Математические основы теории автоматического управления. Том 2

Äîïóùåíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè
Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ
ó÷åáíûõ çàâåäåíèé,îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòÿì
Ìåõàòðîíèêà
Ðîáîòû è ðîáîòîòåõíè÷åñêèå ñèñòåìû
«
»,«
»
«
»
íàïðàâëåíèÿ ïîäãîòîâêè
Ìåõàòðîíèêà è ðîáîòîòåõíèêà

Ïîä ðåäàêöèåé ïðîôåññîðà Á.Ê. ×åìîäàíîâà

 òðåõ òîìàõ
Òîì 3

Ìàòåìàòè÷åñêèå
îñíîâû òåîðèè
àâòîìàòè÷åñêîãî
óïðàâëåíèÿ

Èçäàíèå òðåòüå,ïåðåðàáîòàííîå è äîïîëíåííîå

Ìîñêâà 2009

им. Н.Э. Баумана
МГТУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

УДК 519.711.3(075.8) 
ББК 22.161.6 
         М34 
 
Рецензенты: 
кафедра «Робототехника и мехатроника» Московского государственного технологического университета «СТАНКИН» 
(зам. зав. кафедрой д-р техн. наук, доц. Ю.В. Илюхин);  
кафедра «Проблемы управления» Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (ТУ) 
(зам. зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.М. Лохин)  

Математические основы теории автоматического 
управления: Учеб. пособие: В 3 т. / В.А. Иванов, В.С. Медведев, Б.К. Чемоданов, А.С. Ющенко; Под ред. Б.К. Чемоданова. – 3-е изд., перераб. и доп. – Т. 3. – М.: Изд-во МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, 2009. – 352 с.: ил. 
ISBN 978-5-7038-3230-1 (Т. 3) 
ISBN 978-5-7038-2807-6 
В третьем томе трехтомного учебного пособия приведен  
математический аппарат, используемый в статистической теории 
автоматического управления. Рассматриваются основы теории вероятностей и теории случайных функций. Изложение вопросов 
математики сопровождается решением примеров расчета автоматических систем при наличии случайных воздействий. 
Содержание данного учебного пособия соответствует разделу 
лекций по теории автоматического управления, читаемому авторами в МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Автоматическое управление в технических системах». Будет полезно 
аспирантам и инженерам, специализирующимся в данной области. 
 

                                    УДК 519.711.3(075.8) 
                                                                                             ББК 22.161.6 
   
 
 
 
 
 
                                            
 
 
 © Чемоданов Б.К., 2009 
 
 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009 
 
 © Оформление. Издательство МГТУ 
ISBN 978-5-7038-3230-1                                        им. Н.Э. Баумана, 2009 

М34 

Ч А С Т Ь  7  

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ  
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 

Г л а в а  2 2  

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

§ 22.1. Событие, классификация событий,  

вероятность события 

а. Основные понятия 

При изучении физических, химических, биологических, общественных или каких-либо иных явлений приходится сталкиваться 
с осуществлением наблюдений или экспериментов; например, определением числа: распавшихся атомов радиоактивного элемента 
за единицу времени; бракованных деталей в партии; отказов системы автоматического управления; заявлений, которые будут поданы в институт в данном учебном году подсчетом числа вызовов 
на телефонной станции за один час и т. д. 
Результат опыта или наблюдения называется событием. Так, 
например, событиями являются выпадение герба при бросании 
монеты, серия из трех попаданий при пяти выстрелах по мишени, 
отсутствие бракованных деталей в партии, выход из строя прибора, выигрыш на лотерейный билет при розыгрыше и т. д. Если известно, что событие при эксперименте не может произойти, то оно 
называется невозможным. Невозможным является событие пяти 
попаданий в мишень при трех выстрелах. Если событие при эксперименте обязательно должно произойти, то оно называется достоверным. Достоверным событием будет, например, выбор годной 
детали из партии, в которой все детали доброкачественные. Промежуточное положение между достоверным и невозможным событиями занимает случайное событие. Случайным событием называется такое событие, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти, например попадание в цель при 
одном выстреле. 
Всякий раз необходимо оговаривать условия, при которых производится эксперимент. Так, при бросании монеты мы уславлива

