Моделирование систем

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ 

 
 

Кафедра математики и естественно-научных дисциплин 

 

 

 

 

 

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ 

 

 

 

 

Практикум 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воронеж  

2022 

 

 

УДК 519.87 
ББК 22.1 

М74 

 

 

Утверждено методическим советом  

Воронежского института ФСИН России 

20 июля 2021 г., протокол № 11 

 

Р е ц е н з е н т ы: 

 

начальник кафедры технических комплексов охраны и связи  

Воронежского института ФСИН России, 

кандидат технических наук, доцент А. В. Паринов; 

профессор кафедры математики и моделирования систем  

Воронежского института МВД России 

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Меньших 

 
 

Моделирование систем : практикум / сост. Р. В. Кузьменко,  

Н. А. Андреева, Е. В. Корчагина и др. – ФКОУ ВО Воронежский институт 
ФСИН России. – Воронеж, 2022. – 96 с.  

 
 
Практикум 
является 
дополнением 
к 
основной 
литературе  

дисциплины. Создан на базе прочитанного материала. Каждое задание  
в практикуме начинается с необходимого теоретического минимума, 
включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем  
следует блок рассмотрения решения задачи. В конце находятся задачи для  
самостоятельного решения и контрольные вопросы, позволяющие  
обучающимся оценить освоенность представленного материала. 

Предназначен для всех технических специальностей и направлений 

подготовки, 
включающих 
реализацию 
дисциплин 
«Моделирование  

систем» и «Моделирование систем и сетей телекоммуникаций». 

 

УДК 519.87 
ББК 22.1 

 

© ФКОУ ВО Воронежский  
институт ФСИН России , 2022  
© Составление. Кузьменко Р. В.,  
Андреева Н. А., Корчагина Е. В., 
Кочагин В. В., Папонов А. В.,  
Меньших Т. В., 2022 

М74

ВВЕДЕНИЕ 

 

Интенсивное развитие науки в середине XX в. привело к необходимости 

использования междисциплинарного подхода при решении задач из различных 
областей и сфер науки и техники. При этом исследователи все чаще стали 
обнаруживать определенную схожесть как в структуре и характеристиках 
объектов различной природы, так и в механизмах формулировки задач их 
исследования, а также методов решения поставленных задач. Попытки 
обобщения результатов таких исследований привели к понятию системности и 
формированию теоретической и экспериментальной базы новой дисциплины 
«Теория систем», выступающей в качестве научной теории, направленной на 
разработку методов исследований объектов с определенными свойствами и 
характеристиками независимо от их отраслевого характера.  

Используемая в рамках теории систем в качестве метода научного 

познания совокупность принципов, подходов и средств исследования, анализа 
объектов и процессов путем их представления как систем получила название 
«системный анализ». 

Схематично можно сказать, что в основе любой исследовательской про
цедуры системного анализа лежат три стадии: 1) постановка задачи, 
2) построение формализованной модели системы, 3) проверка модели и решение в ее рамках поставленной задачи. При этом 2-й и 3-й этапы описывают общим понятием «моделирование систем». В связи с высокой важностью данного 
аппарата теории систем «Моделирование систем» в последнее время выступает 
как самостоятельная дисциплина. 

При решении задач моделирования систем используется значительное 

число формальных и неформальных (эвристических) процедур, взятых из таких 
дисциплин, как «Исследование операций», «Теория вероятностей», «Теория 
массового обслуживания», «Теория оптимального управления», «Теория принятия решений», «Экспертный анализ», «Теория организации эксплуатации систем» и т. д. Другие процедуры моделирования систем, напротив, были развиты 
именно в рамках системного анализа. 

В предлагаемом практикуме рассматриваются классические подходы к 

решению задач моделирования типовых систем, в том числе с применением 
средств вычислительной техники. Приведенные в пособии задачи предназначены для того, чтобы ознакомить обучающихся с основами системного анализа и 
моделирования систем, научить обучающихся рассматривать объекты, процессы и явления с системных позиций, выработать у обучающихся практические 
навыки решения задач моделирования систем, а при необходимости и восполнить не усвоенный на лекциях материал, который необходим для успешного 
владения предметом. Содержание практикума не выходит за рамки рабочих 
программ и ставит перед собой задачу проиллюстрировать главные темы, отталкиваясь от потребности обучающихся в освоении методами моделирования 
систем. 

