Начертательная геометрия

Москва
ИНФРА-М
2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Допущено
Научно-методическим советом по начертательной 
геометрии, инженерной и компьютерной графике 
Министерства образования и науки РФ 
в качестве учебного пособия для бакалавров 
направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое 
обеспечение машиностроительных производств»

Ю.А. ЗАЙЦЕВ
И.П. ОДИНОКОВ
М.К. РЕШЕТНИКОВ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ

Под редакцией Ю.А. Зайцева

Саратовский государственный технический университет

УДК 514(075.8)
ББК 22.151.3я73
 
З12

Зайцев Ю.А.
Начертательная геометрия : учебное пособие / Ю.А. Зайцев, И.П. Одиноков, М.К. Решетников ; под ред. Ю.А. Зайцева. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 248 с. — (Высшее образование).
ISBN 978-5-16-018438-8 (print)
ISBN 978-5-16-106375-0 (online)
Содержит основные теоретические положения курса начертательной геометрии. Рассмотрение традиционных позиционных и метрических задач сопровождается динамикой построений в соответствии 
со ступенями алгоритма, отвечающими определенным условиям. Учебное пособие имеет целью дать студентам необходимые практические 
навыки в решении задач, что способствует более глубокому усвоению 
теоретических основ начертательной геометрии. 
Предназначается для студентов высших учебных заведений по 
техническим направлениям.
УДК 514(075.8) 
ББК 22.151.3я73

З12

ISBN 978-5-16-018438-8 (print)
ISBN 978-5-16-106375-0 (online)

Р е ц е н з е н т ы:
В.И. Якунин — д-р техн. наук, профессор Московского авиационного института (Государственного технического университета), заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации, заслуженный работник высшей школы Российской Федерации;
Г.С. Иванов — д-р техн. наук, профессор Московского государственного университета леса, заслуженный деятель науки Российской 
Федерации

© Саратовский государственный 
технический университет, 2013
© Зайцев Ю.А., Одиноков И.П.,
Решетников М.К., 2013

А в т о р с к и й  к о л л е к т и в:
Ю.А. Зайцев — канд. техн. наук, профессор кафедры «Инженерная 
геометрия и промышленный дизайн» Саратовского государственного 
технического университета имени Ю.А. Гагарина, почетный работник 
высшего профессионального образования, заслуженный работник 
высшей школы Российской Федерации;
И.П. Одиноков — канд. техн. наук, доцент кафедры «Инженерная 
геометрия и промышленный дизайн» Саратовского государственного 
технического университета имени Ю.А. Гагарина;
М.К. Решетников — д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Инженерная геометрия и промышленный дизайн» Саратовского 
государственного технического университета имени Ю.А. Гагарина

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «Начертательная геометрия» имеет целью исследование геометрических структур разнообразных пространственных 
объектов, включая познание геометрических закономерностей, обусловливающих взаимное расположение исследуемых объектов в пространстве реального мира. В большинстве случаев это касается предметов, созданных трудом человека. Производственная деятельность 
немыслима без четкого уяснения структурно-пространственных зависимостей между материальными объектами и орудиями труда, 
участвующими в процессе производства.
В отличие от родственной математической ветви — аналитической геометрии, призванной решать аналогичные задачи на языке 
формул, начертательная геометрия использует в качестве рабочего 
средства познания геометрических свойств материальных объектов 
реального мира их плоские графические изображения (проекции). 
Используемые в начертательной геометрии изображения двумерны 
и могут быть названы графическими моделями проецируемых объектов.
Вторую важную цель курса начертательной геометрии составляют 
изучение и разработка методологических принципов построения 
графических моделей пространственных объектов.
В качестве третьей важнейшей цели курса выступают разработка 
и совершенствование графических способов, приемов и средств, позволяющих решать на графических моделях любые геометрические 
задачи в пространстве, относящиеся к исходному объекту — оригиналу.
Содержание учебного пособия посвящено изучению основных 
положений курса начертательной геометрии, с тем чтобы при самостоятельной работе студентов над решением позиционных и метрических задач они могли овладеть элементными основами курса 
и проанализировать все обстоятельства, порождающие определенные трудности при его изучении.
В связи с реформой высшего профессионального образования 
введены стандарты третьего поколения, что привело к созданию новых учебных планов. В них большое внимание отводится организации самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины 
«Начертательная геометрия и инженерная графика» на первом курсе. 
Эта дисциплина предусматривает изучение основ начертательной 
геометрии, которая является предтечей инженерной и компьютерной графики. При подготовке бакалавров технических направлений 