емся, что она обязательно упадет вверх гербом, или цифрой, а на 
ребро упасть не может, результат падения монеты мы можем наблюдать. Мы всегда будем говорить о комплексе условий, при которых проводится опыт. Для краткости этот комплекс будем обозначать буквой S. 
Рассмотрим совокупность всех взаимно исключающих друг 
друга событий, которые могут произойти в результате опыта.  
Каждый исход одного опыта назовем элементарным событием. 
При одном выстреле по цели элементарными событиями будут 
промах и попадание (при этом мы считаем, что комплекс условий 
S исключает появление осечки). Всякое событие можно разложить 
на совокупность элементарных событий и, наоборот, всякое событие есть совокупность (множество) элементарных событий. Например событие, заключающееся в том, что при двух выстрелах по 
мишени будет одно попадание, подразделяется на два элементарных события: попадание при первом и промах при втором выстреле, промах при первом и попадание при втором выстреле.  
В результате опыта может произойти одно и только одно элементарное событие. 
Совокупность всех элементарных событий называется пространством (множеством) элементарных событий, а сами элементарные события ωi — точками этого пространства. Различные 
комбинации элементарных событий (множество подмножеств) называются событиями. В дальнейшем для краткости события будем 
обозначать прописными буквами латинского алфавита A, B, C и т. д.  
Два события A и B при заданном комплексе условий S называются несовместимыми (несовместными) событиями, если при 
комплексе условий S появление одного из них исключает появление другого. Если события A1, A2, ..., An таковы, что одно из событий при опыте обязательно должно произойти, то говорят, что  
события A1, A2, ..., An составляют полную группу событий. Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих понятие пространства 
элементарных событий. 
1. При однократном бросании монеты пространство элементарных событий состоит из двух точек: ωl — выпадение герба и  
ω2 — выпадение цифры. При трехкратном бросании монеты множество элементарных событий состоит из восьми точек: ω1(ггг), 
ω2(ггц), ω3(гцг), ω4(цгг), ω5(ццг), ω6(цгц), ω7(гцц), ω8(ццц) (г — 
выпадение герба, ц — выпадение цифры). 
2. Пусть имеется партия из 100 деталей, среди которых возможны бракованные. Элементарными событиями в этом случае 

будут 0, 1, …, 100 бракованных деталей в партии, и пространство 
элементарных событий состоит из 101 точки 
0
1
2
100
,
,
,...,
ω
ω
ω
ω
 
(элементарное событие ωi означает, что в партии имеется i бракованных деталей). 
3. 
При 
бросании 
монеты 
до 
выпадения 
герба 
воз- 
можны следующие элементарные события: ωl(г), ω2(цг), ... 
…,

(
1) раз
(цц
цг), ...
n
n −
ω
Пространство элементарных событий состоит 

из бесконечного числа точек. Здесь каждому элементарному событию можно поставить в соответствие некоторое натуральное число, т. е. в этом случае число элементарных событий счетное. 
4. При производстве конденсаторов вследствие неодинаковых 
условий технологического процесса действительные значения емкости конденсаторов отличаются от номинального значения и 
представляют случайные события. Пространство элементарных 
событий в этом случае состоит из бесконечного несчетного числа 
точек (континуума) некоторого отрезка числовой оси, соответствующих действительным значениям емкости. 
Из приведенных примеров следует, что пространство элементарных событий может состоять из конечного числа точек (примеры 1, 2) или из бесконечного счетного (пример 3), или бесконечного несчетного числа точек (пример 4). В этих случаях пространство элементарных событий соответственно называется конечным, счетным или непрерывным (несчетным) пространством. 

б. Алгебра событий 

В п. а было отмечено, что событие A представляет совокупность (множество подмножеств) элементарных событий. Другими 
словами, событие A представляет собой множество различных 
объединений точек пространства элементарных событий. Если 
считать, что в примере 1 элементарное событие означает выпадение одного герба при одном бросании монеты, то событие A — 
выпадение различных сочетаний последовательностей герб-цифра 
при трехкратном бросании монеты включает в себя три элементарных события ωl, ω2, ω3, а множество подмножеств этих событий 
с включением невозможного события ∅  составляют события 
({∅ {ωl}, {ω2}, {ω3}, {ωl, ω2}, {ωl, ω3}, {ω2, ω3}, {ωl, ω2, ω3}). Символически утверждение, состоящее в том, что элементарное собы

тие ω входит в событие A, записывают в виде ω ∈ A. Если элементарное событие ω не принадлежит событию A, то записывают 
ω ∉ A. 
Введем некоторые понятия. Говорят, что событие A влечет за 
собой событие В, если при наличии события A обязательно произойдет событие B. Сокращенно фразу событие A влечет за собой событие B записывают в виде А ⊂ В. 
Если событие A влечет за собой событие В и событие B влечет за 
собой событие A, т. е. если A ⊂ B, а B ⊂ A, события A и B называются эквивалентными. В этом случае пишут A = B. 
Объединением (или суммой) двух событий A и B называется такое событие C, которое состоит в осуществлении события A или 
события B, или событий A и B вместе. Операцию объединения условно записывают в следующем виде: 

C = А ∪ B  или  C = A + B. 

