Статистическая динамика систем управления

Н.П. Деменков

Статистическая динамика 

систем управления

Учебное пособие

 

УДК 681.5:681.3 
ББК 14.2.6 
 
Д30 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/200/book1680.html 

Факультет «Информатика и системы управления» 
Кафедра «Системы автоматического управления» 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор Ю.В. Митришкин, 
канд. техн. наук, доцент Н.А. Чулин 
 
 
Деменков, Н. П. 
Д30  
Статистическая динамика систем управления : учебное пособие /  
  
Н. П. Деменков. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана,  
  
2017. — 146, [2] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4717-6 

Изложено решение задач анализа и синтеза систем управления при случайных 
воздействиях на основе теории оптимального оценивания. Наряду с основными 
фундаментальными положениями статистической теории автоматических 
систем, рассмотрены инженерные методы вероятностного расчета и проектирования 
сложных систем. Приведено большое число примеров, в которых отражены 
алгоритмы и результаты расчета вероятностных характеристик систем, работающих 
в условиях случайных воздействий.  
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
«Управление в технических системах» и изучающих дисциплины «Статистиче-
ская динамика систем управления», «Основы теории управления». Издание бу-
дет полезным также для научных работников, инженеров, аспирантов и студен-
тов старших курсов технических университетов. 
 
 
  УДК 681.5:681.3 
 
  ББК 14.2.6 
 
 

 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4717-6 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 

Предисловие 

Системы автоматического управления (САУ), как правило, работают в 
условиях помех. В качестве примеров можно привести пневмосистемы с 
емкостями постоянного давления, системы регулирования частоты враще-
ния автономных генераторов переменного тока, термоэлектростанции, раз-
личные транспортные системы, следящие системы радиотелескопов, систе-
мы телеуправления и самонаведения ракет и ряд других. В связи с этим для 
анализа и синтеза систем автоматического управления широко привлекают-
ся вероятностные (статистические) методы. 
Начиная с основополагающих работ А.Я. Хинчина в области теории слу-
чайных процессов и работ А.Н. Колмогорова и Н. Винера, посвященных  
решению проблемы фильтрации в классе линейных систем, статистическая 
динамика систем управления получила дальнейшее развитие в исследованиях 
отечественных (В.В. Гнеденко, В.С. Пугачев, В.В. Солодовников и др.) и за-
рубежных (Р. Бьюси, Л. Заде, Р. Калман, А.М. Пелегрен, Дж. Рагоцини и др.) 
ученых. 
Изучение реального движения какого-либо динамического объекта 
управления по данным измерений означает, с одной стороны, определение 
для любого момента времени параметров, характеризующих реальное движе-
ние, а с другой стороны — анализ движения, т. е. выявление причин отклоне-
ния реального движения от расчетного или требуемого. 
Под определением движения понимают оптимальное в принятом смысле 
оценивание параметров движения с использованием некоторой математиче-
ской модели движения для любого момента времени на заданном интервале 
по измерениям, функционально связанным с параметрами движения. 
Под анализом движения понимают получение оптимальных в принятом 
смысле оценок характеристик модели движения или самой структуры модели 
на заданном интервале времени по измерениям, функционально связанным с 
параметрами движения. Это есть задача идентификации, т. е. определение 
такой математической модели движения из заданного класса, которой в  
каком-то смысле эквивалентно реальное движение объекта. 
При проектировании современных систем автоматического управления 
повышаются требования к качеству их работы. В реальных условиях на системы 
управления наряду с полезными управляющими сигналами действуют 
случайные возмущения. Сами полезные сигналы во многих случаях также 
имеют вероятностный характер. Поэтому для изучения динамики и оценки 