предлагаемое учебное пособие поможет студентам более осмысленно войти в мир конструирования.
При составлении учебного пособия использовалась обширная 
литература, откуда был заимствован ряд задач. Многие из них, однако, были переработаны, а примеры некоторых задач даются в последовательном динамическом решении. Список использованной и дополнительно рекомендуемой литературы приводится в конце книги.
Авторы приносят искреннюю благодарность профессорам 
В.И. Якунину, Г.С. Иванову, а также сотрудникам кафедры «Начертательная геометрия и компьютерная графика» — доценту А.А. Чекалину, преподавателю Т.Л. Соловьевой, Н.В. Полянской за замечания и советы, направленные на улучшение содержания учебного 
пособия.

1. 
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ 
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

1.1. 
МЕТОД ПРОЕКЦИЙ И СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. 
ЭПЮР МОНЖА

Как уже отмечено выше, начертательная геометрия использует в качестве рабочего инструмента познания геометрических 
свойств объектов реального мира двумерные графические модели 
этих объектов (чертежи).
В качестве носителя геометрических изображений (чертежей) 
в большинстве случаев выступает плоскость, хотя иногда используют 
и более сложные разновидности поверхности (цилиндр, конус, сферу и т.д.).
Основным методов получения двумерных графических моделей 
(изображений, проекций) в начертательной геометрии выступает 
метод проекций. Он состоит в проведении через отдельные точки 
объекта-оригинала прямолинейных проецирующих прямых, ориентированных в пространстве по наперед оговоренному направлению 
(рис. 1). Специальные разделы начертательной геометрии рассматривают и более сложные виды проецирования, например криволинейное. Пересекая выбранный носитель изображения (называемый 
плоскостью проекции или картинной плоскостью), эти лучи фиксируют на плоскости проекций проекции соответственных точек оригинала. Совокупность проекций всех точек оригинала образует на 
плоскости проекций итоговую проекцию оригинала. Чтобы придать 
процессу проецирования дискретный характер, ограничиваются проецированием отдельных характерных точек оригинала, а для получения его проекции соединяют на 
плоскости проекций проекции 
характерных точек линиями.
Различают две основные 
разновидности метода проецирования: рис. 1 иллюстрирует 
центральное (другие названия — 
полярное, коническое) проецирование объекта из наперед заданной точки пространства и 
параллельное проецирование. 
На этом рисунке:
S — центр (полюс) проецирования;
П — плоскость проекций;
Рис. 1

А, В, С — точки объекта-оригинала;
A1, B1, С1 — проекции точек объекта;
SAA1 — проецирующая прямая.
Аналоговой моделью этого проецирования служит коническая 
поверхность общего вида, образующие которой выходят из вершины 
конуса как из центра (полюса). Центральное проецирование лежит 
в основе одного из разделов начертательной геометрии, именуемого 
теорией перспективы.
Ближайшим предметом нашего рассмотрения является ортогональное проецирование (разъяснение этого термина приведено 
ниже), основанное на параллельном проецировании. Легко уяснить 
происхождение модели параллельного проецирования (рис. 2), если 
допустить, что центр проецирования S в рассмотренном случае центрального проецирования удален в бесконечность, т.е. становится, как принято говорить по 
данному поводу, несобственной 
точкой пространства. Отсутствие центра S компенсируется 
на рис. 2 обозначенным направлением проецирования q, определяющим направленность всех 
параллельных проецирующих 
прямых.
Если в параллельном проецировании проецирующие 
прямые составят с плоскостью 
проекций прямой угол (90°), 
проецирование обретает название прямоугольного (ортогонального); в противном случае принято 
говорить о косоугольном проецировании. Параллельное проецирование положено в основу раздела ортогонального проецирования, 
занимающего большую часть курса начертательной геометрии, а также раздела «Аксонометрические проекции».
В настоящем учебном пособии речь пойдет исключительно об 
ортогональном проецировании основных геометрических фигур.
На рис. 1 и 2 процессы проецирования проиллюстрированы для 
простоты примерами, в каждом из которых присутствует одна плоскость проекций (однокартинный чертеж). Такое однокартинное проецирование, наряду с известными преимуществами, обладает и рядом недостатков, самым существенным среди которых является 
пространственная неопределенность в расположении точек, попавших на общий проецирующий луч (рис. 3); такие точки носят 
в начертательной геометрии название «конкурирующих»). Несмотря 

