Статистическая динамика систем управления

Н.П. Деменков

Статистическая динамика 

систем управления

Учебное пособие

 

УДК 681.5:681.3 
ББК 14.2.6 
 
Д30 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/200/book1680.html 

Факультет «Информатика и системы управления» 
Кафедра «Системы автоматического управления» 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор Ю.В. Митришкин, 
канд. техн. наук, доцент Н.А. Чулин 
 
 
Деменков, Н. П. 
Д30  
Статистическая динамика систем управления : учебное пособие /  
  
Н. П. Деменков. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана,  
  
2017. — 146, [2] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4717-6 

Изложено решение задач анализа и синтеза систем управления при случайных воздействиях на основе теории оптимального оценивания. Наряду с основными фундаментальными положениями статистической теории автоматических 
систем, рассмотрены инженерные методы вероятностного расчета и проектирования сложных систем. Приведено большое число примеров, в которых отражены алгоритмы и результаты расчета вероятностных характеристик систем, работающих в условиях случайных воздействий.  
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
«Управление в технических системах» и изучающих дисциплины «Статистическая динамика систем управления», «Основы теории управления». Издание будет полезным также для научных работников, инженеров, аспирантов и студентов старших курсов технических университетов. 
 
 
  УДК 681.5:681.3 
 
  ББК 14.2.6 
 
 

 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4717-6 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 

Предисловие 

Системы автоматического управления (САУ), как правило, работают в 
условиях помех. В качестве примеров можно привести пневмосистемы с 
емкостями постоянного давления, системы регулирования частоты вращения автономных генераторов переменного тока, термоэлектростанции, различные транспортные системы, следящие системы радиотелескопов, системы телеуправления и самонаведения ракет и ряд других. В связи с этим для 
анализа и синтеза систем автоматического управления широко привлекаются вероятностные (статистические) методы. 
Начиная с основополагающих работ А.Я. Хинчина в области теории случайных процессов и работ А.Н. Колмогорова и Н. Винера, посвященных  
решению проблемы фильтрации в классе линейных систем, статистическая 
динамика систем управления получила дальнейшее развитие в исследованиях 
отечественных (В.В. Гнеденко, В.С. Пугачев, В.В. Солодовников и др.) и зарубежных (Р. Бьюси, Л. Заде, Р. Калман, А.М. Пелегрен, Дж. Рагоцини и др.) 
ученых. 
Изучение реального движения какого-либо динамического объекта 
управления по данным измерений означает, с одной стороны, определение 
для любого момента времени параметров, характеризующих реальное движение, а с другой стороны — анализ движения, т. е. выявление причин отклонения реального движения от расчетного или требуемого. 
Под определением движения понимают оптимальное в принятом смысле 
оценивание параметров движения с использованием некоторой математической модели движения для любого момента времени на заданном интервале 
по измерениям, функционально связанным с параметрами движения. 
Под анализом движения понимают получение оптимальных в принятом 
смысле оценок характеристик модели движения или самой структуры модели 
на заданном интервале времени по измерениям, функционально связанным с 
параметрами движения. Это есть задача идентификации, т. е. определение 
такой математической модели движения из заданного класса, которой в  
каком-то смысле эквивалентно реальное движение объекта. 
При проектировании современных систем автоматического управления 
повышаются требования к качеству их работы. В реальных условиях на системы управления наряду с полезными управляющими сигналами действуют 
случайные возмущения. Сами полезные сигналы во многих случаях также 
имеют вероятностный характер. Поэтому для изучения динамики и оценки 

качества автоматических систем широко применяются статистические методы анализа и синтеза. 
Исследование качества работы систем автоматического управления при 
случайных воздействиях составляет предмет статистической теории, являющейся теоретической базой для анализа эффективности существующих и 
оценки потенциальных качеств перспективных и проектируемых автоматических систем. 
Дисциплина «Статистическая динамика систем управления» относится к 
числу фундаментальных. Ее предметом является изучение процессов управления динамическими объектами, находящимися под воздействием случайных возмущений, в целях привития студентам навыков, необходимых для 
формулировки обоснованного технического задания на проектирование 
сложной стохастической системы управления техническим объектом или 
технологическим процессом. 
В настоящем издании изложены основы статистического анализа и синтеза систем автоматического управления в технических системах.  
Цель пособия — дать представление о характерных особенностях стохастических систем автоматического управления и задачах, стоящих перед разработчиками и пользователями систем управления. Освоение материала даст 
возможность грамотно выбирать методы исследования стохастических  
систем управления и оценивать достоверность результатов, полученных при 
компьютерных расчетах. 
Настоящее издание предназначено для студентов, изучающих дисциплины 
«Статистическая динамика систем управления», «Основы теории управления».  
Предполагается, что читатели освоили классические разделы высшей математики (линейную алгебру, дифференциальное и интегральное исчисление), прямые и косвенные методы оптимизации, математическую статистику 
и теорию вероятности, а также основы теории управления при детерминированных воздействиях. 
Издание состоит из шести глав. Первая глава посвящена анализу и синтезу систем при случайных воздействия. Во второй главе обсуждается структурный синтез систем автоматического управления с учетом условия минимума среднеквадратической ошибки. Третья глава посвящена оптимальной 
фильтрации в линейных нестационарных системах. В четвертой главе приведены методы оценки параметров движения летательных аппаратов по данным траекторных измерений. Пятая глава посвящена байесовским и минимаксным методам оценивания измерений. В шестой главе обсуждается анализ точности и синтез нелинейных систем. 
Особенностью данного пособия является изложение, с одной стороны, 
фундаментальных положений статистической теории автоматических систем, 
а с другой — рассмотрение инженерных методов вероятностного расчета и 
проектирования сложных систем. В издании приведено большое число инженерных примеров, в которых отражены алгоритмы и результаты расчета  
вероятностных характеристик систем, работающих в условиях случайных 
воздействий.  

