Математические основы теории автоматического управления. Том 2

Математические
основы теории
автоматического
управления
В трех томах
Том 2
Под редакцией профессора Б.К. Чемоданова
Издание третье, переработанное и дополненное
Допущено Министерством образования и науки
Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов высших
учебных заведений, обучающихся по специальностям
Мехатроника
направления подготовки Мехатроника и робототехника
«
»,
«
»
«
»
Роботы и робототехнические системы
ИЗДАТЕЛЬСТВО
им. Н.Э. Баумана
МГТУ
Москва 2008

УДК 519.711.3(075.8) 
ББК 22.161.6 
         М34 
 
Рецензенты: 
кафедра «Робототехника и мехатроника» Московского государственного технологического университета «СТАНКИН» 
(зам. зав. кафедрой д-р техн. наук, доц. Ю.В. Илюхин);  
кафедра «Проблемы управления» Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (ТУ) 
(зам. зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.М. Лохин)  
М34 
Математические основы теории автоматического 
управления: Учеб. пособие: В 3 т. / В.А. Иванов, В.С. Медведев, Б.К. Чемоданов, А.С. Ющенко; Под ред. Б.К. Чемоданова. – 3-е изд., перераб. и доп. – Т. 2. – М.: Изд-во МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, 2008. – 616 с.: ил. 
ISBN 978-5-7038-3174-8 (Т. 2) 
ISBN 978-5-7038-2807-6 
Во втором томе трехтомного учебного пособия содержатся сведения о спектральном анализе, широко используемом в теории автоматического управления при анализе, синтезе и исследовании устойчивости автоматических систем. Значительное место отведено 
операционному исчислению, применяемому в теории автоматического управления при решении дифференциальных и разностных 
уравнений автоматических систем. Приведены методы решения 
разностных уравнений, дан анализ дискретных автоматических систем с применением метода пространства состояний и метода фазовой плоскости. 
Изложение вопросов математики сопровождается рассмотрением основных задач теории автоматического управления. 
Содержание учебного пособия соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Автоматическое управление в технических системах». Будет полезно 
аспирантам и инженерам, специализирующимся в данной области. 
 
                                    УДК 519.711.3(075.8) 
                                                                                            ББК 22.161.6 
                                              
 
 
 
© Чемоданов Б.К., 2008 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008 
 
 
© Оформление. Издательство МГТУ 
ISBN 978-5-7038-3174-8                                        им. Н.Э. Баумана, 2008 

Ч А С Т Ь  4  
СПЕКТРАЛЬНЫЙ  АНАЛИЗ  
И  ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ 
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 
Г л а в а  1 2  
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 
§ 12.1. Ряды Фурье 
а. Гармонический анализ  
В теории и практике автоматического управления часто 
встречаются процессы, которые можно рассматривать как 
периодические. 
Функция называется периодической, если при некотором 
постоянном числе 
0
T >
выполняется равенство 
 
( )
(
),
f t
f t
nT
=
+
       
 (12.1) 
где T — период функции; n — любое целое число (положительное или отрицательное); t  — аргумент, принимает значения из области определения этой функции. 
Периодическая функция 
( )
f t  с периодом Т характеризуется тем, что интеграл от этой функции, взятый в интервале 
длиной Т, не меняется при изменении пределов интегрирования при условии, что длина интервала интегрирования остается равной T, т. е.  
a T
b T
 
( )
( )
f t dt
f t dt
+
+
=
∫
∫
  
         (12.2) 
a
b
при любых a и b. 
Действительно, пусть, например, 0 < a < T,  0 < b < T,  
тогда  
 
