Линейные модели управляемых динамических систем. Часть 1. Уравнения «вход-выход» и «вход-состояние-выход»

М67 
УДК 517.94(075.8) 
ББК 22.143 
М67 
Рецензенты: В.И. Сивцов, В.А. Уткин 
 
Митришкин Ю.В.  
  
 
Линейные модели управляемых динамических систем: Учеб. 
пособие: В 2 ч. — Ч. 1: Уравнения «вход — выход» и «вход — 
состояние — выход». — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2008. — 222 с.: ил. 
ISBN 978-5-7038-3142-7 
Рассмотрены линейные модели управляемых динамических систем в непрерывном времени с сосредоточенными параметрами, представляемые в переменных «вход — выход» и в пространстве состояний: «вход — состояние — выход». Приведены сведения, 
необходимые для понимания математического описания линейных 
моделей систем, из разделов функционального анализа и обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрены линейные скалярные SISO-модели (Single-Input-Single-Output: один вход — один выход) и многомерные MIMO-модели (Multi-Inputs-Multi-Outputs: много 
входов — много выходов). Представлены простейшие численные 
примеры, иллюстрирующие линейные модели динамических систем. 
Приведена программа на языке MATLAB (MATrix LABoratory: матричная лаборатория) для получения временных и частотных характеристик динамических систем. Представлены результаты исследования с ее помощью моделей некоторых элементарных динамических 
звеньев. 
Для студентов III – VI курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих основы автоматического управления. Настоящее пособие также 
может быть полезно аспирантам, преподавателям и специалистам, 
применяющим теорию управления на практике. 
 
УДК 517.94(075.8) 
ББК 22.143 
 
 
 
 
 
 
© Митришкин Ю.В., 2008 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008 
 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-3142-7                                            МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008 

 
СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 
◄ — начало доказательства или рассуждения 
► — конец доказательства или рассуждения 
■ — конец примера 
(
,
)
= −∞+ ∞
\
 — действительная (вещественная) прямая: множество действительных чисел 
+
\  — множество положительных действительных чисел 
n
\  — n-мерное евклидово пространство 
1
[ , ...,
]
n
x
x
x
=
 — вектор, xi — его координаты 
s
x
jy
=
+
 — комплексное число, 
(cos
sin )
s
r
j
=
ϕ +
ϕ  — его тригонометрическая запись 
^  — множество комплексных чисел (плоскость комплексного 
переменного s) 
Re , Im
s
s  — вещественная и мнимая части комплексного числа 
,
Re
Im
s
s
s
j
s
∈
=
+
^
  
1
j =
− — мнимая единица, 
2
1
j = − 
| |
s  и arg s  — модуль и аргумент комплексного числа s∈^  
{ }
sup
( )
x
f x  — точная верхняя грань функции 
( )
f x  на множестве 
{ }
x , sup — первые три буквы латинского слова supremum 
(«супремум»), которое переводится как «наивысшее» 
{ }
inf
( )
x
f x  — точная нижняя грань функции 
( )
f x  на множестве { }
x , 
inf — первые три буквы латинского слова infinum («инфинум»), которое переводится как «наинизшее» 
I — единичная матрица 
т
А  — транспонирование матрицы 
т
{(
)}:
{(
)}
ij
ji
A
a
A
a
=
=
 
rk A — ранг матрицы A 
 

Список принятых обозначений 
4 
( )
i A
λ
 — собственное значение матрицы A 
tr A — след матрицы A (сумма диагональных элементов). 
det A — определитель матрицы A 
Adj A — присоединенная матрица 
( )
A
ρ
 — спектральный радиус матрицы A: ( )
max |
( )|
i
i
A
A
ρ
=
λ
 
•  — норма вектора, матрицы или линейного оператора 
( )
df x
dx
 — производная (скорость изменения) функции 
( )
f x  в точке x, эквивалентное обозначение 
( )
f
x
′
; для производной 
по времени вместо 
( )
f
x
′
 также используется f
  
Ax — производная Фреше отображения f в точке x 
( )
u x
x
∂
∂
 — частная производная функции u по переменной x. Если u 
 — матрица Якоби, если u — скаи x — векторы, то u
x
∂
∂
 — градиент 
ляр, а x — вектор, то u
x
∂
∂
( )
f x
∇
 — градиент функции 
( )
,
f x ∈\  
n
x∈\ , т. е. вектор 
f
f
x
x
1
,...,
n
⎡
⎤
∂
∂
⎢
⎥
∂
∂
⎣
⎦
 
Σ — сумма 
—
∫
 неопределенный интеграл 
b
—
a
∫
 определенный интеграл, где a и b — нижний и верхний пределы интегрирования 
—
∞
∫
 несобственный интеграл по бесконечному промежутку с ну0
левым нижним пределом интегрирования 
DA — область определения оператора A 
RA — область значений оператора A 
 