качества автоматических систем широко применяются статистические методы 
анализа и синтеза. 
Исследование качества работы систем автоматического управления при 
случайных воздействиях составляет предмет статистической теории, являющейся 
теоретической базой для анализа эффективности существующих и 
оценки потенциальных качеств перспективных и проектируемых автоматических 
систем. 
Дисциплина «Статистическая динамика систем управления» относится к 
числу фундаментальных. Ее предметом является изучение процессов управления 
динамическими объектами, находящимися под воздействием случайных 
возмущений, в целях привития студентам навыков, необходимых для 
формулировки обоснованного технического задания на проектирование 
сложной стохастической системы управления техническим объектом или 
технологическим процессом. 
В настоящем издании изложены основы статистического анализа и синтеза 
систем автоматического управления в технических системах.  
Цель пособия — дать представление о характерных особенностях стохастических 
систем автоматического управления и задачах, стоящих перед разработчиками 
и пользователями систем управления. Освоение материала даст 
возможность грамотно выбирать методы исследования стохастических  
систем управления и оценивать достоверность результатов, полученных при 
компьютерных расчетах. 
Настоящее издание предназначено для студентов, изучающих дисциплины 
«Статистическая динамика систем управления», «Основы теории управления».  
Предполагается, что читатели освоили классические разделы высшей математики (
линейную алгебру, дифференциальное и интегральное исчисление), 
прямые и косвенные методы оптимизации, математическую статистику 
и теорию вероятности, а также основы теории управления при детерминированных 
воздействиях. 
Издание состоит из шести глав. Первая глава посвящена анализу и синтезу 
систем при случайных воздействия. Во второй главе обсуждается структурный 
синтез систем автоматического управления с учетом условия минимума 
среднеквадратической ошибки. Третья глава посвящена оптимальной 
фильтрации в линейных нестационарных системах. В четвертой главе приведены 
методы оценки параметров движения летательных аппаратов по данным 
траекторных измерений. Пятая глава посвящена байесовским и минимаксным 
методам оценивания измерений. В шестой главе обсуждается анализ 
точности и синтез нелинейных систем. 
Особенностью данного пособия является изложение, с одной стороны, 
фундаментальных положений статистической теории автоматических систем, 
а с другой — рассмотрение инженерных методов вероятностного расчета и 
проектирования сложных систем. В издании приведено большое число инженерных 
примеров, в которых отражены алгоритмы и результаты расчета  
вероятностных характеристик систем, работающих в условиях случайных 
воздействий.  

Изложение примеров, результатов расчета и их анализ приводятся непосредственно 
за теоретическим материалом. Такой методический прием позволил 
экономно и стройно изложить теоретические вопросы и дать подробные 
инженерные приложения. 
Большое число примеров поможет студентам, аспирантам и инженерам 
различных специальностей шире применять излагаемые в издании статистические 
методы анализа и синтеза систем управления. 
Ограниченный объем книги позволил обозначить лишь наиболее важные 
традиционные и современные подходы к анализу и синтезу систем управления 
при случайных воздействиях. Для более углубленного изучения материала 
рекомендуется пользоваться дополнительной литературой. 
Автор благодарит рецензентов, которые внимательно прочитали рукопись 
и высказали много полезных замечаний. Все они были учтены при подготовке 
окончательного варианта издания. 

Г л а в а  1  
Анализ и синтез систем  
при случайных воздействиях 

1.1. Преобразование случайных сигналов 
динамической системой во временной области 

В реальных условиях действующие в системе автоматического управле-
ния (САУ) управляющий сигнал u(t) и возмущения f(t) являются случай-
ными и могут быть описаны только с помощью статистических методов 
(рис. 1.1). 