Событие 
C, 
эквивалентное 
объединению 
событий 
A1,  
A2, …, An, будем записывать в виде 

1
1
или
.

n
n

i
i
i
i
С
A
C
A

=
=
=
=∑
∪
 

Пересечением (или произведением) двух событий A и B называется событие С, которое состоит в осуществлении и события A, и 
события B. Операция пересечения событий условно записывается 
в виде 

C = A ∩ B (или C = AB). 

Событие 
C, 
эквивалентное 
пересечению 
событий 
A1,  
A2, …, An, будем записывать в виде 

1
1
или
.

n
n

i
i
i
i
С
A
C
A

=
=
=
=∏
∩
 

Событие 
,
A  которое заключается в том, что событие A не произойдет, называется событием, противоположным событию A. 
Переход к противоположному событию называется операцией отрицания. 
Введенное выше достоверное событие будем обозначать Ω, а 
невозможное событие условимся обозначать ∅, тогда, если собы

тия A и B несовместные (т. е. реализация события A исключает 
осуществление события B, и наоборот), можно записать A ∩ B = ∅. 
Для противоположных событий A и A справедливы соотношения 

(или
),
(или 
).
A
A
AA
A
A
A
A
∩
= ∅
= ∅
∪
= Ω
+
= Ω
* 

Введенные операции над событиями подчинены простым правилам, которые напоминают правила сложения и умножения обычной 
алгебры чисел, однако следует отметить, что в ряде случаев эти операции существенно отличаются друг от друга (см., например, рассматриваемые ниже правила 8 и 1), которые для множества чисел не 
выполняются. Так A + BC ≠ (A + B)(A + C); A + A ≠ A. 
Правила выполнения операций над событиями 
1. A ∪ A = A.   
2. A ∩ A = A.   
3. A ∪ B = B ∪ A.   
4. A ∩ B = B ∩ A.  
5. A ∪ (B ∪ С) = (A ∪ B) ∪ С.  
6. A ∩ (B ∩ С) = (A ∩ В) ∩ С. 
7. A ∩ (B ∪ С) = A ∩ B ∪ A ∩ С.  
8. A ∪ B ∩ С = (A ∪ В) ∩ (A ∪ С). 
9. A ∪ Ω = Ω. 
10. A ∪ ∅ = A. 
11. A ∩ Ω = A. 
12. A ∩ ∅ = ∅. 

13. 
.
A
A
=
 
14. 
.
A
B
A
B
∪
=
∩
 

15. 
.
A
B
A
B
∩
=
∪
 
16. 
,
.
Ω = ∅
∅ = Ω  

17. 
.
A
A
∪
= Ω  
18. 
.
A
A
∩
= ∅  
Две черты в правиле 13 означают операцию двойного отрицания. 

____________________ 
* В литературе встречаются два вида обозначения операций над событиями, в дальнейшем будем использовать только первый вид. 

Круглые скобки в правилах определяют порядок выполнения 
действий над событиями: сначала выполняются действия над событиями, заключенными в скобки. Установлен порядок выполнения действий: если в выражении отсутствуют скобки, то сначала 
выполняется операция отрицания, затем пересечения, а затем в 
последнюю очередь — операция объединения. 
Множество подмножеств элементарных событий M называется 
алгеброй множеств, если выполнены следующие требования: 
1) Ω ∈ M ;  
2) из условия А ∈ M следует, что 
;
A
M
∈
 
3) из условия А ∈ M  и  B ∈ M следует А ∪ B ∈ M и А ∩ B ∈ M. 
Если кроме перечисленных условий дополнительно выполнено 
следующее условие: 
4) из того, что Аn ∈ M (n = 1, 2, …) вытекает, что 
n
n
A ∈
∪
 

и
,
n
т

M
A
M
∈
∈
∩
 тогда M называется σ-алгеброй. 