3

a T
T
a T
( )
( )
( )
.
f t dt
f t dt
f t dt
+
+
=
+
∫
∫
∫
 
a
a
T
Пусть 
.
t
T
= τ +
  
Найдем 
a T
a
a
a
f t dt
f
T d
f
d
f t dt
+
=
τ +
τ =
τ
τ =
∫
∫
∫
∫
 
T
0
0
0
( )
(
)
( )
( )
.
С учетом введенных обозначений имеем 
a T
T
a
T
f t dt
f t dt
f t dt
f t dt
+
=
+
=
∫
∫
∫
∫
 
a
a
0
0
( )
( )
( )
( )
.
Аналогично  
b T
T
+
f t dt
f t dt
=
∫
∫
 
b
0
( )
( )
.
Сравнивая правые и левые части полученных равенств, 
убеждаемся в справедливости равенства (12.2). 
Косинусоидальный (или синусоидальный) гармонический 
колебательный процесс 
( )
cos(
)
f t
A
t
=
ω −ϕ  является примером простейшей периодической функции (рис. 12.1, а). Эта 
функция называется гармоникой с амплитудой А, угловой 
частотой ω и начальной фазой ϕ. Нетрудно убедиться, что 
гармоника имеет период 
2 .
T
π
= ω  
Действительно, 
[
]
2
cos
(
)
cos (
)
2
cos(
),
A
t
n
A
t
n
A
t
π
⎡
⎤
ω +
−ϕ =
ω −ϕ + π
=
ω −ϕ
⎢
⎥
ω
⎣
⎦
 
т. е. равенство (12.1) выполняется. 
Сложение гармоник 
1
1
1
( )
cos(
),
f t
A
t
=
ω −ϕ
 
2
2
( )
cos
f
t
A
=
× 
2
(2
)
t
×
ω −ϕ
и 
3
3
3
( )
cos(3
)
f
t
A
t
=
ω −ϕ
с различными частотами 
 
4

,
,
ω 2ω 3ω,  кратными наименьшей из них 
,
ω  приводит к образованию периодической функции с периодом 
2 ,
T
π
= ω  равным периоду первой гармоники с частотой 
.
ω  Эта функция 
отличается от гармоник 1
2
3
( ),
( ) и
( ).
f t
f
t
f
t  
Рис. 12.1 
На рис. 12.1, б приведен график функции 
( )
cos
f t
t
=
+  
1 cos2
2
t
+
+ 1 cos3 .
4
t  Каждое из слагаемых функции характеризует косинусоидальное колебание, однако график функции f (t) 
не является косинусоидой. Еще больше от косинусоиды отли=
ω −ϕ
∑
 представчается график функции 
1
( )
cos(
),
k
k
k
f t
A
k
t
∞
=
ляющий собой сумму бесконечного ряда. В результате суммирования членов ряда получаем периодическую функцию, при 
5

чем ее период совпадает с периодом Т первой гармоники ряда. 
Частоты соседних гармоник отличаются друг от друга на величину .
ω  
Далее приращение частоты при переходе от какой-либо 
гармоники с номером k соседней гармонике с номером k + 1 
будем обозначать 
,
Δω  а частоту первой гармоники также 
π
Δω =
 где Т — период 
следует обозначать 
,
Δω  т. е. 
2 ,
T
функции f (t). 
С учетом вновь введенного обозначения сумму бесконечного ряда можно записать в следующем виде: 
=
Δω −ϕ
∑
          
  (12.3) 
 
(
)
1
( )
cos
.
k
k
k
f t
A
k
t
∞
=
Общий член ряда (12.3)
cos(
)
k
k
A
kΔω−ϕ
называется k-й 
гармоникой; частота k-й гармоники равна 
,
kΔω  т. е. кратна 
частоте первой гармоники 
.
Δω  
Эти суждения об образовании периодической функции 
теперь подводят нас к следующим обратным вопросам. Всякую ли заданную периодическую функцию f (t) можно представить в виде суммы гармонических составляющих, т. е. 
произвести ее тригонометрическое разложение? Если функцию f (t) возможно разложить на гармоники, то как найти неизвестные параметры каждой из этих гармоник? Далее показано, что периодические функции, принадлежащие весьма 
обширному классу функций, могут быть представлены   в   
виде  суммы  гармонических  составляющих вида (12.3). 
Допуская существование «нулевой» гармоники 
0,
A
 