 

Рис. 1.1. Структурная схема САУ: 
Wр(s), W0(s) — передаточная функция регулятора и объекта соот- 
  
ветственно 

Для случайных воздействий ошибка воспроизведения e(t) = u(t) – x(t) яв-
ляется так же случайной функцией. Поэтому можно говорить об определении 
не мгновенных, а только средних значений ошибки. 
Обычно качество работы динамической системы при случайных стацио-
нарных воздействиях характеризуется среднеквадратической ошибкой, т. е. 
квадратным корнем из величины 

2
2
1
lim
( )
,
2

T

T
T
e
e
t dt
T




 

которую называют средним значением 
квадрата ошибки. 
Под случайным, или стохастическим, 
процессом понимают множество случай-
ных величин X(t), зависящих от времени. 
Рассмотрим большое число одинако-
вых систем, находящихся в одинаковых 
условиях (рис. 1.2). 

 

Рис. 1.2. Ансамбль реализаций 
  
случайной функции 

При отсутствии входного сигнала выходной сигнал каждой системы 
вследствие малых случайных изменений многих трудноучитываемых фак-
торов представляет собой непрерывную случайную функцию x(t). Посколь-
ку системы одинаковы и находятся в одинаковых условиях, статистические 
свойства их выходов также одинаковы. 
Будем рассматривать эти выходы как реализации одной и той же слу-
чайной функции x(t). Значения случайного процесса в отдельные моменты 
времени 
kt  зависят только от элементарного события, т. е. превращаются в 
случайные величины со своим законом распределения. 

 

Рис. 1.3. Характеристики случайной величины: 
а — функция распределения; б — плотность распределения 
  
вероятностей 

Как известно, случайная величина может быть задана функцией распре-
деления 
( )
(
)
F x
P X
x


 (рис. 1.3, а) и плотностью распределения вероят-
ности (рис. 1.3, б): 

0
0
( )
(
)
(
)
( )
( )
lim
lim
,
x
x
dF x
P x
X
x
x
F x
x
F x
f x
dx
x
x
 
 


 
 






 

откуда 

( )
( )
.

x

F x
f x dx


 
 

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X: 

[
]
( )
.
x
M X
xf x dx





 

 

Момент m-го порядка случайной величины X: 

( )
.
m
m
x
x
f x dx




 

 

Центральный момент m-го порядка 

[(
) ]
(
)
( )
.
m
m
M
X
x
X
x
f x dx










 

Дисперсия 

2
2
[(
) ]
(
)
( )
.
M
X
x
X
x
f x dx










 

На рис. 1.4 приведены графики функции распределения F(x) и плотности 
распределения вероятностей f(x) равномерного закона распределения 

0,
если
или
;
( )
1
,
если
,

x
a
x
b
f x
a
x
b
b
a




 


 

   
1
( )
1,

b

a
F x
dx
b
a




 

а на рис. 1.5 — нормального закона распределения случайной величины 




2
1
2
1
( )
e
;
2

X
x
f x




 



    



2
1
2
1
( )
e
1.
2

X
x
F x
dx














 

 

Рис. 1.4. Характеристики равномерного закона 
  
распределения: 
а — функция распределения; б — плотность распре- 
  
деления вероятностей 

 

Рис. 1.5. Характеристики нормального закона 
  
распределения: 
а — функция распределения; б — плотность рас- 
  
пределения вероятностей 
 
В системах управления плотность распределения вероятности f(x, t) для 
случайного процесса зависит от времени:  

( , )
[
( )
]
( , )
.
dF x t
P x
X t
x
dx
f x t
dx
dx





 

Математическое ожидание (усреднение по множеству) 

( )
[
( )]
( , )
( )
x
m
t
M X t
xf x t dx
x t









  

характеризует среднее значение случайной функции. 
Дисперсия 

2
( )
[
( )]
[
( )
( )]
( , )
x
x
D t
D X t
X t
m
t
f x t dx








 

характеризует разброс относительно среднего значения 
( ),
x
m
t
 где 
( , )
f x t  — 
одномерная плотность вероятности для момента t. 
Связь между значениями случайного процесса X(t) в моменты времени 1t  
и 
2t  определяется двумерной плотностью распределения вероятности того, 
что случайная величина 
1
( )
X t
 в момент времени 
1t  будет находиться в ин-
тервале между 
1x  и 
1
1,
x
dx

