Математическое моделирование в технике

Математика в техническом университете

Выпуск XXI (заключительный)

Серия удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год

Комплекс учебников из 21 выпуска


Под редакцией В.С. Зарубина и А.П. Крищенко

I. Введение в анализ
II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X. Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования и операционное исчисление
XII. Дифференциальные уравнения математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики XIV. Методы оптимизации
XV.  Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI. Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX.  Исследование операций
XXI. Математическое моделирование в технике

В.С. Зарубин





                МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТЕХНИКЕ





3-е издание

Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высш,их технических учебных заведений







Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2010

УДК 517.1(075.8)
ББК ЗОвб
      3-35

Рецензенты: проф. А.В. Манжиров, проф. В.Ф. Формалев



      Зарубин В. С.
3-35 Математическое моделирование в технике : учеб, для вузов / В. С. Зарубин. - 3-е изд. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. - 495, [1] с. - (Серия Математика в техническом университете“. Вып. XXI, заключительный).

          ISBN 978-5-7038-3194-6 (Вып. XXI, заключительный)
          ISBN 978-5-7038-3022-2

          Книга является дополнительным, двадцать первым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете¹¹, завершающим издание серии. Она посвящена применению математики к решению прикладных задач, возникающих в различных областях техники. В нее включен предметный указатель ко всему комплексу учебников.
          Содержание учебника соответствует курсу „Основы математического моделирования¹¹, читаемому автором в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
          Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.

Ил. 135. Табл. 16. Библиогр. 62 назв.

                                                     УДК 517.1(075.8) ББК ЗОвб

ISBN 978-5-7038-3194-6 (Вып. XXI, заключительный)
ISBN 978-5-7038-3022-2

© В.С. Зарубин, 2001; 2003.
© В.С. Зарубин, 2010.
© Оформление. Издательство
   МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010.

            К ЧИТАТЕЛЮ



   Московское высшее техническиое училище (МВТУ) имени Н.Э. Баумана стало первым в стране государственным техническим университетом (МГТУ имени Н.Э. Баумана). При этом в сложный период перехода к рыночной экономике удалось сохранить создававшиеся в МВТУ десятилетиями научнопедагогические школы. От их состояния и развития в существенной степени зависят научно-технический потенциал страны и уровень инженерного образования в области машиностроения и приборостроения.
   Одна из важнейших особенностей технических университетов — фундаментальная подготовка будущих инженеров на основе углубленного и расширенного цикла математических, естественно-научных и общеинженерных дисциплин. Для этого необходимо современное учебно-методическое обеспечение, широко использующее передовые информационные технологии. С целью создания такого обеспечения научно-педагогические школы нашего университета и Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана готовят серии учебников по математике, механике, физике, информатике, электронике и другим дисциплинам. Эта книга завершает первую из названных серий — серию „ Математика в техническом университете “, являясь ее заключительным, XXI выпуском.
   В написании серии учебников по математике принимал участие большой коллектив преподавателей кафедр Прикладной математики и Математического моделирования МГТУ имени Н.Э. Баумана. В его состав входили как профессиональные математики — выпускники математических кафедр университетов, так и выпускники нашего вуза, широко использующие математику в своей научной и преподавательской работе. Такое сочетание авторов и редакторов серии создало предпосылки

К ЧИТАТЕЛЮ

для объединения строгого и доказательного изложения материала с прикладной направленностью многочисленных примеров и задач, рассматриваемых в учебниках, что обеспечивает тесные межпредметные связи курса высшей математики с естественно-научными и общеинженерными дисциплинами. Структура учебников предусматривает возможность нескольких уровней изучения этого курса в зависимости от конкретной инженерной специальности студента и требований к глубине его математической подготовки.
   В работе над этой серией проявилась одна из многочисленных форм сотрудничества между Московским государственным университетом имени М.В. Ломоносова и МГТУ имени Н.Э. Баумана в рамках договора о содружестве между нашими университетами: в рецензировании учебников заметную роль сыграли профессора математики МГУ, возглавляемого академиком РАН Виктором Антоновичем Садовничим. Его поддержка замысла издания серии учебников по математике, ориентированных на студентов технических университетов, в значительной степени предопределила благожелательное отношение к нашей инициативе научно-педагогической общественности вузов. В рецензировании учебников принимали также участие ведущие преподаватели других университетов и сотрудники научно-исследовательских институтов РАН.
   Надеюсь, что учебники этой серии помогут студентам технических университетов и вузов овладеть непростой, но чрезвычайно важной и необходимой для будущего инженера дисциплиной, без знания и умелого применения которой немыслим дальнейший прогресс науки и техники.

