Теория вероятностей и математическая статистика

ТЕОРИЯ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И  МАТЕМАТИЧЕСКАЯ  
СТАТИСТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

С.В. ПАВЛОВ

Москва 
РИОР 
ИНФРА-М

УДК 3.11(075.8) 
ББК 60.6я73 
 
П12 

© С.В. Павлов

Павлов С.В.

Теория вероятностей и математическая статистика : 

учебное пособие / С.В. Павлов. — Москва : РИОР : 
ИНФРА-М, 2023. — 186 с. — (ВО).

ISBN 978-5-369-00679-5 (РИОР)
ISBN 978-5-16-004062-2 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103190-2 (ИНФРА-М, online)

ISBN 978-5-369-00679-5 (РИОР)
ISBN 978-5-16-004062-2 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103190-2 (ИНФРА-М, online)

П12 

В учебном пособии в краткой и доступной форме рассмотрены 

все основные вопросы, предусмотренные государственным образовательным 
стандартом и учебной программой по дисциплине 
«Теория вероятностей и математическая статистика».

Книга позволит быстро получить основные знания по предмету, 
а также качественно подготовиться к зачету и экзамену.

Рекомендуется студентам вузов, обучающимся по экономическим 
и техническим специальностям и направлениям.

УДК 3.11(075.8)
ББК 60.6я73

Оригинал-макет подготовлен в Издательском Центре РИОР.

Подписано в печать 15.02.2023

Формат 70х100/32. Бумага типографская. Гарнитура «Newton». 

Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,74. Уч.-изд. л. 10,22.

Доп. тираж 20 экз.  
Цена свободная.

ТК 75080 – 2000026 – 150223

ООО «Издательский Центр РИОР»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В.

Тел.: (495) 280-38-67. Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: info@riorp.ru    http://www.riorpub.com

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1.
Тел.: (495) 280-15-96. Факс: (495) 280-36-29.

E-mail: books@infra-m.ru     http://www.infra-m.ru

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

Раздел 1 
Теория вероятностей

1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Предметом теории вероятностей является изучение 
 законов, управляющих случайными событиями. К основ-
ным понятиям теории вероятностей относятся испыта-
ние и событие.
Под испытанием понимают реализацию данного 
 комплекса условий, в результате которого непременно 
произойдет какое-либо событие.

П р и м е р ы.  1. Брошена монета — испытание. По-
явление орла или решки — событие. 2. Брошена играль-
ная кость — испытание. Выпадение определенного коли-
чества очков — событие. 3. Произведен выстрел по мише-
ни — испытание. Попадание или промах — событие.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ СОБЫТИЙ

Элементарные события обозначаются буквами А, В, 
С, ... .
Если в результате испытания событие А может прои-
зойти или не произойти, то такое событие называется 
случайным.

П р и м е р. Выпадение трех очков при бросании 
игральной кости — случайное событие.

Если событие непременно произойдет в результате 
испытания, то такое событие называется достоверным и 
обозначается U.
Если событие заведомо не произойдет в результате ис-
пытания, то такое событие называется невозможным и 
обозначается V или (символ пустого множества).

П р и м е р ы.  1. Выпадение не более шести очков 
при бросании игральной кости — достоверное событие. 
2. Выпадение десяти очков при бросании игральной ко-
сти — невозможное событие. 3. Если в урне находятся 
только белые шары, то извлечение белого шара — досто-
верное событие, а извлечение черного шара — невозмож-
ное событие.

События А и В называются равными (равносильными, 
равновозможными), если А происходит тогда и только то-
гда, когда происходит В. Равновозможные события сое-
диняют знаком равенства А = В. 

П р и м е р.  В опыте с подбрасыванием игральной ко-
сти событие А — выпадение единицы и событие В — вы-
падение грани с наименьшим количеством очков равно-
сильны.

Совокупность элементарных событий обозначается и называется пространством элементарных событий.

3. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ.  
СОБЫТИЯ СОВМЕСТНЫЕ И НЕСОВМЕСТНЫЕ, 
РАВНОВОЗМОЖНЫЕ

Событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного 
из событий А и В, называется суммой или объединением 
событий А и В и обозначается С = А + В или С = А В.
Суммой или объединением н е с к о л ь к и х  событий 
А1, А2, …, Аn называется событие С, состоящее в осуществлении 
хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn:

C
A
C
A
i
i

n

i
i

n
=
=

=
=
∑
1
1
,
.
или
∪

П р и м е р.  Если событие А — появление пяти очков 
при бросании игральной кости, а В — шести очков, то событие 
С = А + В — появление не менее пяти очков.