Каждое задание в практикуме начинается с необходимого теоретического 

минимума, включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем 
следует блок рассмотрения решения задачи. В конце находятся задачи для самостоятельного решения и контрольные вопросы, позволяющие обучающимся 
оценить освоенность представленного материала. Практикум может использоваться как преподавателями для подготовки занятий, так и обучающимися в 
случае самостоятельного освоения материала.  

Авторы надеются, что настоящий практикум поможет обучающимся 

освоить фундаментальные основы дисциплины «Моделирование систем» и 
успешно применять полученные знания на практике. 

Практикум предназначен для курсантов, слушателей и студентов, обуча
ющихся по специальностям 10.05.02 Информационная безопасность телекоммуникационных систем, 11.05.02 Специальные радиотехнические системы, 
11.05.04 Инфокоммуникационные технологии и системы специальной связи и 
направлению подготовки 11.03.02 Инфокоммуникационные технологии и системы связи. 

 

Практическое задание 1 

ТЕМА «Виды моделирования» 

 

Учебные вопросы: 
1. Виды моделирования. 

Цель работы: освоить методы построения аналитической и имитацион
ной моделей. 

Задачи работы:  
– изучить виды моделирования; 
– сформировать у обучаемых умения и навыки построения аналитической 

и имитационной моделей. 

 

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 

 

Моделирование систем основывается на замене исследуемой системы ее 

моделью и проведении исследований на модели с целью получения информации о системе. В качестве модели системы могут выступать ее физические или 
абстрактные образы, на которых проведение исследований является более 
удобным и простым. При этом, поскольку речь идет о системах, при разработке 
модели используется предполагаемый системным анализом стандартный подход, состоящий из трех этапов: синтеза, анализа и принятия решения об использовании результатов моделирования (рис. 1.1). В качестве формализованной 
модели системы может использоваться графическая, формально-логическая, 
информационная, математическая или иная форма формальных моделей.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Рис. 1.1. Типовая схема этапов моделирования 

 

Синтез модели заключается в подборе категории, вида модели и опреде
лении ее параметров и переменных.  

При анализе модели необходимо обратить внимание на ее следующие ос
новные показатели: 

1) специализированность модели – пригодность модели для данной кон
кретной исследовательской задачи; 

2) количество критериев, используемых для оценки состояния системы. 

Разработка модели 

Синтез 
Анализ 

Использование 
модели 

Принятие 
решения 

Оригинал 

Постановка 

Чем больше число критериев, тем выше точность описания и тем сложнее соответствующая модель; 

3) точность модели – определяется отклонением рассчитанного отклика 

модели от экспериментально наблюдаемого;  

4) экономичность модели – определяется ресурсами, необходимыми для 

реализации модели и проведения с ней исследовательского эксперимента; 

5) непротиворечивость – в рамках эксперимента с моделью проверяется, 

не противоречит ли рассчитанный в рамках модели отклик системы отклику 
оригиналу на аналогичные воздействия; 

6) целостность модели – создаваемая модель должна включать в себя до
статочное число взаимодействующих между собой элементов системы, позволяющих описать систему как единое целое; 

7) степень учета неопределенностей в отношении состояния системы или 

воздействий внешней среды; 

8) поведенческая страта, которая позволяет оценить уровень достижения 

системой поставленной цели в случае реализации модели; 

9) адаптивность модели к различным внешним факторам; 
10) управляемость модели – возможность планирования эксперимента с 

моделью или системой; 

11) возможность развития модели за счет ее видоизменения или учета 

альтернатив; 

12) информационное обеспечение – наличие достаточного объема данных 

для проведения эксперимента с моделью. 

На этапе принятия решения полученные в рамках модели результаты ана
лизируются принимающим решение лицом (ЛПР). При этом ЛПР делает заключение об адекватности модели, т. е. ее пригодности для достижения поставленных целей.  

 

ЗАДАНИЯ И ПОРЯДОК ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ 

 
Расчет параметров емкости заданного объема с оптимальными за
тратами ресурсов. 