Изложение примеров, результатов расчета и их анализ приводятся непосредственно за теоретическим материалом. Такой методический прием позволил экономно и стройно изложить теоретические вопросы и дать подробные инженерные приложения. 
Большое число примеров поможет студентам, аспирантам и инженерам 
различных специальностей шире применять излагаемые в издании статистические методы анализа и синтеза систем управления. 
Ограниченный объем книги позволил обозначить лишь наиболее важные 
традиционные и современные подходы к анализу и синтезу систем управления при случайных воздействиях. Для более углубленного изучения материала рекомендуется пользоваться дополнительной литературой. 
Автор благодарит рецензентов, которые внимательно прочитали рукопись 
и высказали много полезных замечаний. Все они были учтены при подготовке окончательного варианта издания. 

Г л а в а  1  
Анализ и синтез систем  
при случайных воздействиях 

1.1. Преобразование случайных сигналов 
динамической системой во временной области 

В реальных условиях действующие в системе автоматического управления (САУ) управляющий сигнал u(t) и возмущения f(t) являются случайными и могут быть описаны только с помощью статистических методов 
(рис. 1.1). 

 

Рис. 1.1. Структурная схема САУ: 
Wр(s), W0(s) — передаточная функция регулятора и объекта соот- 
  
ветственно 

Для случайных воздействий ошибка воспроизведения e(t) = u(t) – x(t) является так же случайной функцией. Поэтому можно говорить об определении 
не мгновенных, а только средних значений ошибки. 
Обычно качество работы динамической системы при случайных стационарных воздействиях характеризуется среднеквадратической ошибкой, т. е. 
квадратным корнем из величины 

2
2
1
lim
( )
,
2

T

T
T
e
e
t dt
T




 

которую называют средним значением 
квадрата ошибки. 
Под случайным, или стохастическим, 
процессом понимают множество случайных величин X(t), зависящих от времени. 
Рассмотрим большое число одинаковых систем, находящихся в одинаковых 
условиях (рис. 1.2). 

 

Рис. 1.2. Ансамбль реализаций 
  
случайной функции 

При отсутствии входного сигнала выходной сигнал каждой системы 
вследствие малых случайных изменений многих трудноучитываемых факторов представляет собой непрерывную случайную функцию x(t). Поскольку системы одинаковы и находятся в одинаковых условиях, статистические 
свойства их выходов также одинаковы. 
Будем рассматривать эти выходы как реализации одной и той же случайной функции x(t). Значения случайного процесса в отдельные моменты 
времени 
kt  зависят только от элементарного события, т. е. превращаются в 
случайные величины со своим законом распределения. 

 

Рис. 1.3. Характеристики случайной величины: 
а — функция распределения; б — плотность распределения 
  
вероятностей 

Как известно, случайная величина может быть задана функцией распределения 
( )
(
)
F x
P X
x


 (рис. 1.3, а) и плотностью распределения вероятности (рис. 1.3, б): 

0
0
( )
(
)
(
)
( )
( )
lim
lim
,
x
x
dF x
P x
X
x
x
F x
x
F x
f x
dx
x
x
 
 


 
 






 

откуда 

( )
( )
.

x

F x
f x dx


 
 

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X: 

[
]
( )
.
x
M X
xf x dx





 

 

Момент m-го порядка случайной величины X: 

( )
.
m
m
x
x
f x dx




 

 

Центральный момент m-го порядка 

[(
) ]
(
)
( )
.
m
m
M
X
x
X
x
f x dx










 

Дисперсия 

2
2
[(
) ]
(
)
( )
.
M
X
x
X
x
f x dx










 

На рис. 1.4 приведены графики функции распределения F(x) и плотности 
распределения вероятностей f(x) равномерного закона распределения 

0,
если
или
;
( )
1
,
если
,

x
a
x
b
f x
a
x
b
b
a




 


 

   
1
( )
1,

b

a
F x
dx
b
a




 

а на рис. 1.5 — нормального закона распределения случайной величины 




2
1
2
1
( )
e
;
2

X
x
f x




 



    



2
1
2
1
( )
e
1.
2

X
x
F x
dx














 

 

