Теория дискретных систем автоматического управления

Московский государственный технический университет 
им. Н.Э. Баумана 

В.А. Иванов, А.С. Ющенко 

Теория дискретных систем 
 автоматического управления 

2-е издание, дополненное 

 

Допущено Учебно-методическим объединением вузов  
по университетскому политехническому образованию в качестве 
учебного пособия для студентов высших учебных заведений,  
обучающихся по направлению подготовки 221000  
«Мехатроника и робототехника»  
 
 
 
 
 
 
 

 

 

УДК 681.51 
ББК 32.965.5 
 
И20 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/190/book1178.html 

Факультет «Специальное машиностроение» 
Кафедра «Специальная робототехника и мехатроника» 
Факультет «Информатика и системы управления» 
Кафедра «Системы автоматического управления» 
 
Рецензенты:  
зав. кафедрой «Робототехника и мехатроника» МГТУ «СТАНКИН», 
д-р техн. наук, профессор Ю.В. Подураев; 
зав. лабораторией ИМАШ им. А.А. Благонравова РАН, 
д-р техн. наук, профессор В.Л. Афонин 
 
Иванов, В. А.  
И20  
Теория дискретных систем автоматического управления : 
учебное пособие / В. А. Иванов, А. С. Ющенко. — 2-е изд., 
доп. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2015. — 348, [4] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4178-5 
Пособие соответствует программе курса «Теория автоматического 
управления». Рассмотрены математические модели и методы анализа 
устойчивости дискретных систем. Изложены методы гармонической и 
статистической линеаризации для этих систем. Особое внимание уделено 
методам пространства состояний, критериям управляемости и наблюдаемости дискретных систем. Приведены методы синтеза как при детерминированных воздействиях в частотной области, так и при случайных воздействиях, включая решение задачи оптимальной фильтрации методами 
Винера и Калмана, метод синтеза модального управления, построение 
управляющих и наблюдающих устройств. 
Для студентов, изучающих курс «Теория автоматического управления». 
 
  УДК 681.51 
  ББК 32.965.5 

 
  МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 
  Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4178-5 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 

Предисловие 

При составлении математических моделей, а также при решении задач анализа и синтеза дискретных систем автоматического 
управления (САУ) широко применяют теорию разностных уравнений и дискретное преобразование Лапласа. В учебном пособии 
изложены необходимые сведения по теории линейных разностных 
уравнений как с переменными, так и с постоянными коэффициентами. Получены формулы Коши для этих уравнений, которые используются при анализе дискретных автоматических систем. Рассмотрены дискретное преобразование Лапласа, его свойства и применение для решения разностных уравнений. Приведены сведения о 
преобразовании, связывающем изображения непрерывных и соответствующих им дискретных функций (
-преобразование).
D
 Изложены методы определения математических моделей для дискретных САУ с одним входом и одним выходом и для многомерных 
дискретных САУ. Введены понятия передаточных функций и частотных характеристик дискретных САУ, приведены их свойства и 
способы определения. Описаны процессы в дискретных САУ при 
типовых воздействиях. 
Рассмотрено исследование устойчивости дискретных автоматических систем. Изложены теоремы Ляпунова об устойчивости и 
неустойчивости, приведены алгебраические и частотные критерии 
устойчивости линейных дискретных систем. Выполнен анализ 
устойчивости нелинейных дискретных систем с помощью прямого 
метода Ляпунова, в том числе анализ абсолютной устойчивости. 
Изложен метод синтеза дискретных систем с использованием 
логарифмических частотных характеристик: построение желаемых 
частотных характеристик, реализация последовательных и параллельных корректирующих устройств. Приведена методика синтеза 
линейных дискретных систем с конечным временем переходного 
процесса.  
В отличие от 1-го издания (1983 г.) достаточно подробно изложен метод пространства состояния для дискретных систем. Дано 

