Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для 10 класса общеобразовательных организаций. Базовый и углублённый уровни

ФГОС
ИННОВАЦИОННАЯ ШКОЛА

В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов и др.

МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИКА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА 
АЛГЕБРА И НАЧАЛА 

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, 

ГЕОМЕТРИЯ
ГЕОМЕТРИЯ

Учебник для 10 класса
общеобразовательных организаций

Под редакцией
академика РАН В.В. Козлова
и академика РАО А.А. Никитина

БАЗОВЫЙ И УГЛУБЛЁННЫЙ УРОВНИ

3-е издание

Рекомендовано Министерством просвещения Российской Федерации

Экспертное заключение № 004700 от 19.12.2016 г. (научная экспертиза)
Экспертное заключение № 004707 от 19.12.2016 г. (педагогическая экспертиза)
Экспертное заключение № ОЭ/16-02901 от 26.12.2016 г. (общественная экспертиза) 

Соответствует Федеральному 
государственному образовательному стандарту

Москва
«Русское слово»
2019

УДК 373.167.1:51*10(075.3)
ББК 22.1я721
 
К59

Авторы: 
В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов, 
А.А. Мальцев, А.С. Марковичев, Ю.В. Михеев, М.В. Фокин

Козлов В.В., Никитин А.А.
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: 
учебник для 10 класса общеобразовательных организаций. Базовый и углублённый уровни / В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов и др.; 
под ред. В.В. Козлова и А.А. Никитина. — 3-е изд. — М.: ООО «Русское 
слово — учебник», 2019. — 464 с. — (ФГОС. Инновационная школа).

ISBN 978-5-533-00359-9

Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего общего образования, является частью 
учебно-методического комплекта «Математика» и входит в систему 
учебников «Инновационная школа». 
Учебник предназначен для общеобразовательных организаций.

УДК 373.167.1:51*10(075.3)
ББК 22.1я721 

 

К59

ISBN 978-5-533-00359-9

©  В.В. Козлов, 2014, 2019
© А.А. Никитин, 2014, 2019
© В.С. Белоносов, 2014, 2019
© А.А. Мальцев, 2014, 2019
© А.С. Марковичев, 2014, 2019
© Ю.В. Михеев, 2014, 2019
© М.В. Фокин, 2014, 2019
© ООО «Русское слово — учебник», 2014, 2019

Предисловие

Данная книга — шестая в серии трёхуровневых учебников по математике, созданных коллективом авторов из числа научных сотрудников 
Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии 
наук, Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения 
Российской академии наук, Института педагогических исследований 
одарённости детей Российской академии образования, профессоров и 
доцентов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и Новосибирского государственного университета.
 Эта серия разрабатывается с 1993 года и охватывает весь курс школьной математики с 5 по 11 класс. За прошедшие годы авторами сформирована цельная концепция преподавания математики в средней школе, 
которая во многом принципиально отличается от большинства других 
подобных разработок. 
Прежде всего авторы отказались от традиционного деления математики на несколько дисциплин: арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию, основы анализа и так далее. Все перечисленные предметы 
предлагается изучать в общем курсе. Это подчёркивает единство математической науки, тесную взаимосвязь развиваемых в ней идей и методов, 
фундаментальную роль математики как важного элемента общей культуры. 
Потребности использования математики в различных областях человеческой деятельности различны, так же как различны и природные 
различия в склонностях и способностях учащихся, поэтому не всем учащимся математика нужна в одинаковом объёме. В настоящем учебнике 
приняты три уровня изложения, отличающиеся не только объёмом, но 
главным образом глубиной и сложностью изучаемого материала. Первый 
уровень содержит сведения, умения и навыки, необходимые каждому 
культурному человеку. Второй уровень предполагает изучение математики в объёме, достаточном для последующего обучения в техническом 
вузе. Наконец, третий уровень должен способствовать подготовке к продолжению образования на математическом факультете университета. 
Материал первого уровня может изучаться независимо от второго и третьего, а материал второго не зависит от изучаемого на третьем уровне. 
Разделы, относящиеся ко второму уровню, отмечены в тексте звёздочкой, а материал третьего уровня — двумя звёздочками.

Учебник состоит из 15 глав, разбитых на параграфы, которые делятся 
на более мелкие разделы — пункты. К каждому параграфу предлагаются контрольные вопросы, задачи, упражнения и тесты, а к каждому 
пунк ту — подходящий «открытый вопрос». Наличие открытых вопросов — важная особенность изложения учебного материала. Фактически 
эти вопросы — специальные темы для размышления и обсуждения. 
Ответы на них не всегда однозначны. Более того, иногда сознательно 
предполагается, что существует несколько различных правильных ответов. Многие из них можно найти на страницах учебника, а в некоторых 
случаях их подсказывает окружающая действительность. Часто именно 
ответ на открытый вопрос дополняет материал пункта до логического 
завершения.
Учебник прошёл апробацию в школах нескольких регионов, получил положительные экспертные заключения РАН и РАО, рекомендован 
Министерством образования и науки Российской Федерации. 
Авторы выражают искреннюю признательность академику РАО 
В.Д. Шадрикову, принимавшему активное участие в разработке концепции многоуровневого обучения. Авторы благодарят докторов физикоматематических наук М.П. Вишневского и А.И. Саханенко за участие на 
первоначальном этапе в формировании содержания трёхуровневого обучения.
Авторы считают также своим долгом вспомнить коллег, которых уже 
нет с нами, — доцента В.В. Войтишека, профессора Т.И. Зеленяка и профессора Д.М. Смирнова. 

Глава 1

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД В МАТЕМАТИКЕ
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД В МАТЕМАТИКЕ

В этой главе рассказывается о роли аксиом в математике и приводятся примеры аксиоматического подхода к изучению геометрии и арифметики.

§ 1. АКСИОМЫ И «НАЧАЛА
§ 1. АКСИОМЫ И «НАЧАЛА» ЕВКЛИДА
» ЕВКЛИДА

1.1. Аксиомы. Вы уже знакомы с тем, что в математике принята 
строгая система доказательств. Некоторые исходные совершенно ясные 
для нас утверждения мы считаем истинными без доказательства и называем их аксиомами.
Аксиомы содержат некоторые начальные понятия, которые называются основными и которым не даётся никаких определений. Тем 
самым аксиомы представляют собой принимаемые без доказательства утверждения о свойствах основных понятий. Все последующие 
утверждения выводятся как логические следствия из аксиом и уже 
доказанных утверждений.
Вопрос. Какие аксиомы вы знаете?
1.2. Аксиоматический метод. Метод последовательного получения 
утверждений, исходя из аксиом, получил в математике название аксиоматического метода. Аксиоматический метод позволяет сводить сложные математические понятия к простейшим, которые не требуют пояснений. 
Яркий пример применения аксиоматического метода в древней математике — это попытка изложения геометрии великим Евклидом в его 
знаменитых «Началах».
Вопрос. Как доказывается, что если a, b и с — такие числа, что а > b и 
с < 0, то ас < bc?
1.3. Возникновение геометрии. Накопление геометрических знаний в виде конкретных фактов началось в глубокой древности.
За несколько тысячелетий до нашей эры египтяне умели возводить 
грандиозные пирамиды. Например, высота известной пирамиды Хеопса 
первоначально составляла около 147 метров. Такие постройки требовали 
точных измерений и предварительных геометрических расчётов. Постоянные разливы Нила принуждали египтян ежегодно измерять и перераспределять земельные участки. В переводе с греческого слово геометрия и 
означает «землемерие».

Глава 1. Аксиоматический метод в математике

Вопрос. Какие измерения достаточно произвести, чтобы вычислить 
площадь участка, имеющего форму трапеции?
1.4. «Начала» Евклида. Приблизительно за 700 лет до начала нашей 
эры геометрические знания египтян проникли в Грецию. Здесь геометрия возникла уже как наука. На рубеже IV–III столетий до нашей эры 
древнегреческий геометр Евклид, живший в Александрии, опубликовал 
своё знаменитое сочинение «Начала» в тринадцати книгах. В нём впервые было дано логическое построение геометрии.
Каждая книга «Начал» содержит описание основных геометрических 
понятий. Приведём некоторые из них:
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия есть длина без ширины.
3. Прямая линия есть такая линия, которая одинаково расположена 
по отношению ко всем своим точкам.
4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
5. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена 
относительно всех своих прямых.
6. Телом называется то, что имеет длину, ширину и глубину.
В первой книге «Начал» изложены постулаты и аксиомы, то есть 
утверждения, принимаемые без доказательств как очевидные. 
Постулаты:
1) через две точки можно провести одну прямую линию;
2) отрезок можно продолжить до прямой;
3) из любого центра можно описать окружность любого радиуса;
4) все прямые углы равны между собой;
5) две прямые, которые при пересечении с третьей прямой образуют 
внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, при 
продолжении в ту же сторону пересекаются.
Аксиомы:
1) равные порознь третьему, равны между собой;
2) если к равным прибавить равные, то получим равные;
3) если от равных отнять равные, то остатки будут равны;
4) совмещающиеся друг с другом равны;
5) целое больше своей части.
Вслед за аксиомами в первой книге «Начал» идут теоремы, расположенные в таком порядке, что последующие утверждения выводятся 
строго логически из постулатов, аксиом и предыдущих теорем. «Начала» 
Евклида были основным учебным пособием по геометрии в течение двух 
последующих тысячелетий.