функцию f (t) с периодом Т можно записать в виде 
 
     
0
1
1
2
2
( )
cos(
)
cos(2
)
...
f t
A
A
t
A
t
=
+
Δω −ϕ
+
Δω −ϕ
+
=   
 
0
1
cos(
).
k
k
k
A
A
k
t
∞
=
=
+
Δω −ϕ
∑
  
  (12.4)    
 
6

Если учесть, что 
cos(
)
cos
cos
sin
sin
,
k
k
k
k
k
k
A
k
t
A
k
t
A
t
Δω −ϕ
=
Δω
ϕ +
Δω
ϕ
 
и ввести обозначения 
cos
,
k
k
k
A
a
ϕ =
 
sin
,
k
k
k
A
b
ϕ =
 
0
0
,
2
a
A =
 
то 
 
cos(
)
cos
sin
k
k
k
k
A
k
t
a
k
t
b
k
t
Δω −ϕ
=
Δω +
Δω    (12.5) 
и функцию (12.4) можно представить в более удобной форме: 
 
0
a
f t
a
k
t
b
k
t
∞
1
( )
(
cos
sin
).
2
k
k
k
=
=
+
Δω +
Δω
∑
        (12.6) 
Формула (12.6) записи тригонометрического разложения 
в дальнейшем будет широко использоваться. 
Периодическая функция f (t), имеющая период Т, оказывается разложенной по косинусам и синусам углов, кратных 
углу 
.
t
Δω  
Если период функции 
( )
2 ,
f t
T = π  то 
2
2
1,
2
T
π
π
Δω =
=
=
π
 
тогда 
 
0
a
f t
a
kt
b
kt
∞
1
( )
(
cos
sin
).
2
k
k
k
=
=
+
+
∑
             (12.7) 
Пусть функция f (t) имеет период, равный 2π, и принадлежит к классу функций, для которого разложение (12.7) существует. Определим неизвестные постоянные коэффициенты разложения (12.7)
(
)
0,
,
1, 2, ... .
k
k
a
a
b
k =
 
Предварительно отметим свойство семейства функций  
 
1, cos , sin , cos2 , sin 2 , ..., cos
, sin
, ...,
t
t
t
t
nt
nt
    (12.8) 
состоящее в том, что интеграл, взятый от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем 
 
7

длину 2π, равен нулю независимо от выбора нижнего предела интегрирования — свойство ортогональности в интервале 
длиной 2π. 
Действительно,  
c
c
2
2
sin
cos
0,
+ π
+ π
=
=
∫
  так как sin(
2 )
sin
;
kc
kс
+ π =
 
kt
ktdt
k
c
c
c
c
+ π
+ π
2
2
cos
sin
0;
= −
=
∫
 
kt
ktdt
k
c
c
c
c
c
+ π
+ π
+ π
=
−
+
+
=
∫
∫
∫
    
2
2
2
1
1
cos
cos
cos(
)
cos(
)
0
2
2
c
c
c
kt
ltdt
k
l tdt
k
l tdt
                                                                                                  (
);
k
l
≠
 
c
c
c
 
+ π
+ π
+ π
=
−
−
+
=
∫
∫
∫
     
2
2
2
1
1
sin
sin
cos(
)
cos(
)
0
2
2
c
c
c
kt
dt
k
l tdt
k
l tdt
                                                                                                  (
);
k
l
≠
 
c
c
c
+ π
+ π
+ π
=
−
+
+
=
∫
∫
∫
  
2
2
2
1
1
sin
cos
sin(
)
sin(
)
0,
2
2
c
c
c
kt
ltdt
k
l tdt
k
l tdt
где с — любое действительное число. 
Найдем коэффициент 
0.
a
 Предполагая, что  ряд (12.7)  
является равномерно сходящимся, проинтегрируем этот ряд 
почленно от −π до 
:
+π
 
π
π
π
∞
0
a
f t dt
dt
a
kt
b
kt dt
1
( )
(
cos
sin
)
.
2
k
k
k
=
−π
−π
−π
=
+
+
∑
∫
∫
∫
 
