:

5
3
2

1
2
4

7
3
6

5 2
4

3
6
3
1
4

7
6
2
1
2

7
3

5 0
3
34
2
17
68

−
= ⋅
− ⋅ −
+ ⋅ −
=

= ⋅ − ⋅ −(
)+ ⋅ −(
) =
.

5
3
2

1
2
4

7
3
6

5 2
4

3
6
3
1
4

7
6
2
1
2

7
3

5 0
3
34
2
17
68

−
= ⋅
− ⋅ −
+ ⋅ −
=

= ⋅ − ⋅ −(
)+ ⋅ −(
) =
.
 


 Пример. Упростить и вычислить определитель, пользуясь его 

свойствами: