Вычислительные аспекты решения задач оптимального управления

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

Н.П. Деменков  

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ  
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО  
УПРАВЛЕНИЯ 

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
в качестве учебного пособия 

М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 7 

УДК 681.5:683.3(075.8) 
ББК 14.2.6 
Д302 

Рецензенты: Е.Д. Панин, В.А. Шахнов 

Деменков Н.П. 
Д302 
Вычислительные аспекты решения задач оптимального  
управления: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 171 с. ил. 

ISBN 978-5-7038-2991-2 

Изложены вычислительные проблемы решения задач оптимального управления и показаны пути их решения.  
Для студентов, изучающих курсы «Оптимальное управление 
детерминированными процессами», «Управление в технических 
системах», «Алгоритмическое и программное обеспечение систем 
управления». Настоящее издание будет полезным также для широкого круга научных работников, инженеров, аспирантов и студентов старших курсов технических университетов. 
Ил. 32. Табл. 9. Библиогр. 18 назв. 

УДК 681.5:683.3(075.8) 
 
ББК 14.2.6 

ISBN 978-5-7038-2991-2 
 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007 

ВВЕДЕНИЕ 

Оптимизация является основным фактором, определяющим 
развитие теории управления в последние десятилетия. Идеи оптимального управления находят применение во многих областях 
техники и экономики. Знакомство с этими идеями и с практическим их приложением необходимо современному инженеру. Оптимизация является одной из важнейших проблем как науки, так 
и повседневной человеческой деятельности, ибо человеку органически присуще стремление к достижению наилучшего (оптимального) результата. 
Вопросы эффективности, ресурсосбережения исключительно 
важны для современного общества. Однако решаются они неудовлетворительно. Это обусловлено следующими объективными обстоятельствами и закономерностями. 
Технические, технологические, экономические, социальные, 
духовные и нравственные, наконец, экологические процессы представляют собой сложные динамические системы. Их инерционность последовательно возрастает в порядке перечисления.  
Состояние технических систем непосредственно влияет на технологический уровень, последний – на экономическое развитие общества, отрасли, предприятия, цеха и т. д. Иными словами, в информационном управляемом обществе перевод технических систем из одних состояний (режимов) в другие должен выполняться 
гораздо чаще, чем изменения состояний технологических процессов, а технология должна быть намного мобильнее экономической 
системы и т. д. 
Перевод той или иной управляемой системы (технической, 
технологической, экономической и т. д.) из одного состояния в 
другое осуществляется ради получения каких-то выгод и обязательно сопровождается затратами материальных, энергетических, 
трудовых и других ресурсов. Эффективность системы, понимаемая 
как отношение выгод к затратам, в значительной мере зависит от 
выбранного режима перевода, от использования ресурсов в процессе управления. 

Максимальная эффективность достигается при более рациональных (оптимальных) режимах функционирования систем, 
принципиально требующих существенно нелинейных и логических преобразований информации о состоянии управляемого 
процесса (интенсивный способ повышения эффективности). Чаще же всего эффективность повышают путем интеграции систем, 
расширения их функций и масштабов (экстенсивный способ). 
Однако это неизбежно приводит к усложнению системы – усложнению процесса и нерациональному управлению. Таким образом, разработка сложных управляемых процессов неизбежно 
сталкивается с объективной, хотя часто и выступающей в не 
столь явном виде дилеммой: ординарное управление и, следовательно, крайне неэффективная или высокоэффективная, но обязательно оптимальная система. 
Для создания оптимальных систем управления необходимо 
располагать, во-первых, методами решения прикладных задач синтеза, во-вторых, техническими средствами простой и надежной 
реализации законов оптимального управления. 
Задачи управления процессами, изучаемыми в физике, технике, 
экономике, биологии, требуют как совершенствования аналитических методов, так и создания достаточно простых математических 
моделей изучаемых процессов. Оба пути имеют одну цель – получение содержательных численных результатов современными вычислительными средствами. Поэтому большой интерес представляют обсуждения вычислительных аспектов теории управления. 
Цель настоящего учебного пособия – ознакомление с вычислительными аспектами решения задач оптимального управления на 
основе современных подходов и программных средств. Изложены 
вычислительные проблемы решения задач оптимального управления и показаны пути их решения. 
В первой главе обсуждаются проблемы построения оптимальных систем: основные особенности прикладных задач оптимального управления; модели управляемого процесса и внешних возмущений; ограничения на управление и переменные состояния; 
граничные условия; критерии оптимальности; современные подходы к решению задач оптимального управления; особые и вырожденные задачи теории оптимального управления. 
Решение краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений занимает центральное место в теории оптимального управления, поэтому вторая глава посвящена методам 
решения краевых задач, использующим процедуры отыскания 