определение уравнений состояния для дискретных систем с одним 
входом и одним выходом, рассмотрены критерии управляемости и 
наблюдаемости для нестационарных и стационарных линейных 
дискретных систем, а также процедура синтеза модального управления и построение наблюдающих устройств полного и неполного 
порядка.  
Рассмотрен анализ и синтез линейных дискретных автоматических систем при случайных воздействиях. Дан вывод уравнения 
Винера — Хопфа и решение этого уравнения для стационарной одномерной задачи. Приведено решение задачи оптимальной фильтрации для линейных дискретных систем, получено уравнение 
фильтра Калмана для стационарной задачи.  
Изложен метод фазовой плоскости для дискретных систем, а 
также способы построения фазовых траекторий нелинейных дискретных систем второго порядка.  
Рассмотрен метод гармонической линеаризации исследования 
нелинейных дискретных систем.   
Описан принцип максимума для дискретных систем управления, а также задача синтеза дискретных систем, оптимальных по 
быстродействию и по квадратичному критерию. 
Пособие предназначено для студентов, изучающих курс «Теория автоматического управления». 
 

 
 

Введение 

Общие сведения о дискретных системах  
автоматического управления 

Система автоматического управления (САУ) представляет 
собой совокупность информационно-сенсорных и управляющих 
устройств, преобразующих информацию о состоянии управляемого физического объекта и внешней среды и обеспечивающих 
управление этим объектом в соответствии с поставленными задачами. Характер сигналов в системе, как управляющих, так и содержащих необходимую для выработки управления информацию, 
обычно рассматривают в качестве классификационного признака. 
Если эти сигналы изменяются только в дискретные моменты времени, т. е. являются дискретными, то САУ считают дискретной. 
Если сигналы изменяются непрерывно, то систему относят к классу непрерывных САУ. Таким образом, понятие дискретной системы связано с понятием дискретного сигнала, т. е. сигнала, значения которого определены только в дискретные моменты времени 
ti, i = 1, 2, ..., n, …  
Возникновение дискретных сигналов в автоматических системах может быть вызвано разными причинами. Одна из них — это 
специальная дискретизация сигнала, которая выполняется, например, для защиты сигнала от помех при его передаче по каналу связи или для передачи нескольких сигналов по одному и тому же 
каналу. В этом случае непрерывный сигнал заменяется последовательностью импульсов, один из параметров которых (амплитуда, 
ширина, частота) содержит информацию о дискретных значениях 
сигнала. Такой способ дискретизации сигнала называется импульсной модуляцией и применяется в импульсных системах.  
Импульсная модуляция сигнала часто оказывается необходимой в связи с особенностями объекта управления. Например, двигателем постоянного тока целесообразно управлять, изменяя толь

ко ширину импульса управляющего напряжения при сохранении 
его амплитуды. Таким образом, дискретным становится сигнал 
управления. При управлении мобильным роботом нужно одновременно управлять всеми приводами его степеней подвижности (манипуляторами и двигателями подвижной платформы). В этом случае целесообразно применить такой способ импульсной модуляции, который позволяет одновременно передать по одному 
информационному каналу все необходимые для управления сигналы.  

Обобщенная схема замкнутой импульсной САУ приведена на 

рис. В1.  

 

Рис. В1 

 
Устройство, в котором осуществляется преобразование сигна
ла из непрерывной формы в последовательность импульсов, называется импульсным элементом. В приведенной на рис. В1 схеме 
импульсный элемент осуществляет импульсную модуляцию сигнала ошибки.  

Основной причиной дискретизации сигналов в современных 

САУ является широкое использование вычислительной техники 
для обработки информации и формирования сигналов управления. 
Для того чтобы отличить системы с использованием цифровой 
техники от аналоговых систем, было введено понятие цифровых 
систем. 