Рис. 1.4. Характеристики равномерного закона 
  
распределения: 
а — функция распределения; б — плотность распре- 
  
деления вероятностей 

 

Рис. 1.5. Характеристики нормального закона 
  
распределения: 
а — функция распределения; б — плотность рас- 
  
пределения вероятностей 
 
В системах управления плотность распределения вероятности f(x, t) для 
случайного процесса зависит от времени:  

( , )
[
( )
]
( , )
.
dF x t
P x
X t
x
dx
f x t
dx
dx





 

Математическое ожидание (усреднение по множеству) 

( )
[
( )]
( , )
( )
x
m
t
M X t
xf x t dx
x t









  

характеризует среднее значение случайной функции. 
Дисперсия 

2
( )
[
( )]
[
( )
( )]
( , )
x
x
D t
D X t
X t
m
t
f x t dx








 

характеризует разброс относительно среднего значения 
( ),
x
m
t
 где 
( , )
f x t  — 
одномерная плотность вероятности для момента t. 
Связь между значениями случайного процесса X(t) в моменты времени 1t  
и 
2t  определяется двумерной плотностью распределения вероятности того, 
что случайная величина 
1
( )
X t
 в момент времени 
1t  будет находиться в интервале между 
1x  и 
1
1,
x
dx

 а в момент времени 
2t  случайная величина 

2
( )
X t
 будет лежать в пределах от 
2
x  до 
2
2:
x
dx

  



1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
( )
;
( )
(
, ,
,
).
P x
X t
x
dx
x
X t
x
dx
f x t x
t
dx dx







 

Связь между значениями случайного процесса в моменты 
1t  и 
2t  определяется как среднее значение произведения этих значений случайной функции 

1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
[
( )
( )]
( ) ( )
(
, ,
,
)
( ,
),
M X t
X t
x t
x t
x x f x t x t
dx dx
R t t

 

 



 
 

которое носит название корреляционной функции. 
Различают автокорреляционную функцию 

1
2
1
2
( ,
)
( ) ( )
x
R
t t
x t
x t

 и взаим
ную корреляционную функцию 

1
2
1
2
( ,
)
( ) ( ).
xy
R
t t
x t
y t

 
Корреляционная функция характеризует статистическую связь между значениями одного и того же или разных процессов в моменты времени 1t  и 2.
t
 
Случайные процессы подразделяют на стационарные и нестационарные. 
Для стационарных случайных процессов статистические характеристики 
процессов не меняются.  
Различают стационарность в узком и широком смысле. В узком смысле — 
все моменты случайного процесса до m-го порядка должны быть постоянны. 
В широком смысле требуется постоянство лишь первых двух моментов: 

( )
const;
x
x
m
t
m


 

1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
( ,
)
(
,
,
)
(
)
( );
x
x
x
R
t t
x x f x x t
t
dx dx
R t
t
R

 

 






 
 



1
1
1
1
2
1
2
2
( )
( )
(
)
(
,
, )
.
R
M X t
X t
dx
x x f x x
dx






 
 




 

Эргодическая гипотеза. Для многих стационарных процессов с вероятностью, равной 1, среднее по множеству совпадает со средним по времени 

,
x
x


   
1
2
1
2
x x
x x

 и т. д. 

На основании гипотезы эргодичности можно решать многие задачи. 
Например, ансамбль реализации стационарного случайного процесса x(t) 
можно получить, разрезав на куски длинную запись случайной величины 
X(t), полученную для одной системы, и расположив эти куски один под другим. Среднее по времени 

0

1
1
lim
( )
lim
( )
.
2

T
T

T
T
T

x
x t dt
x t dt
T
T







 

Автокорреляционная функция 

1
2

0

1
( )
lim
( ) (
)
,

T

x
T
R
x x
x t x t
dt
T

 

 

 

где 
1
( );
x
x t

 
2
(
).
x
x t

   
Заметим, что стационарность и эргодичность — не одно и то же. 
Напомним свойства корреляционной функции. 
Автокорреляционная функция является четной относительно параметра 
сдвига . Взаимная корреляционная функция не является четной: 
( )
(
);
xy
yx
R
R
 
  

1
( )
lim
( ) (
)
;
2

T

yx
T
T

R
y t x t
dt
T


 
 

 

1
(
)
lim
( ) (
)
.
2

T

yx
T
T

R
y t x t
dt
T


 
 

 

Выполнив замену 1
,
t
t
    получим 

1
1
1
1
(
)
lim
(
) ( )
( ).
2

T

yx
xy
T
T
R
y t
x t
dt
R
T


 
 



 

Значение корреляционной функции при 
0
 
 определяется средним значением квадрата случайной функции: 

2
2
(0)
[
( )]
.
x
x
R
M X
t
x
D



 

Начальное 
значение 
корреляционной 
функции 
является 
наибольшим:
(0)
( ).
R
R

  Конечное значение корреляционной функции равно квадра
ту среднего значения 
2
( )
x
 случайной величины X: 

2
2
(
)
( )
( ) .
x
R
x
x
   