корней функций невязок, переноса граничных условий, решения 
задач со свободным концом. 
В третьей главе рассматриваются вычислительные процедуры 
динамического программирования для дискретных и непрерывных 
систем.  
Четвертая глава посвящена специфическим задачам теории оптимального управления, возникающим при использовании лишь 
необходимых условий оптимальности: особым и вырожденным 
задачам оптимального управления, а также методам теории поля. 
В пятой главе приведены постановки для решения задач оптимального управления: управление скоростью дисковых ножниц, 
вывод космического аппарата на орбиту, движение летательного 
аппарата в атмосфере Земли и Марса, набор высоты, распределение ресурсов и др. В качестве инструмента исследования предлагается использовать либо Matlab, либо разработанный на кафедре 
«Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана 
программный комплекс «Методы оптимизации». 
В пособии представлено большое количество примеров, что 
делает его приемлемым как для учебной аудитории, так и для самостоятельного изучения.  
Приведенный список тем рефератов по оптимальному управлению динамическими процессами будет стимулировать читателей 
к применению изложенных методов не только в рассмотренных, 
но и в других областях, а также к созданию новых методов для более глубокого проникновения в проблему путем сочетания современных вычислительных средств и современной теории управления. 

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ 

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ  

В настоящее время теория оптимального управления и оптимизационная идеология используются во всех исследованиях конкретного характера и конструкторских разработках, а язык теории 
оптимальных процессов стал общим языком теории управления 
[1]. В технике появился термин «оптимальные системы». Когда 
инженеры говорят о конструировании оптимальных систем, это 
означает, что на разных этапах конструирования системы выбор ее 
элементов определяется оптимизационными соображениями. 
Одна из особенностей задачи проектирования оптимальных 
систем управления состоит в том, что систему нельзя охарактеризовать одним числом – одним критерием. Поэтому процесс конструирования оптимальной системы – это целая цепочка оптимизационных задач. 
Проблемы теории синтеза оптимальных систем связаны с тем, 
что вычислительные методы получения оптимального управления 
разработаны не в достаточной мере. Большую роль в этой теории 
играют разнообразные эвристические соображения, впитавшие в 
себя огромный опыт, интуицию и глубокое понимание содержания 
предмета, которые есть сегодня у инженера. Математик с его традиционной манерой мышления часто оказывается бессильным там, где 
инженер получает практические результаты. 

1.1. Основные особенности прикладных задач 

оптимального управления 

Задачу оптимального управления можно представить в виде 
составного объекта, включающего (рис. 1.1): цель управления, 
управляемый объект, измерительную систему и вычислительное 
устройство, осуществляющее расчет оптимального управления.  
Задача вычислительного устройства – найти связи между вектором состояния в конечный момент времени 
кx , вектором управления u  и измеренным вектором состояния 
изм.
x
 

Рис. 1.1. Структура задачи оптимального управления 

При решении задач оптимизации необходимо вначале выбрать 
и сформулировать цель (выбрать критерий оптимальности), затем 
согласовать ее с имеющимися возможностями (учесть ограничения) и, наконец, реализовать способ достижения цели при учете 
ограничений. 
Критерий оптимальности может представлять собой технический или технико-экономический критерий, математическое выражение которого является функцией или функционалом координат процесса и управляющих воздействий. Требования к системе, 
как правило, противоречивы. В управлении техническими системами наиболее распространенными являются различные интегральные критерии. Определяющим является показатель точности, 
который выражается через характеристики, описывающие стохастический характер реальных условий взаимодействия объекта и 
среды и зависящие от управления.  
Не менее сложной является и задача построения математических моделей управляемых процессов (проблема идентификации), 
а именно модели собственно управляемого объекта, описываемого, как правило, нелинейным векторным дифференциальным 
уравнением x  = f ( ,
,
,
x u
w t ), и модели внешних возмущений 

( ),
w t
 статистические характеристики которых неизвестны, а известны лишь границы максимального и минимального уровня 
возмущений. 
Современное состояние теории синтеза управления, оптимального по статистическому критерию, для нелинейных объектов не дает возможности получить решение задачи в общей постановке. Задача формулируется как детерминированная, и 
управление синтезируется с «запасом», т. е. с ориентацией на 
наихудшие условия.  
Увеличение точности удовлетворяется в двух направлениях. Вопервых, входная информация, носящая статистический характер, 
подвергается обработке для получения оптимальных оценок измеряемых координат, а при синтезе управления предполагается, что 
все помехи отфильтрованы. Справедливость такой декомпозиции 
доказана только для линейных систем, но естественность подхода 
делает его весьма привлекательным для инженерной практики. Вовторых, точность управления зависит от строгости удовлетворения 
концевым (граничным) условиям. Поэтому при получении концевых условий необходимо возможно полнее учитывать все факторы, 
сказывающиеся на движении объекта. 

В дальнейшем предполагается, что неконтролируемые возмущения на объекте отсутствуют, т. е. 
0
w =
 и x= 
( ,
, ),
f x u t
 как 
показано на рис. 1.2. 

Граничные условия должны задаваться таким образом, чтобы 
при соблюдении ограничений существовал не единственный переход объекта из начального состояния в конечное (рис. 1.3). 
Каждый путь (траектория) перехода должен иметь количественную оценку: первый путь – J1; второй – J2; третий – J3; четвертый – J4 (см. рис. 1.3). 
Среди всевозможных траекторий перехода из начального состояния в конечное должна существовать единственная траектория, имеющая максимальное или минимальное значение количественной оценки J: 

J3 = min (J1, J2, J3, J4). 

Незначительные изменения (вариации) условий задачи должны 
приводить к незначительным изменениям минимального значения 
показателя качества. 
Должны существовать методы, 
позволяющие находить оптимальные траектории и оптимальное 
управление. Метод – это последовательность операций. 
Необходимо, чтобы существовали технические возможности 

Рис. 1.2. Оптимальное управление детерминиро
ванными процессами 

Рис. 1.3. Траектории перехода 

(средства) для реализации оптимальных управлений, полученных 
в результате решения задачи. 

1.2. Критерии оптимальности 

Процесс синтеза системы управления можно проиллюстрировать следующим образом (рис. 1.4). 
Определяя реакцию системы на совокупность начальных условий 
и внешних возмущений, находим значение выбранного критерия J. По 
известному значению J в соответствии с методом оптимизации осуществляется направленное воздействие на систему (ее динамические характеристики, структуру, параметры), которое должно привести к достижению экстремума критерия. Критерий зависит и от заданных характеристик системы 
,
α  и от вектора управления 
,
u  и от начального 
состояния 
0
( ),
x t
 и от входной информации в общем случае 

J = J ( ,
).
u α  

При технической реализации систем управления обычно используют простые критерии, включающие лишь основные требования к системе. Это связано с элементом субъективизма, который 
выражается в попытке с единых позиций, т. е. с помощью обобщенного критерия, оценить систему, что проявляется либо при назначении весовых коэффициентов, либо при задании требуемых 
граничных значений отдельных показателей. 
Для задачи Лагранжа можно использовать следующие критерии: 

0

2
1 2
( )

kt

t

J
e
t dt
=
∫
 

– интегральный квадратичный критерий по ошибке системы; 

0

2
1 2
( )

kt

t

J
u
t dt
=
∫
 

– интегральный квадратичный критерий по управлению, или 

0

2
2
1 1
1 2
( )
...
( )

kt

m m
t

J
ru
t
r u
t
dt
⎡
⎤
=
+
+
⎣
⎦
∫