§ 1. Аксиомы и «Начала» Евклида

Вопрос. Какие свойства точек на прямой вы знаете?
1.5. Пятый постулат. Уже ближайшие последователи Евклида обратили внимание на пятый постулат, который был не столь очевиден, как 
другие постулаты и аксиомы. Попытки доказать пятый постулат на основе 
остальных постулатов и аксиом Евклида безуспешно продолжались более 
2000 лет. Было замечено, что пятый постулат Евклида равносилен следующей аксиоме, которую принято называть «аксиомой параллельности»:
на плоскости через данную точку вне данной прямой можно провести 
не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.
Великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—
1856) также пытался доказать пятый постулат Евклида. Сохранив все 
остальные аксиомы, он заменил аксиому параллельности её отрицанием, 
надеясь обнаружить противоречие в последующих рассуждениях. Однако 
вместо противоречия Лобачевский пришёл к новому учению, которое он 
назвал «воображаемой геометрией». Доклад о своём открытии Н.И. Лобачевский представил совету Казанского университета, где он работал, в 
1826 году. В 1829 году вышла из печати большая работа Н.И. Лобачевского «О началах геометрии», в которой он детально изложил новую теорию. В настоящее время «воображаемая геометрия» называется геометрией 
Лобачевского.
Три года спустя после выхода в свет работы Лобачевского венгер ский 
учёный Янош Бойяи (1802—1860), не зная об исследованиях Лобачевского, также опубликовал работу, где изложил начала неевклидовой 
геометрии, но в менее развитой форме по сравнению с Лобачевским. 
К выводу о существовании новой геометрии независимо пришёл также 
великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), как 
впослед ствии стало известно из его писем к современникам.
Непротиворечивость геометрии Лобачевского была доказана позже 
французским учёным Анри Пуанкаре (1854—1912) и немецким математиком Феликсом Клейном (1849—1925). Подробное исследование аксиом 
евклидовой геометрии было проведено немецким математиком Давидом 
Гильбертом (1862—1943) в 1899 году.
Вопрос. Как сформулировать отрицание аксиомы параллельности?

Контрольные вопросы и задания 
Контрольные вопросы и задания 

1. Что вы понимаете под словом «аксиома»?
2. Что вы понимаете под словом «теорема»?
3. Приведите пример математического доказательства.

Глава 1. Аксиоматический метод в математике

4. Какой смысл в греческом языке имеет слово «геометрия»?
5. Каковы свойства основных понятий евклидовой геометрии?
6. Сформулируйте постулаты Евклида.
7. Что утверждают аксиомы евклидовой геометрии?
8. Сформулируйте аксиому параллельности.
9. * Каково главное отличие «воображаемой геометрии» Лобачев ского 
от геометрии Евклида?

 Задачи и упражнения
 Задачи и упражнения

1. Существует ли четырёхугольник, у которого три угла по 60°?
2. Докажите, что если у треугольника две медианы равны, то такой 
треугольник равнобедренный.
3. В трапеции средняя линия делится диагоналями на три равные 
части. Найдите соотношение оснований трапеции.
4. * В прямоугольном треугольнике ABC проводятся высота BH к 
гипотенузе и биссектриса AL, которая пересекает BH в точке M. Докажите, что треугольник BML равнобедренный.
5. ** Найдите площадь трапеции с основаниями 3 и 10 и диагоналями 5 и 12.

 Тесты
 Тесты

Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
1.1. На какое наибольшее число частей могут разделить плоскость три 
прямые?
1) 6  
 
2) 7 
 
3) 8 
 
4) 9
1.2. На какое наибольшее число частей могут разделить плоскость две 
окружности и прямая?
1) 6  
 
2) 7 
 
3) 8 
 
4) 9
1.3. Какую величину имеют углы правильного десятиугольника?
1) 108° 
 
2) 126°  
3) 144°  
4) 162°
1.4. Сколько различных действительных корней имеет уравнение 

?
1) ни одного 
2) один 
3) два  
4) четыре

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Каким из указанных неравенств равносильно неравенство 
?

