Высшая математика в упражнениях и задачах

   П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко

   Высшая математика в упражнениях и задачах

   7-е издание, исправленное






      Москва
      Мир и Образование

УДК 516+517 ББК 22.1я73
    Д17







Все права защищены. Перепечатка отдельных глав и произведения в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.







     Данко, П. Е.
Д17 Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. — 7-е изд., испр. — Москва : Мир и Образование, 2023. — 816 с.: ил.
        ISBN 978-5-94666-506-3
        Пособие состоит из двух частей и охватывает весь курс высшей математики для студентов высших профессиональных учебных заведений.
        В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения, состоящие из определений и основных математических понятий данного раздела.
        В пособие включены типовые задачи, для наглядности сопровождаемые иллюстрациями, и подробно рассматриваются методы их решения. Ко всем задачам для самостоятельной работы даны ответы.
УДК 516+517
ББК 22.1я73









ISBN 978-5-94666-506-3

                          © Данко С. П., 2008
                          © Бедникова О. Б., Данко А. С., Малахов А. В., 2008
                          © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2023

      Оглавление




Предисловие.............................................................. 8
ЧАСТЬ 1
Глава I. Аналитическая геометрия на плоскости
   § 1.  Прямоугольные и полярные координаты............................ 10
   §2.   Прямая......................................................... 21
   § 3.  Кривые второго порядка......................................... 34
   § 4.  Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второго порядка ............................................................... 42
   § 5.  Определители второго и третьего порядков и системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными..................................... 51
Глава II. Элементы векторной алгебры
   § 1.  Прямоугольные координаты в пространстве........................ 58
   § 2.  Векторы и простейшие действия над ними......................... 60
   § 3.  Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение...    63
Глава III. Аналитическая геометрия в пространстве
   § 1.  Плоскость и прямая............................................. 69
   § 2.  Поверхности второго порядка.................................... 83
Глава IV. Определители и матрицы
   § 1.  Понятие об определителе п -го порядка.......................... 91
   § 2.  Линейные преобразования и матрицы.............................. 96
   § 3.  Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка................................................ 107
   §4.   Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы........................... 114
   § 5.  Исследование системы т линейных уравнений с п неизвестными...  117
   §6.   Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.............. 121
   § 7.  Применение метода Жордана—Гаусса к решению систем линейных уравнений............................................................... 125
Глава V. Основы линейной алгебры
   §1   .  Линейные пространства....................................... 134
   §2    . Преобразование координат при переходе к новому базису....... 142
   §3    . Подпространства............................................. 144
   §4    . Линейные преобразования..................................... 149
   §    5. Евклидово пространство...................................... 160
   §    6. Ортогональный базис и ортогональные преобразования.......... 165
   §    7. Квадратичные формы.......................................... 169
Глава VI. Введение в анализ
   §1   .  Абсолютная и относительная погрешности...................... 176
   §    2. Функция одной независимой переменной........................ 178

Оглавление

   §3.   Построение графиков функций................................... 181
   §4.   Пределы....................................................... 183
   §5.   Сравнение бесконечно малых.................................... 189
   § 6.  Непрерывность функции......................................... 191
Глава VII. Дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной
   § 1.  Производная и дифференциал.................................... 194
   §2.   Исследование функций.......................................... 212
   § 3.  Кривизна плоской линии........................................ 230
   § 4.  Порядок касания плоских кривых................................ 232
   § 5.  Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная.......... 233
   § 6.  Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривизна и кручение............................................................ 236
Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных
   § 1.  Область определения функции. Линии и поверхности уровня....... 240
   § 2.  Производные и дифференциалы функций нескольких переменных....  242
   § 3.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности................. 253
   § 4.  Экстремум функции двух независимых переменных................. 255
Глава IX. Неопределенный интеграл
   § 1.  Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегрирование по частям....................................................... 260
   §2.   Интегрирование рациональных дробей............................ 271
   § 3.  Интегрирование простейших иррациональных функций.............. 285
   §4.   Интегрирование тригонометрических функций..................... 291
   § 5.  Интегрирование разных функций................................. 299
Глава X. Определенный интеграл
   § 1.  Вычисление определенного интеграла............................ 300
   § 2.  Несобственные интегралы....................................... 305
   § 3.  Вычисление площади плоской фигуры............................. 309
   §4.   Вычисление длины дуги плоской кривой.......................... 311
   §5.   Вычисление объема тела........................................ 313
   §6.   Вычисление площади поверхности вращения....................... 315
   § 7.  Статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур..... 316
   § 8.  Нахождение координат центра тяжести. Теоремы Гульдена......... 318
   §9.   Вычисление работы и давления.................................. 321
   § 10. Некоторые сведения о гиперболических функциях................. 325
Глава XI. Элементы линейного программирования
   § 1. Линейные неравенства и область решений системы линейных неравенств 330
   § 2. Основная задача линейного программирования..................... 333
   § 3. Симплекс-метод................................................. 336
   § 4. Двойственные задачи............................................ 348
   § 5. Транспортная задача............................................ 350