Применение вычислительной техники предполагает преобра
зование сигналов в дискретную цифровую форму, т. е. в последовательность значений, представленных в цифровом коде, и выполнение необходимых действий с полученными последовательностями чисел. Такое преобразование обычно называется аналогоцифровым и выполняется в специальном устройстве — аналогоцифровом преобразователе (АЦП). Иногда это преобразование 
условно рассматривают как последовательность двух преобразований — квантования (т. е. дискретизации) по времени и квантования по уровню. Последнее из этих преобразований соответствует 
представлению последовательности измерений в цифровом виде с 

заданным числом разрядов. При квантовании по времени обычно 
предполагается, что период квантования постоянен или по крайней 
мере пропорционален одному числу — минимальному периоду 
квантования. 
Цифровой сигнал обрабатывается в цифровом вычислительном 
устройстве (ЦВУ). Обобщенная схема цифровой САУ, в которой 
ЦВУ (контроллер) обрабатывает сигнал ошибки, показана на 
рис. В2. Система включает в себя непрерывную часть, в которую 
входят движители объекта управления и сам объект, а также цифроаналоговый преобразователь (ЦАП), преобразующий вырабатываемые контроллером цифровые сигналы снова в аналоговую форму, 
необходимую для управления непрерывной частью системы. 

 

Рис. В2 

Дискретность сигнала может быть связана и с устройством 
датчиков информации, применяемых в автоматической системе. 
Например, при использовании цифровых датчиков положения, угла поворота или скорости измеряемая информация доступна только в дискретные моменты времени.  
В теории цифровых систем предполагалось, что основной причиной дискретности является именно квантование сигнала по времени в АЦП, причем период квантования определяется частотой 
квантования сигнала. Однако современная техника обеспечивает 
достаточно высокую частоту квантования сигнала по времени по 
сравнению с собственными постоянными времени других элементов системы — электромеханических, гидравлических и т. п. К 
тому же число разрядов преобразования обеспечивает весьма высокую точность представления дискретных значений в цифровой 
форме. Поэтому, если речь идет только о преобразовании сигнала 
в цифровую форму, эффектом дискретизации при математическом 
описании системы во многих случаях можно было бы пренебречь 
и рассматривать цифровую систему как непрерывную. Тем не менее для цифровых систем теория дискретных систем сохраняет 
актуальность. Проблема заключается в том, что дискретность 

определяется не только возможностями АЦП, но и сложностью 
выработки управляющего (или информационного) сигнала. 
Используя дискретный сигнал, микропроцессорное ЦВУ, которое содержится в контуре управления, осуществляет в реальном 
масштабе времени необходимые действия по заданной программе. 
Например, обрабатывается визуальное изображение рабочей сцены и определяется фактическое положение робота, которым необходимо управлять. Или решается задача статистической фильтрации, позволяющая выделить полезный сигнал, по которому и осуществляется управление, из его смеси с помехой. Достаточно 
сложными могут быть задачи, связанные с выработкой управляющих сигналов для управления движением объекта при наличии 
препятствий, о которых не было заранее известно. Время, затраченное на обработку сигналов или на выработку управляющих 
воздействий, и определяет период квантования по времени сигнала 
на выходе соответствующего устройства. Этот период вполне может быть соизмерим с собственными постоянными времени объекта управления. Таким образом, пренебречь дискретностью сигнала 
уже нельзя, поскольку процессы в непрерывных и дискретных системах подчиняются различным закономерностям. 
В большинстве случаев программы, используемые контроллерами, могут быть представлены в виде рекуррентного алгоритма. 
При этом текущее значение управляющего сигнала u[nT], вырабатываемого контроллером, определяется с учетом его предыдущих 
значений в моменты времени t = n – j, j = 1, 2, ..., k, т. е. значений 
u[(n – 1)T], u[(n – 2)T], ..., u[(n – k)T], и зависит от значений сигнала, поступающего на вход контроллера g[nT] в моменты времени 
t = n – i, i = 1, 2, ..., m, т. е. от значений g[(n – 1)T], ..., g[(n – m)T]). 
Таким образом, контроллер можно описать как преобразователь 
дискретного сигнала в соответствии с заданным алгоритмом. Преобразование сигнала, осуществляемое контроллером, можно представить в виде разностного уравнения: 

  
u[nT] = f (u[(n – 1)T], u[(n – 2)T], ..., u[(n – k)T],  

  
g[nT], g[(n – 1)T], ..., g[(n – m)T]), 
 (В1) 