Рис. 2

на то что конкурирующие точки А и В, как видно из рис. 3, 
разнесены на достаточное расстояние друг от друга, их совпадающие проекции А1 ≡ В1 не 
только не позволяют судить 
о величине расстояния между 
самими точками, но даже могут вызвать ложное представление об их взаимной принадлежности (совпадении) в пространстве.
Чтобы устранить из проецирования названную пространственную неопределенность, 
основоположник начертательной геометрии, выдающийся французский ученый Гаспар Монж (1746–1818) предложил одновременно 
проецировать изучаемые геометрические фигуры не на одну, а на две 
взаимно перпендикулярные плоскости проекций. При этом используют параллельное проецирование двумя связками проецирующих 
прямых, причем каждая из связок перпендикулярна к «своей» плоскости проекций.
Изложенный Г. Монжем метод получил название метода ортогонального (прямоугольного) проецирования. В ряде случаев при решении 
конкретных задач иногда приходится прибегать к построению не 
двух, а трех проекций изучаемых геометрических фигур.
Сущность ортогонального проецирования легко уяснить из pис. 4, 
на котором изображено ортогональное проецирование на две плоскости проекций самой простейшей из основных геометрических 
фигур — точки. Две принятые в проецировании взаимно перпендикулярные плоскости проекций именуют в соответствии с их положением в пространстве (и обозначают прописными греческими буквами «пи» — П); за горизонтальной плоскостью закреплен символ П1 
(читается «пи-один»), обращенная к наблюдателю вертикальная 
плоскость (именуется фронтальной плоскостью) обозначается П2.
Линия пересечения плоскостей названа осью проекций. За начало 
оси принята правая концевая точка оси, если смотреть со стороны 
наблюдателя. Рассмотренный ортогональный двугранный угол увязывается с прямоугольной декартовой системой пространственных 
координат, при этом ось проекций отождествлена с осью абсцисс 
(ось Ох), а ее положительным направлением считается направление 
справа налево. Вверх от начала оси направлена положительная ветвь 
оси аппликат Оz, в направлении на наблюдателя устремлена положительная полуось ординат (Оy). Штриховыми линиями на рисунке 

Рис. 3

обозначено расположение возможной третьей плоскости проекции, 
задаваемой осями y и z; плоскость является вертикальной; как 
и фронтальная П2, она названа профильной и ей присвоен символ П3. При решении задач начертательной геометрии необходимость ее использования приблизительно составляет менее четверти 
от общего количества решаемых задач.
Три плоскости проекций делят все обозримое пространство на 
восемь частей, именуемых октантами. Пространственный двугранный угол левее профильной плоскости П3 содержит четыре четверти 
пространства. Отсеку положительных полуосей присвоено наименование первой четверти пространства. За плоскостью П2 (выше плоскости П1) расположена вторая четверть, под ней третья, а под первой — четвертая. Следует заметить, что дефицит учебного времени, 
отводимого на изучение начертательной геометрии в техническом 
вузе, как правило, не позволяет изучать специфические особенности 
проецирования геометрических фигур во всех четырех четвертях 
(а тем более, во всех восьми октантах) пространства, что обязывает 
нас ограничиться в основном вопросами ортогонального проецирования лишь в пространстве первой четверти.
Проводя через расположенную в пространстве первой четверти 
точку А проецирующие прямые, перпендикулярные к соответственным плоскостям проекции, получают на этих плоскостях ортогональные проекции точки, отвечающие названию и индексу плоскости:
 
•  горизонтальную проекцию А1;
 
•  фронтальную проекцию А2.