1) 8x3 ≥ 1 
 
2) 2x ≥ 1 
3) 
   4) 

§ 2. Система аксиом Гильберта

2.2. Какие из указанных четырёх чисел могут быть длинами последовательных сторон некоторого четырёхугольника?
1) 1; 2000; 3; 4000  
 
2) 10; 2000; 30; 4000
3) 100; 2000; 300; 4000 
 
4) 1000; 2000; 3000; 4000
2.3. Какие из приведённых равенств являются следствиями тождества (a + b)2 = a2 + 2ab + b2?
1) 
 
 2) 

3) 
 
 4) 

2.4. Сколько различных действительных корней может иметь уравнение вида x2 − 2ax − 3a2 = 0 в зависимости от параметра a?
1) ни одного 2) один 3) два 4) три

§ 2. СИСТЕМА АКСИОМ ГИЛЬБЕРТА 
§ 2. СИСТЕМА АКСИОМ ГИЛЬБЕРТА 

2.1. ** Аксиомы связи. При построении геометрии Д. Гильберт 
использовал основные понятия, отношения между ними и аксиомами. 
Основными понятиями, которые не определяются через другие понятия, 
являются, как и у Евклида, точки, прямые и плоскости, а также следующие главные отношения между ними: «лежать на», «лежать между», 
«быть конгруэнтными» (или равными), «быть параллельными».
Система аксиом Гильберта состоит из пяти групп аксиом. В этом пункте мы приведём аксиомы первой группы (или аксиомы связи), которые 
описывают свойства отношения «лежать на».
11. Для любых двух точек существует прямая, на которой лежат эти 
точки.
12. Для любых двух различных точек существует не более одной прямой, на которой лежат эти точки.
13. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки; на каждой 
плоскости лежат по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
14. Для любых трёх точек существует плоскость, на которой лежат 
эти точки. На любой плоскости лежит хотя бы одна точка. 
15. Для любых трёх точек, не лежащих на одной прямой, существует 
не более одной плоскости, на которой лежат эти точки.
16. Если две точки прямой m лежат на плоскости , то все точки прямой m лежат на этой плоскости.
17. Если точка лежит на плоскости  и на плоскости , то существует 
по крайней мере ещё одна точка, которая лежит на каждой из этих плоскостей.

Глава 1. Аксиоматический метод в математике

18. Существуют по крайней мере четыре точки, которые не лежат на 
одной плоскости.
Для изучения аксиоматической теории полезно построить её модель, 
то есть сопоставить основным понятиям и отношениям какие-нибудь 
конкретные объекты и утверждения об этих объектах, которые могут 
быть истинными или ложными.
Нетрудно построить модель геометрии, которая удовлетворяет перечисленным аксиомам связи, но значительно отличается от евклидовой 
геометрии. Пусть ABCD — тетраэдр (рис. 1). 
Будем считать «точками» вершины А, В, С, D, 
«прямыми» — пары вершин {А, В}, {А, С}, 
{A, D}, {В, С}, {В, D} и {С, D}, «плоскостями» — тройки вершин {А, В, С}, {A, B, D}, 
{A, C, D}, {В, С, D}. Определим отношение 
«лежать на» как «входить в состав» соответствующей пары или тройки вершин. В результате получаем модель, в которой выполняются 
все аксиомы 11 — 18. Эта модель показывает, 
что в геометрии, определяемой лишь аксиомами связи, прямая может иметь всего две 
точки, а плоскость — три точки.
Вопрос. Будут ли выполняться аксиомы 
11 — 18, если в указанной модели из числа 
«прямых» удалить {А, В}?
2.2.** Аксиомы порядка. Аксиомы второй группы, или аксиомы порядка, описывают 
свойства отношения «лежать между».
21. Если точка В лежит между точками А и 
С, то В лежит также между С и А. При этом А, 
В, С — различные точки одной прямой (рис. 2).
22. Для любых двух точек А и В на одной 
прямой АВ существует по крайней мере одна 
точка С такая, что точка B лежит между А и C.
23. Среди любых трёх различных точек 
существует не более одной, лежащей между 
двумя другими.
24 (аксиома Паша). Пусть А, В, С — три 
точки в плоскости  и m — прямая в плоскости , не проходящая ни 
через одну из точек А, В, С. Тогда если на прямой m найдётся точка D, 

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3