в котором период T квантования по времени определяется возможностями ЦВУ выполнять необходимые действия в реальном 
масштабе времени. 

Обозначение x[nT] принято в теории дискретных систем для 
так называемых дискретных, или решетчатых, функций, которые 
обычно представляют собой последовательность значений соответствующей непрерывной функции: x[nT] = x(t)|t = nT. Дискретная 
функция может рассматриваться и как самостоятельный математический объект [1]. Ее свойства рассмотрены в 1.1.1.  
Как правило, дискретная автоматическая система содержит 
как управляющие и обрабатывающие информацию ЦВУ, так и 
непрерывные элементы — электромеханические, гидравлические, механические устройства. В связи с этим целесообразно 
описать с помощью разностных элементов и непрерывные элементы, что дает возможность применить этот аппарат и для описания дискретной системы в целом. Со временем возможности 
вычислительных устройств и их быстродействие возрастают, однако возрастает и сложность решаемых задач, что сохранит в 
ближайшем будущем актуальность теории дискретных систем. 
Отметим, что теорию дискретных систем можно рассматривать и 
как математический аппарат, позволяющий описывать поведение 
сложной системы на более высоком уровне обобщения, на котором описание действия отдельных непрерывных элементов не 
является определяющим. 
Дискретное представление математической модели автоматической системы будет единственно возможным, если речь идет о 
системе принятия решений, логическом управлении, цифровых 
автоматах. Такая система может вообще не содержать непрерывной части, описываемой обыкновенными дифференциальными 
уравнениями. Однако в настоящем пособии основным предметом 
рассмотрения являются импульсные и цифровые системы. Импульсные системы содержат устройства импульсной модуляции 
сигналов и непрерывные устройства. В цифровые системы входят 
непрерывные устройства и цифровые вычислительные устройства, 
которые математически представляются в виде разностных уравнений. Такие системы называют также непрерывно-дискретными. 

Способы импульсной модуляции сигнала  

Импульсные системы классифицируют по способу импульсной 
модуляции. Амплитудно-импульсная модуляция — способ преобразования непрерывного сигнала x(t), при котором он заменяется последовательностью импульсов y(t) с амплитудой, пропорцио

нальной значениям сигнала x[nT] в дискретные моменты времени  
t = nT: 

  
y(t) = 
и
0
[
] (
),
n

m
k x mT s t
mT



     0 < t ≤ nT, 
(В2)  

где kи = const — коэффициент усиления импульсного элемента; 
s(t) — функция, описывающая форму импульса.  
В частности, прямоугольные импульсы (рис. В3) описываются 
следующим образом: 
  
s(t) = 1(t) – 1(t – γT),  
(В3) 

где 0 < γ ≤ 1, γT — ширина импульса.  

 

Рис. В3 
 
Равенство (В2) соответствует импульсному элементу с произвольной формой импульсов. В частности, при математическом описании дискретных систем используется идеальный импульсный 
элемент, который описывается соотношением 

  
y(t) = 
и
0
[
] (
),
n

m
k x mT
t
mT




  
 (В4)  

где (t) — дельта-функция Дирака, которую используют при определении импульсной переходной функции в теории непрерывных 
систем управления (см. [2, т. 1, § 62]). Формула (В4) представляет 
собой математическую абстракцию, она весьма удобна, поскольку 
позволяет унифицировать описание импульсных систем с амплитудно-импульсной модуляцией. Любой импульсный элемент те