Рассмотрим еще две операции над событиями: разность и симметрическую разность. 
Разностью событий A и B называется такое событие С, которое состоит в том, что произошло событие A и не произошло событие B. Операцию определения разности условно записывают в 
следующем виде: 

C = A \ B (или C = A – B). 
Симметрической разностью двух событий A и B называется такое событие C, которое состоит в том, что произошло событие B, но 
не произошло событие A, или произошло событие A, но не произошло событие B. Операцию вычисления симметрической разности условно записывают в следующем виде: 

C = A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A). 

По порядку операций разность и симметрическая разность расположены на одном уровне с операцией объединения. 
Запишем некоторые правила выполнения операций разности 
событий:  
1. A \ A = ∅.     2. A∆B = A \ A ∩ B. 
3. 
\ A
A
Ω
=
.  4. 
A
A
A
=
\
. 
5.  A \ ∅ = А.     6. А \ Ω = ∅. 
7. A \ B = (A ∪ B) \ B. 

Симметрическая разность характеризует различие между событиями: если события одинаковы, т. е. совпадают, тогда симметрическая разность равна невозможному событию ∅. Если эти события не совпадают, их симметрическая разность равна объединению этих событий A∆B = A ∪ B. 
Пусть комплекс условий S состоит в том, что из квадрата наудачу выбирается точка (рис. 22.1), не принадлежащая изображенным на этом квадрате окружностям. 

Пусть событие A заключается в том, что точка выбрана из одного круга, а событие B — точка выбрана из другого круга. Тогда 
попадание точки в заштрихованные области соответствует событиям A, B, A ∪ B (А + B), A ∩ B (АB), 
,
,
A B  Ω, ∅, B ⊂ A, А \ B, A∆B. 
Фигуры на плоскости, показанные на рис. 22.1, иллюстрируют 
различные соотношения между событиями. Данные фигуры называют кругами Эйлера или диаграммами Венна. 
В справедливости правил выполнения операций разности событий 1—7 нетрудно убедиться, например, путем построения кругов 

Рис. 22.1 

Эйлера для выражений в их левой и правой частях. Все эти правила 
непосредственно вытекают из определений объединения, пересечения достоверного, невозможного и противоположного событий. В 
качестве примеров покажем справедливость некоторых из приведенных правил. 
Пример 22.1. Доказать, что справедливо соотношение  
A ∪ B ∩ C = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (или при обозначении операций 
другими символами A + BC = (A + B)(A + C)). 
Действительно, если элементарное событие ω ∈ (A ∪ B) ∩  C,  
тогда или ω ∈ A), но в этом случае ω ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); или ω ∈  
∈ B ∩ C), а это значит, что ω ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). В силу произвольности выбора ω имеем A ∪ B ∩ C ⊂ (A ∪ B) ∩  (A ∪ C).  
С другой стороны, пусть (A ∪ B) ∩ (А ∪ C), тогда элементарное 
событие ω принадлежит событиям и A ∪ B, и A ∪ C, а отсюда следует, что ω входит или в событие A, или в события и B, и C, т. е.  
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ B ∩ C. Из определения эквивалентности 
событий имеем A ∪ B ∩  C = A ∪ B) ∩  (A ∪ C). 
Справедливость соотношения A ∪ B ∩ C = (A ∪ B) ∩ (A ∪ ∪ C) 
можно показать также с помощью диаграмм, аналогичных диаграммам, приведенным на рис. 22.1. 
На рис. 22.2, а множество точек, соответствующих событию A, 
обозначено штриховкой в одном направлении, а множество точек, 
соответствующих 
событию  
B ∩ C, обозначено штриховкой 
в другом направлении. Из определения объединения событий 
следует, 
что 
событию  
A ∪ B ∩ C соответствует множество точек, обозначенных 
штриховкой или в одном, или в 
другом направлении. Это множество точек обведено жирной 
линией. 
На рис. 22.2, б множество точек, соответствующих событию  
A ∪ B, обозначено штриховкой в одном направлении, а событию  
A ∪ C — штриховкой в другом направлении. Из определения пересечения событий следует, что пересечению событий (A ∪ B) ∩  
∩ (A ∪ C) соответствует область, обозначенная штриховкой и в 
одном, и в другом направлении. Это множество обведено жирной 

Рис. 22.2