 а в момент времени 
2t  случайная величина 

2
( )
X t
 будет лежать в пределах от 
2
x  до 
2
2:
x
dx

  



1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
( )
;
( )
(
, ,
,
).
P x
X t
x
dx
x
X t
x
dx
f x t x
t
dx dx







 

Связь между значениями случайного процесса в моменты 
1t  и 
2t  опреде-
ляется как среднее значение произведения этих значений случайной функции 

1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
[
( )
( )]
( ) ( )
(
, ,
,
)
( ,
),
M X t
X t
x t
x t
x x f x t x t
dx dx
R t t

 

 



 
 

которое носит название корреляционной функции. 
Различают автокорреляционную функцию 

1
2
1
2
( ,
)
( ) ( )
x
R
t t
x t
x t

 и взаим-

ную корреляционную функцию 

1
2
1
2
( ,
)
( ) ( ).
xy
R
t t
x t
y t

 
Корреляционная функция характеризует статистическую связь между зна-
чениями одного и того же или разных процессов в моменты времени 1t  и 2.
t
 
Случайные процессы подразделяют на стационарные и нестационарные. 
Для стационарных случайных процессов статистические характеристики 
процессов не меняются.  
Различают стационарность в узком и широком смысле. В узком смысле — 
все моменты случайного процесса до m-го порядка должны быть постоянны. 
В широком смысле требуется постоянство лишь первых двух моментов: 

( )
const;
x
x
m
t
m


 

1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
( ,
)
(
,
,
)
(
)
( );
x
x
x
R
t t
x x f x x t
t
dx dx
R t
t
R

 

 






 
 



1
1
1
1
2
1
2
2
( )
( )
(
)
(
,
, )
.
R
M X t
X t
dx
x x f x x
dx






 
 




 

Эргодическая гипотеза. Для многих стационарных процессов с вероятностью, 
равной 1, среднее по множеству совпадает со средним по времени 

,
x
x


   
1
2
1
2
x x
x x

 и т. д. 

На основании гипотезы эргодичности можно решать многие задачи. 
Например, ансамбль реализации стационарного случайного процесса x(t) 
можно получить, разрезав на куски длинную запись случайной величины 
X(t), полученную для одной системы, и расположив эти куски один под другим. 
Среднее по времени 

0

1
1
lim
( )
lim
( )
.
2

T
T

T
T
T

x
x t dt
x t dt
T
T







 

Автокорреляционная функция 

1
2

0

1
( )
lim
( ) (
)
,

T

x
T
R
x x
x t x t
dt
T

 

 

 

где 
1
( );
x
x t

 
2
(
).
x
x t

   
Заметим, что стационарность и эргодичность — не одно и то же. 
Напомним свойства корреляционной функции. 
Автокорреляционная функция является четной относительно параметра 
сдвига . Взаимная корреляционная функция не является четной: 
( )
(
);
xy
yx
R
R
 
  

1
( )
lim
( ) (
)
;
2

T

yx
T
T

R
y t x t
dt
T


 
 

 

1
(
)
lim
( ) (
)
.
2

T

yx
T
T

R
y t x t
dt
T


 
 

 

Выполнив замену 1
,
t
t
    получим 

1
1
1
1
(
)
lim
(
) ( )
( ).
2

T

yx
xy
T
T
R
y t
x t
dt
R
T


 
 



 

Значение корреляционной функции при 
0
 
 определяется средним значением 
квадрата случайной функции: 

2
2
(0)
[
( )]
.
x
x
R
M X
t
x
D



 

Начальное 
значение 
корреляционной 
функции 
является 
наибольшим:
(
0)
( ).
R
R

  Конечное значение корреляционной функции равно квадрату 
среднего значения 
2
( )
x
 случайной величины X: 

2
2
(
)
( )
( ) .
x
R
x
x
   