Список принятых обозначений 
5 
Ker A — нуль-пространство (ядро) оператора А 
( )
R λ  — резольвентный оператор (резольвента) 
A ⇒ B — из A следует B 
⇔ — тогда и только тогда 
∀ — для любого 
x
X
∈
 — x принадлежит X 
dim X — размерность линейного пространства X 
[
]
Res
( ),
f z a  — вычет функции комплексного переменного 
( )
f z   
в точке a 
(
)
f
g
∗
 — свертка функций 
( )
f t  и ( )
g t  
t ∈\  — время 
( )
m
u t ∈\  — входной сигнал системы 
( )
l
y t ∈\  — выходной сигнал системы 
( )
n
x t ∈\  — состояние модели системы 
( )
t
δ
 — импульсная функция (функция Дирака, δ-функция) 
1( )
t  — ступенчатая функция (функция Хевисайда) 
( )
h t  — переходная функция 
( )
w t  — весовая функция (импульсная переходная функция) 
d
p
dt
=
 — оператор дифференцирования 
( )
D p  — собственный оператор системы (полином от p) 
( )
K p  — оператор воздействия системы (полином от p) 
( )
( )
( )
K p
W p
D p
=
 — скалярная операторная передаточная функция 
( )
( )
( )
K s
W s
D s
=
 — скалярная комплексная передаточная функция 
( )
D s  — характеристический полином системы 
(
)
W jω  — частотная передаточная функция, амплитудно-фазовая 
частотная характеристика (АФЧХ), диаграмма (годограф) Найквиста 
( )
(
)
A
W j
ω =
ω  — амплитудно-частотная характеристика (функция) — АЧХ 
 

Список принятых обозначений 
6 
( )
arg
(
)
W j
ϕ ω =
ω  — фазовая частотная характеристика (функция) — 
ФЧХ 
( )
Re
(
)
U
W j
ω =
ω  — вещественная частотная характеристика (функция) 
( )
Im
(
)
V
W j
ω =
ω – мнимая частотная характеристика (функция) 
( )
20lg
( )
L
A
ω =
ω  — логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) 
( )
X t  — фундаментальная матрица решений линейного однородного дифференциального уравнения 
0
( )
( ) ( ),
(0)
x t
A t x t
x
x
=
=

 
0
( ,
)
t t
Φ
 — переходная матрица состояния (матрица перехода, переходная матрица) 
At
e
 — матричная экспонента 
0
n
x
x
→
 — последовательность хn стремится к пределу х0, т. е. 
0
lim
n
n
x
x
→∞
=
 
( )
A
σ
 — спектр линейного оператора А 
 
 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
Начало разработки любой системы автоматического управления, как правило, связано с математическим описанием модели управляемого объекта. При этом задаются вопросом: какими 
математическими моделями может представляться управляемый объект, под которым понимается управляемая динамическая система? 
Часть 1 данного учебного пособия посвящена ответу на этот 
вопрос с привлечением в необходимой степени математического 
аппарата, который позволяет объяснить происхождение базовых 
понятий в представлении динамических моделей систем. В этой 
части учебного пособия рассмотрены уравнения линейных моделей в переменных «вход — выход», отражающие взаимосвязь 
между входными и выходными сигналами системы (внешние модели) и в пространстве состояний, т. е. уравнения линейных моделей типа «вход — состояние — выход» (внутренние модели), 
описывающие взаимосвязи между переменными состояния системы. Уделено внимание как скалярным SISO-моделям, так и 
многомерным MIMO-моделям в обоих представлениях. 
Прежде всего важно обратиться к общему понятию системы. 
Система (от гр. systēma — целое, составленное из частей; соединение) — это множество элементов, находящихся в отношениях 
и связях друг с другом, которое образует определенную целостность, единство [1]. Динамическая система — это система, которая описывается дифференциальными уравнениями. Если система 
управляема, то она подвержена управляющим воздействиям, назначением которых является достижение цели управления при 
действии на систему различного вида возмущений и наличии неопределенностей. 
Все динамические системы в природе являются нелинейными 
и имеют распределенные параметры, т. е. описываются нелиней 