Событие С, состоящее в том, что событие А произошло, 
а событие В не произошло, называется разностью 
событий А и В и обозначается С = А\В или С = А – В.

П р и м е р.  При бросании игральной кости событие А 
означает выпадение четного числа очков, событие В — 
выпадение не менее 3 очков (т.е. 3, 4, 5 или 6). Тогда  
А – В = А\В состоит в выпадении «двойки», B – A = 
= B\A — в выпадении «тройки» или «пятерки».

Событие С, состоящее в одновременном осуществлении 
событий А и В, называется произведением или пересечением (
совмещением) событий A и B и обозначается  
C = AB или C = A B.
Произведением или пересечением н е с к о л ь к и х  со-
бытий А1, А2, …, Аn называется событие С, состоящее в од-
новременном осуществлении событий А1, А2, …, Аn:

C
A
C
A
i
i

n

i
i

n
=
=

=
=
∏
1
1
,
.
или
∩

П р и м е р ы.  1. Событие А — извлечение из колоды 
карт карты пиковой масти, событие В — извлечение из 
колоды дамы. Тогда событие С = АВ — извлечение из ко-
лоды дамы пик. 2. Событие А1 — выпадение «шестерки» 
при бросании игральной кости, событие А2 — выпадение 
четного числа очков, а событие А3 — выпадение числа оч-
ков, большего двух. Тогда А1 + А2 + А3 есть выпадение 2, 3, 
4, 5 или 6 очков, а событие А1А2А3 — выпадение 6 очков.

События называются несовместными, если появление 
одного из них исключает появление другого события (или 
других событий) в одном и том же испытании. Если собы-
тия А и В несовместны, то их пересечение является невоз-
можным событием: А В = V.
Если появление одного из событий не исключает по-
явления другого события, то такие события называются 
совместными.

П р и м е р ы.  1. Попадание и промах при стрельбе по 
мишени — несовместные события. 2. Пусть Аi — событие, 
состоящее в том, что игральная кость выпала гранью с 
i очками. Тогда событие А1 А2 А3 А4 А5 А6 заклю-
чается в том, что кость выпала всеми гранями одновре-
менно, и является невозможным событием V. 3. Исходы 
стрельбы по мишеням двух стрелков являются совмест-
ными событиями.

События А1, А2, …, Аn (n 2) называются попарно 
несов местными, если любые два из них несовместны.
События А1, А2, …, Аn образуют полную группу несо-
вместных событий, если в результате данного испытания 
непременно произойдет только одно из них. При этом 
сумма А1 + А2 +… + Аn равна достоверному событию U.

П р и м е р.  Выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при 
бросании игральной кости образует полную группу несо-
вместных событий.

Два случайных события называются противоположны-
ми, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда 
не происходит другое. Событие, противоположное собы-
тию А, обозначается A и читается «не А». Противополож-
ные события образуют полную группу событий: А + A = U.

П р и м е р ы.  1. Выпадения орла или решки при под-
брасывании монеты являются противоположными собы-
тиями. 2. Попадание и промах при стрельбе по мишени — 
противоположные события.

4. СВОЙСТВА СОБЫТИЙ.  
ФОРМУЛЫ ДЕ МОРГАНА

Для сложения и умножения событий имеют место 
следующие свойства:

1. Коммутативность:

А + В = В + А,     АВ = ВА.

2. Ассоциативность:

А + (В + С) = (А + В) + С,     А(ВС) = (АВ)С.

3. Дистрибутивность:

А(В + С) = АВ + АС.

4. А + А = А,     АА = А,

А + A = U,     АA = V.

5. Формулы де Моргана:

A
B
AB
AB
A
B
+
=
=
+
,
.

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ: КЛАССИЧЕСКОЕ, 
СТАТИСТИЧЕСКОЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ

Для количественной оценки возможности появления 
случайного события вводится понятие вероятности.
Классическое определение вероятности. Вероятностью 
события А называют отношение числа m исходов, благоприятствующих 
этому событию, к числу n всех равновозможных 
несовместных элементарных исходов, образующих 
полную группу:

Р(А) = m/n.

Вероятность достоверного события равна е д и н и ц е, 
вероятность невозможного события — н у л ю:

Р(U ) = 1,   (V ) = 0.