Заменим интеграл от бесконечной суммы суммой интегралов от отдельных слагаемых (это возможно благодаря 
равномерной сходимости ряда (12.7)), тогда 
 
8

π
π
π
∞
f t dt
a
a
ktdt
b
ktdt
a
0
0
1
( )
cos
sin
,
k
k
k
=
−π
−π
−π
⎛
⎞
⎜
⎟
= π
+
+
= π
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∫
∫
∫
 
поскольку вследствие ортогональности семейства функции 
(12.8) все интегралы под знаком суммы равны нулю, то 
π
 
0
1
( )
.
a
f t dt
−π
= π ∫
 
 (12.9) 
Определим коэффициенты 
k
a  и 
.
k
b  Для этого умножим 
обе части равенства (12.7) на cos nt (где n — целое положительное число) и проинтегрируем это равенство в прежних 
пределах от −π до 
:
+π  
π
f t
ntdt
( )cos
=
∫
−π
π
π
∞
0
 
a
ntdt
a
kt
nt
b
kt
nt dt
=
+
+
=
∑
∫
∫
cos
(
cos
cos
sin
cos
)
2
1
k
k
k
=
−π
−π
π
π
π
∞
0
a
ntdt
a
kt
ntdt
b
kt
ntdt
∑
∫
∫
∫
cos
cos
cos
sin
cos
.
2
1
k
k
k
=
−π
−π
−π
⎛
⎞
⎜
⎟
=
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
Первое слагаемое правой части равенства, а также все интегралы под знаком суммы, кроме одного при k = n, вследствие ортогональности семейства обращаются в ноль, т. е. 
π
π
π
+
=
=
= π
∫
∫
∫
 
2
1 cos2
( )cos
cos
.
2
n
n
n
nt
f t
ntdt
a
ntdt
a
dt
a
−π
−π
−π
Следовательно, 
π
       
1
( )cos
k
a
f t
ktdt
−π
= π ∫
 (
1, 2, ...).
k =
          (12.10) 
 
9

Аналогично, умножая слева и справа ряд (12.7) на sin nt, 
после интегрирования в тех же пределах получим 
π
       
1
( )sin
k
b
f t
ktdt
−π
= π ∫
 (
1, 2, ...).
k =
   
  (12.11) 
Формулы (12.9) — (12.11) позволяют по заданной функции f (t) с периодом 2π  найти коэффициенты разложения 
этой функции в тригонометрический ряд (12.7), называемый 
рядом Фурье. Коэффициенты 
k
a  и 
k
b  называются коэффициентами Фурье. 
Если функция f (t) четная в интервале (
,
),
−π π  то произведение 
( )cos
f t
kt представляет собой четную, а произведение
( )sin
f t
kt — нечетную функцию. В этом случае bk = 0 (k = 
1, 2, ...), а коэффициенты 
0
a  и 
k
a  можно определить по формулам 
π
2
( )
;
a
f t dt
= π ∫
      
(12.12) 
 
0
0
 
2
( )cos
k
a
f t
ktdt
π
= π∫
   (
1, 2, ...).
k =
     
   (12.13) 
0
Если функция f (t) нечетная на интервале (
,
),
−π π  то произведение f (t)cos kt является нечетной функцией, а произведение f (t)sin kt — четной функцией. Очевидно, что для такой 
функции f (t) коэффициенты 
0
0
a =
 и 
0 (
1, 2, ...),
k
a
k
=
=
 а 
коэффициент k
b  может быть определен по формуле 
 
2
( )sin
k
b
f t
ktdt
π
= π∫
  (
1, 2, ...).
k =
            (12.14) 
0
В формулах (12.9) — (12.11) интегрирование производится в интервале (
,
).
−π π  Однако результат интегрирования не 
изменится, если проинтегрировать на каком-либо другом интервале длиной 2 ,
π  например на интервале 
,
0
(
 2 ).
π  
 
10