Рис. 4

На профильной плоскости П3 можно получить профильную 
проекцию А3 проецируемой точки (построение третьей проекции 
будет рассмотрено ниже).
Комментируя рис. 4, нужно признать, что этот рисунок еще не 
вправе считаться графической моделью, т.е. тем рабочим инструментом начертательной геометрии, о котором упомянуто выше. Чтобы 
получить графическую модель точки (в дальнейшем мы будем называть графические модели обобщающим словом «эпюр»), изображение на рис. 4 необходимо определенным образом преобразовать. 
И в этом преобразовании, кстати, содержится основная доля причин, породивших среди части студентов представление о начертательной геометрии как о науке непередаваемой степени сложности, 
недоступной для большинства «простых смертных». Чтобы успешно 
преодолеть этот барьер на пути освоения начертательной геометрии, 
со вниманием отнеситесь к содержательной стороне названного преобразования и, самое главное, четко уясните его смысловую сторону.
Дело в том, что до конца ХVIII в. используемый человечеством арсенал технических средств, орудий труда, инвентаря отличался известным примитивизмом, что позволяло людям обходиться в общении, производстве и технике достаточно простыми наглядными 
изображениями обсуждаемых объектов. Дальнейшее лавинообразное развитие окружающей человека материальной среды, усложнение ее структуры потребовали для своей реализации разработки 
новых изобразительных приемов, эффективных и экономичных. Новые методы были призваны обеспечить высокую точность и удобоизмеримость получаемых изображений, гарантировать возможность 
качественного изготовления материальных копий изображенных 
объектов по их чертежам. Эпюр Монжа сумел удовлетворительно 
ответить в этом отношении на самые взыскательные запросы потребителей; правда, при этом он сильно потерял в наглядности, и в этом 
тоже одна из трудностей изучения начертательной геометрии. Переход от изображения ортогонального пространственного координатного двугранника к эпюру Монжа осуществляют чрезвычайно просто: для этого переднюю полу (половину) горизонтальной плоскости 
проекций П1 приводят во вращение вокруг оси х, поворачивая ее до 
совмещения с фронтальной плоскостью проекций П2. В совмещенном положении обеих плоскостей проекций их изображение вместе 
с имеющимся на них графическим содержанием снова переносят на 
плоскость (на страницу тетради или книги, на классную доску и т.д.). 
Если проделать названное преобразование с изображением, приведенным на рис. 4, получим ситуацию, запечатленную на рис. 5. Правда, это пока тоже не эпюр. Однако, прежде чем говорить об окончательном виде эпюра, ответим на вопрос: что оказалось утраченным 
в проведенном преобразовании? Потеряно немало — из полученного 

чертежа выпал сам изображаемый пространственный объект. Поэтому всю 
дальнейшую работу с эпюром исполнителю приходится вести, не видя перед 
собой образ изображенного объекта, 
а руководствуясь только его проекциями. 
Именно это обстоятельство является 
столь непривычным и осложняет усилия 
новичка. Что ж, к эпюру нужно отнестись как к новой знаковой системе и начать прилежно ее изучать, как в свое время каждый из нас изучал азбуку. Kaк организовать изучение и чтение эпюра, 
рассказано чуть ниже, а сейчас вернемся 
к завершению вопроса об эпюре. Предельно упростим изображение, приведенное на рис. 5, убрав из него все лишнее 
(контуры границ плоскостей проекций, 
копья стрелок осей проекций), а также 
то, что можно без труда сохранить в памяти (буквенные символы полей прoeкции, направления осей аппликат и ординат и их обозначения), в результате получаем эпюр точки А (рис. 6). На эпюре 
всегда имеют место: ось проекций Ох 
(изображается сплошной тонкой линией) 
и проекции изображенных элементов, 
отдельные точки которых (точнее, проекции отдельных точек) соединены линиям 
проекционной связи (изображаются 
сплошными тонкими линиями; в обиходе их можно называть просто линиями 
связи). Линии проекционной связи в силу 
ортогональности проецирования всегда 
перпендикулярны к оси проекций Ох.

1.2. 
ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 
ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Прежде чем продолжить изучение свойств эпюра, перечислим основные геометрические свойства параллельного проецирования, способные облегчить дальнейшее изучение предлагаемого 
материала.

Рис. 6

Рис. 5