Необходимо спроектировать прямую цилиндрическую емкость заданного 

объема V0 с размерами: r – радиус основания, h – высота, h0 –высота кромки по 
верхнему периметру. В задаче могут быть использованы различные критерии 
оптимума, например общая площадь поверхности емкости (затраты материала) 
S = Sбок + 2Sосн или длина сварного шва (расход электроэнергии)  L = 2Lосн + (h + 
h0). Кроме того, очевидно, что существуют некоторые предельные значения радиуса днища r: R1  r  R2. 

Рассмотрим различные подходы к решению данной задачи: 
1) построение аналитической модели. Обозначим через Q выбранный 

нами критерий оптимальности (общая площадь поверхности емкости S и / или 
длина сварного шва L). Можно выбрать двухпараметрическую и однопараметрическую модели:   

а) двухпараметрическая модель 

Q(r, h) min  
 
 
 
              (1) 

при ограничениях 

V(r, h) = V0 
 
 
 
 
 
    (2) 

R1  r  R2. 
 
 
 
 
 
    (3) 

В данном случае потребуется найти локальный минимум функции двух 

переменных; 

б) однопараметрическая модель 

h = h(r, V0).  
 
 
 
 
 
    (4) 

Подставив (4) в (1), получим функцию одной переменной, для которой потребуется найти минимум на отрезке 

Q(r, h(r, V0)) min.  
 
 
 
    (5) 

Сравним модели между собой. Если существует аналитическое решение 

уравнения (2) в виде (4), то с точки зрения простоты описания вторая модель 
будет более предпочтительной. В противном случае надо будет использовать 
первую модель. 

В рассматриваемой задаче решение (4) существует. Благодаря этому 

можно реализовать однопараметрическую модель;  

2) различные модели для принятия решения. При этом будем исходить 

из того, что условием минимума для выбранного нами критерия оптимальности 
Q является  

0
)
(





r
r
Q
                                                            (6) 

в некоторой стационарной точке. При этом возможны следующие варианты: 

1) стационарная точка принадлежит интервалу [R1, R2], и аналитическое 

решение уравнения (6) существует. В этом случае необходимо применять аналитическую модель принятия решения; 

2) стационарная точка принадлежит интервалу [R1, R2], и аналитического 

решения уравнения (6) не существует. В этом случае необходимо применять 
численную модель решения; 

3) стационарная точка не принадлежит интервалу [R1, R2]. Это означает, 

что как аналитическая, так и численная модели, основанные на уравнении (6), 
не адекватны объекту моделирования и необходима имитационная модель. 

Таким образом, для выбора модели решения необходимо проверить вы
полнение условия (3). Это можно сделать с помощью леммы Больцмана – Коши: если 

                  
0
&
0

2
1










R
r
R
r
r
Q

r
Q
,                                  (7) 

то на отрезке (3) есть хотя бы одна стационарная точка. Для проверки отноше
ния (7) надо найти производную 

r
r
Q



)
(
, вычислить ее значение при r = R1 и r = 

R2 и определить знаки полученных значений. Если (7) выполняется, то используется аналитическая или численная модель в зависимости от существования 
аналитического решения уравнения (6). Если же хотя бы одно из условий не 
верно, то нужна имитационная модель. 

Аналитическая модель представляет собой формулу вида  

)
,
(
0
0 h
V
r
ropt 
,                                                         (8) 

которая получается, если из уравнения (6) выразить r. 

В качестве численной модели решения уравнения (6) предлагается метод 

Ньютона, применяемый для решения уравнения f(x) = 0. выбрав некоторое 
начальное значение х, равное х(0), по формуле Ньютона  

(x(k))
f
f(x(k))/
x(k)
)
x(k



1
                              (9) 

последовательно получают все более точные решения х(1), х(2), …, х(n). 

Имитационная модель решения представляет собой реализацию метода 

проб. Для ее применения необходимо в формулу (5) подставлять различные 
значения r из интервала (3) и из полученных значений критерия q надо выбрать 
минимальное. Для решения данной задачи приемлемая точность будет достигнута, если взять 50 равноотстоящих точек из интервала [R1, R2]; 

3) составление алгоритмической модели. Алгоритмы аналитической и 

имитационной моделей достаточно просты, поэтому приведем только алгоритм 
численной модели (рис. 1.2); 

4) программная модель аналитического решения представляет собой 

запрограммированную формулу (8) для вычисления решения уравнения (6). 
В случае численного решения необходимо составить программу по приведенной ниже схеме алгоритма (рис. 1.2) или воспользоваться уже готовыми программными продуктами, например MathCAD. 