И.Б. Федоров,
         Ректор Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана, академик РАН

            ПРЕДИСЛОВИЕ



   Вряд ли в настоящее время можно найти студента технического вуза, который бы не смог объяснить, что такое математическое моделирование. Оно все глубже проникает не только в технику, но и во все сферы человеческой деятельности. Однако этот термин пока не имеет общепринятого формального (как это положено в математике) определения, и его границы в смысловом отношении еще четко не очерчены. Такая ситуация характерна для любого нового научного направления на стадии его становления и быстрого развития.
   С достаточно общих позиций математическое моделирование можно рассматривать как один из методов познания реального мира в период формирования так называемого информационного общества, как интеллектуальное ядро быстро развивающихся информационных технологий*. Этот метод не противоречит хорошо известной формуле: „От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике“. Особенность математического моделирования состоит в том, что абстрактным отражением существующего или создаваемого объекта является его математическая модель, количественный анализ которой позволяет получить новые знания об этом объекте.
   Под математическим моделированием в технике понимают адекватную замену исследуемого технического устройства или процесса соответствующей математической моделью и ее последующее изучение методами вычислительной математики с привлечением средств современной вычислительной техники. Поскольку такое изучение математической модели можно рассматривать как проведение эксперимента на ЭВМ при

  *См.: Самарский Л.Л., Михайлов А.П.

ПРЕДИСЛОВИЕ

помощи вычислительно-логических алгоритмов, то в научнотехнической литературе термин вычислительный эксперимент часто выступает как синоним термина „ математическое моделирование “. Содержание этих терминов принято считать интуитивно понятным и обычно подробно не раскрывают.
   Математическое моделирование является одной из основных дисциплин при подготовке инженеров-математиков по специальности „Прикладная математикаПерефразируя шутливое определение математики как науки, которой занимаются математики, можно сказать, что математическое моделирование — это то, чем занимаются прикладные математики. Математическое моделирование тесно связано с инженерной практикой, опирается на достижения классической и вычислительной математики, активно использует сведения из естественно-научных дисциплин, предполагает уверенное владение вычислительной техникой и программированием на ЭВМ. Поэтому и для инженера любой специальности математическое моделирование — инструмент, творческое применение которого может способствовать прогрессу в любой отрасли техники.
   В этой книге кратко рассмотрены возможности, основные понятия и терминология математического моделирования, его связь с разделами математики, изложенными в предыдущих выпусках серии „Математика в техническом университете“. Основное внимание уделено переходу от рассматриваемого технического объекта к его расчетной схеме и построению на ее основе математической модели. При построении примеров математических моделей использованы сведения из естественнонаучных и некоторых инженерных дисциплин, изучаемых в технических университетах. Исследование этих математических моделей проведено при помощи оценок качественного характера и аналитических методов, поскольку применение методов вычислительной математики подробно рассмотрено в предыдущих выпусках серии.
   Книга состоит из семи глав, параграфы в которых имеют двойную нумерацию (например, 4.5 — пятый параграф в

четвертой главе); ссылки в тексте на параграфы и главы набраны полужирным шрифтом (например: см. 4.5). Аналогично пронумерованы формулы и рисунки (например, (2.3) — третья формула в главе 2, рис. 3.2 — второй рисунок в главе 3). Ссылками на другие выпуски комплекса учебников служат их номера, записанные римскими цифрами и заключенные в квадратные скобки (например, [XIII] — ссылка на тринадцатый выпуск).
   Ниже приведен список основных обозначений, где наряду с их краткой расшифровкой указаны параграфы этой книги или номера других выпусков, в которых можно найти более подробное их объяснение. Далее следуют латинский и греческий алфавиты, где указаны написание и русское произношение букв.
   В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель к этому, заключительному выпуску, содержащий в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все используемые в книге термины с указанием страницы, на которой термин определен или описан (на этой странице термин можно найти по выделенным полужирным курсивом словам). Выделение термина в начале параграфа светлым курсивом означает, что в данном параграфе он отнесен к ключевым словам и для понимания излагаемого материала читателю должно быть известно значение этого термина. Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу, на которой данный термин определен или пояснен.
   В этой книге, завершающей издание серии „Математика в техническом университете“, приведен предметный указатель ко всему комплексу из 20 учебников (т.е. без этого, заключительного выпуска) с указанием тех номеров выпусков, в которых определен или наиболее полно описан соответствующий термин. Предметный указатель содержит свыше пяти тысяч терминов, которые составляют словарный запас (так называв-

ПРЕДИСЛОВИЕ

мый тезаурус) расширенного курса математики в техническом университете.
   Математическое моделирование опирается на знание практически всех разделов математики. Поэтому перед чтением этой книги необходимо в целях самоконтроля выполнить следующие несложные задания. В конце каждого задания приведена ссылка на тот выпуск, в котором при возникновении затруднений можно найти все необходимые сведения. Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать известными (эти термины в основном тексте книги не выделены и в ее предметный указатель не входят).



Задания для самопроверки


   1. Как определить множества целых и рациональных

чисел при помощи множества натуральных чисел? Что такое абсолютная величина (абсолютное значение) действительного числа и модуль комплексного числа? Что такое объединение, пересечение, разность и прямое (декартово) произведение множеств (подмножеств), дополнение множества? [I]

   2. Запишите с помощью неравенств условия принадлежно

сти точки х промежуткам числовой прямой: отрезку

[а, Ь], интервалу (а, Ь), полуинтервалу (а, Ь], бесконечно

му интервалу (—оо, Ь) и бесконечному полуинтервалу

[а, +оо). [I]

   3. Приведите примеры составной и периодической дей

ствительных функций действительного переменного и

укажите их области определения (существования) и значений. Как расположены относительно начала координат графики четной и нечетной функций? Изобразите графики функции знака, возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций. Сколько нулей имеет