П р и м е р ы. 1. При подбрасывании монеты имеются 
два равновозможных несовместных исхода, следователь-

но, вероятность выпадения орла равна 1/2. Вероятность 
выпадения решки также равна 1/2. 2. При бросании 
игральной кости общее число исходов равно 6; вероятность 
выпадения четного числа очков равна 3/6 = 1/2. Вероятность 
выпадения числа очков, кратных трем, равна  
2/6 = 1/3. 3. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Вероятность 
того, что наудачу вынутый шар окажется белым, равна 
5/12.

Приведенные примеры иллюстрируют схему непосредственного 
вычисления вероятностей. В более сложных 
задачах требуется применение формул комбинаторики (
см. § 7).
К числу основных понятий теории вероятностей относится 
также частота (или относительная частота) события, 
под которой понимают отношение числа испытаний, 
в которых это событие произошло, к общему числу фактически 
проведенных испытаний. Частоту события называют 
статистической вероятностью. Для вычисления частоты 
события необходимо провести реальное испытание 
(опыт), что не требуется для определения вероятности.

П р и м е р.  По теории Менделя при скрещивании желтого 
гороха с желтым примерно в одном случае из четырех 
получается зеленый горох. Для проверки этой теории 
опыт по скрещиванию желтого гороха был проведен 
34 153 раза. В 8506 случаях получился зеленый горох. Частота 
события «появление зеленого гороха» в проведенном 
эксперименте равна 8506/34 153 0,25.

При классическом определении вероятности не всегда 
можно определить числа m и n для вычисления вероятности 
событий, и поэтому непосредственно пользоваться 
формулой (A) = m/n не удается. В таких случаях 
вводят понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности 
попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, 
часть тела и др.).

Пусть, например, имеется некоторая область G и в ней 
содержится другая область g. Требуется найти вероятность 
того, что точка, взятая наудачу в области G, попадет в область 
g. Тогда вероятность попадания точки в какую-либо 
часть области g пропорциональна мере (mes) этой части 
(длине, площади, объему и т.п.) и не зависит от ее расположения 
и формы:

P
g
G
= mes
mes
 (геометрическое определение вероятности).

П р и м е р.  Внутри эллипса x
y
2
2

25
16
1
+
=  расположен круг 

х2 + y2 = 9. Найдем вероятность события А — попадания 
точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.  
В этом случае Р(А) = Sкол/Sэл, где Sкол = Sэл–Sкр = ab–– r2. Так как а = 5, b = 4, r = 3, то 

Р(А) = (20– 9)/(20) = 11/20 = 0,55.

6. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ  
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Аксиоматическое определение вероятности было 
предложено А.Н. Колмогоровым (1933).
1. Каждому случайному событию А из поля событий 
ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), на-
зываемое вероятностью.
2. Р(U) = 1.
3. Если события А1, А2, …, Аn попарно несовместны, то

Р(А1 + А2 + … + Аn) = Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn)  
(аксиома сложения).

Отсюда следует, что:
• вероятность невозможного события равна нулю;
• для любого события А

Р(А) = 1–Р(A),

где A — противоположное событие;
• каково бы ни было случайное событие А,

0 Р(А) 1.

Используя эти аксиомы, свойства вероятностей выво-
дят в виде теорем.

7. КОМБИНАТОРИКА. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ  
И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.  
СОБЫТИЯ ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ

Для решения задач на непосредственное вычисление 
вероятностей часто требуется применение формул ком-
бинаторики. Комбинаторика занимается подсчетом чис-
ла различных комбинаций. Наиболее часто в теории ве-
роятностей применяются размещения, перестановки и 
сочетания.
Размещениями из n элементов по m называются у п о -
р я д о ч е н н ы е  наборы из m элементов, взятых из дан-
ных n. Число всех размещений из n по m обозначается An
m:

A
n
n
m
n n
n
m
n
m =
−
=
−
−
+
!
(
)!
(
)
(
).
1
1
Размещения отличаются составом элементов и их по-
рядком.

П р и м е р.  Группа студентов изучает 7 учебных дис-
циплин. Сколькими способами можно составить распи-
сание занятий на понедельник, если в этот день недели 
студенты должны изучать 4 различные дисциплины? 
Число таких способов равно числу размещений из 7 эле-

ментов по 4, т.е. A7
4
7
3
7 6 5 4
840
=
=
⋅
⋅
⋅
=
!
!
.

Перестановками элементов множества называются 
у п о р я д о ч е н н ы е  наборы всех элементов этого мно-