Предисловие 
8 
ными дифференциальными уравнениями в частных производных. 
Получение решений таких уравнений и понимание поведения 
динамических систем представляет серьезную проблему, в частности при решении задач автоматического управления.  
Следует обратить внимание, что международное сообщество 
по автоматическому управлению ставит анализ и синтез нелинейных систем в настоящее время на первое место. Об этом 
можно судить по наибольшему употреблению термина «нелинейные системы» (англ. Nonlinear Systems) в представленных 
докладах по сравнению со всеми другими ключевыми терминами на ежегодной Международной конференции по принятию 
решений и управлению CDC 2006 (англ. Conference on Decision 
and Control) [2], которая имеет наиболее высокий статус в мире по теории управления. Второе место в статистике употребления ключевых терминов на CDC 2006 занимают «линейные 
системы» (англ. Linear Systems). Это связано с тем, что на начальной фазе изучения управляемых динамических систем их 
стремятся описать обыкновенными дифференциальными уравнениями и линеаризировать, если это возможно, относительно 
рабочих режимов (траекторий), т. е. перейти к линейным моделям управляемых динамических систем с сосредоточенными 
параметрами.  
Исследование и понимание линейных моделей является более 
простой задачей, но управление многосвязными динамическими 
MIMO-системами высокой размерности может представлять достаточно сложную проблему [3, 4]. Решение этой проблемы обеспечивает во многих случаях понимание природы исходных нелинейных 
динамических 
моделей, 
их 
основные 
свойства 
и 
закономерности вблизи рабочих траекторий.  
Линейные модели позволяют синтезировать регуляторы обратной связи, которые в замкнутых системах дают возможность 
удерживать управляемые процессы на рабочих траекториях как 
для устойчивых, так и для неустойчивых объектов. 
По этой причине весьма желательно при изучении теории систем управления разобраться вначале в основных аспектах линейных моделей управляемых систем с постоянными параметрами.  
Это важно прежде всего для студентов, изучающих дисциплину «Управление в технических системах», которым необходимые 
 

Предисловие 
9 
сведения из соответствующих разделов математики1 уместно напомнить в связи с их применением в теории линейных управляемых систем. Более того, некоторые разделы математики, полезные 
для изучения линейных систем, как правило, не освещаются в 
учебных курсах математики технических вузов, например, линейные операторы в линейных нормированных пространствах, дифференцирование нелинейных операторов (производная Фреше), 
обобщенные функции и т. п. Поэтому в главе 1 пособия рассматриваются элементы функционального анализа, что восполняет в 
некоторой степени указанные пробелы и может способствовать 
пониманию курса линейных систем управления, в частности, математически корректных предельных переходов при использовании δ-функций, применении производной Фреше для линеаризации нелинейных уравнений [6], теоремы об ограниченности 
спектрального радиуса линейного оператора его нормой в задаче 
размещения корней характеристического полинома замкнутой линейной системы управления, использовании редукции линейных 
моделей [6], основ теории H∞ систем управления [6, 7] и т. п. 
В части 2 учебного пособия автор предполагает рассмотреть 
пять разделов линейных моделей управляемых динамических систем: управляемость, наблюдаемость, устойчивость, редукция и 
идентификация.  
Идея редукции сводится к замене модели объекта высокой 
размерности моделью объекта низкой размерности таким образом, чтобы такая аппроксимация была достаточно точной, а регулятор, спроектированный для модели объекта низкой размерности, работал бы удовлетворительно и на модели высокой 
размерности.  
Основной подход современной теории редукции линейных 
моделей основан на внутреннем балансировании (A, B, C, D)реализации линейной модели объекта, которая сводится к нахождению линейного невырожденного преобразования координат, 
приводящего грамианы управляемости и наблюдаемости минимальной реализации системы к одной и той же диагональной 
————————— 
1 Математика (от гр. mathematike′, от ma thema
′
 — знание, наука) — наука о 
количественных отношениях и пространственных формах действительного мира 
(Большая советская энциклопедия. М., 1974. Т. 15. С. 467). 
 

Предисловие 
10 
матрице. Положительные числа, стоящие на главной диагонали 
этой матрицы, называются ганкелевыми сингулярными числами. 
Эти числа являются индикаторами степени влияния входного 
воздействия на каждую управляемую моду модели и степени 
проявления на выходе системы этой же моды в найденном базисе 
пространства состояний.  
Все разделы части 2 пособия будут взаимосвязаны между собой, так как грамианы управляемости и наблюдаемости являются 
решениями соответствующих матричных уравнений Ляпунова, 
полученных для линейных систем. На CDC 2006 один из пленарных докладов проф. А. Кренера (A. Krener) был посвящен редукции динамических систем [2]. Этот факт подчеркивает особую 
значимость редукции как раздела современной теории управления 
в проектировании систем автоматического управления объектами 
высокой размерности [6]. 
В учебном пособии рассматриваются линейные модели динамических систем с постоянными параметрами в непрерывном времени.  
Представление динамических систем в дискретном времени 
является отдельной задачей и основывается не на дифференциальных уравнениях, а на разностных уравнениях, решение и исследование которых имеет свою специфику.  
В пособии приводится ряд примеров. Часть примеров иллюстрирует используемые математические понятия, а часть — дает 
аналитическое и численное решения простых постановок задач без 
применения какой-либо вычислительной техники. Приведенные 
примеры показывают приложение рассматриваемой теории к простейшим задачам по исследованию моделей динамических систем. 
Более сложные задачи целесообразно решать с применением специализированного пакета прикладных программ MATLAB и графического инструментария SIMULINK в среде MATLAB. Простейшая программа для получения временных и частотных 
характеристик линейных динамических моделей также приведена 
в пособии и использована для иллюстрации поведения колебательного звена и аппроксимации звена транспортного запаздывания линейными моделями. 
Идея написания учебного пособия, посвященного линейным 
моделям управляемых динамических систем, навеяна автору работой по проектированию систем автоматического управления плаз