При использовании имитационной модели программируется формула (5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Рис 1.2. Схема алгоритма численной модели проектирования  

емкости заданного объема оптимальных параметров 

Нет 

Да 

Вывод r 

Начало 

Вычисление ƒ(r)¸ƒ´(r) 

Ввод r, e 

σ= ƒ(r)/ƒ´(r), 

r=r-σ 

|σ|>e 

Конец 

Во все варианты выбранной модели нужно включить в качестве парамет
ров значения переменных V0, h0, R1, R2, варьируемую переменную h и вывод 
найденного значения. 

S = Sбок + 2Sосн = 2πr(h+h0)+2πr2min, 
L = 2Lосн + h +h0 = 4πr+h+h0min, 
V0 = πr2(h+h0),  
R1  r  R2,  

2
0
r
V
h


  h0.  

 

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 

 
Задание 1. Построить аналитическую модель описания для указанного 

критерия в соответствии со своим вариантом (табл. 1.1). 

Таблица 1.1 

№ п/п 
min 
V0 
R1 
R2 
h0 

1 
S 
5 
0.5 
1.5 
0.05 

2 
L 
7 
0.5 
1.5 
0.1 

3 
S 
8 
1.2 
2 
0.1 

4 
L 
9 
1.2 
2 
0.15 

5 
S 
10 
0.5 
1.5 
0.15 

6 
L 
11 
0.5 
1.5 
0.05 

7 
S 
12 
1.4 
2 
0.1 

8 
L 
13 
1.4 
2 
0.15 

9 
S 
14 
1 
1.8 
0.25 

10 
L 
15 
1.1 
1.9 
0.21 

 
Порядок выполнения задания 1 
Например, требуется спроектировать емкость объема V0 = 6 м3 в виде 

прямого цилиндра  с кромкой по верхнему основанию высоты h0 = 0,07 м с оптимальными размерами радиуса основания ropt и высоты hopt. Критерием оптимальности будут выступать  

S = Sбок + 2Sосн = 2πr(h+h0)+2πr2 min,  

где S – площадь поверхности емкости. 

Известно, что объем цилиндра равен V0 = πr2(h+h0) (0,6  r  1,4), тогда 

высота цилиндра будет равна 
2
0
r
V
h


  h0.  

Критерий оптимальности примет вид  

S = Sбок + 2Sосн = r

V0
2
+2πr2min, 

т. е. необходимо найти минимум функции S(r) на отрезке 0,6  r  1,4. 
 

Задание 2. Реализовать имитационную модель решения в соответствии со 

своим вариантом (табл. 1.1).  

 
Порядок выполнения задания 2 
В случае имитационного моделирования для нахождения оптимальных 

значений 
opt
r
 и 
opt
h
 воспользуемся табличным процессором Microsoft Office Ex
cel (рис. 1.3). 

Для этого в ячейки C2:E2, G2 введите заданные значения V0, R1, R2, h0. 

В ячейку F2 введите шаг изменения параметра r, рассчитанный по формуле 
=(E2-D2)/50, а в ячейку B2 введите формулу для расчета значения оптимизируемого параметра S(r): = (2*$C$2/A2)+2*3,1415*A2*A2. В ячейку A3 введите 
формулу для расчета ri: = A2 + $F$2. Скопируйте формулы в ячейках B2 и A3 и 
вставьте их в нижние ячейки, чтобы получить 50 значений S(ri). 

Среди полученных значений S(ri) найдем минимальное и соответствую
щее ему значение ropt. В данном примере это значения ropt  = 0,984 м, S(ropt) = 
18,27867. Рассчитаем значение hopt, для этого в ячейку F22 введем формулу = 
C2/(3,1415*E22*E22)-G2. Получим: hopt  = 1,903 м. 

 

 

Рис. 1.3. Результаты имитационного моделирования в MS Excel 

 
Задание 3. Используя имитационное моделирование, решите задачу по
строения оптимальной системы. 

УФСИН какой-то области получило денежные ресурсы в размере m млн 

рублей. Эти ресурсы должны быть потрачены на закупку новых приборов