Оглавление

5

ЧАСТЬ 2
Глава XII. Двойные и тройные интегралы
   § 1.  Двойной интеграл в прямоугольных координатах................. 358
   § 2.  Замена переменных в двойном интеграле........................ 362
   § 3.  Вычисление площади плоской фигуры............................ 366
   § 4.  Вычисление объема тела....................................... 369
   § 5.  Вычисление площади поверхности............................... 370
   § 6.  Физические приложения двойного интеграла..................... 373
   §7.   Тройной интеграл............................................. 376
   §8.   Приложения тройного интеграла................................ 381
   § 9.  Интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла......................................... 383
   § 10. Гамма-функция. Бета-функция.................................. 388
Глава XIII. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности
   § 1.  Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам....... 396
   § 2.  Независимость криволинейного интеграла II рода от контура интегрирования. Нахождение функции по ее полному дифференциалу.............. 401
   § 3.  Формула Грина................................................ 404
   § 4.  Вычисление площади........................................... 406
   § 5.  Поверхностные интегралы...................................... 407
   § 6.  Формулы Стокса и Остроградского—Гаусса. Элементы теории поля. 411
Глава XIV. Ряды
   § 1.  Числовые ряды................................................ 421
   § 2.  Функциональные ряды.......................................... 432
   § 3.  Степенные ряды............................................... 436
   § 4.  Разложение функций в степенные ряды.......................... 442
   § 5.  Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов.............................................................. 447
   § 6.  Применение степенных рядов к вычислению пределов и определенных интегралов......................................................... 452
   § 7. Комплексные числа и ряды с комплексными членами............... 453
   § 8. Ряд Фурье..................................................... 464
   § 9. Интеграл Фурье................................................ 470
Глава XV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
   § 1. Дифференциальные уравнения первого порядка.................... 475
   § 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.................... 500
   § 3. Линейные уравнения высших порядков............................ 506
   § 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов..... 525
   § 5. Системы дифференциальных уравнений............................ 530
Глава XVI. Элементы теории вероятностей
   § 1.  Случайное событие, его частота и вероятность. Геометрическая вероятность ............................................................. 541
   § 2.  Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность ... 545
   § 3.  Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события..       550

Оглавление

   § 4.  Формула полной вероятности. Формула Бейеса..................... 553
   § 5.  Случайная величина и закон ее распределения.................... 555
   § 6.  Математическое ожидание и дисперсия случайной величины......... 559
   § 7.  Мода и медиана................................................. 562
   § 8.  Равномерное распределение...................................... 564
   § 9.  Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона............... 565
   § 10.  Показательное распределение. Функция надежности............... 568
   §11.   Нормальный закон распределения. Функция Лапласа............... 571
   § 12.  Моменты, асимметрия и эксцесс случайной величины.............. 575
   § 13.  Закон больших чисел........................................... 579
   § 14.  Теорема Муавра—Лапласа........................................ 583
   § 15.  Системы случайных величин..................................... 584
   § 16.  Линии регрессии. Корреляция................................... 594
   § 17.  Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных ................................................................. 598
   § 18.  Нахождение законов распределения случайных величин на основе опытных данных .......................................................... 610
Глава XVII. Понятие об уравнениях в частных производных
   § 1.  Дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных .  630
   § 2.  Типы уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому виду................................................. 632
   § 3.  Уравнение колебания струны..................................... 636
   § 4.  Уравнение теплопроводности..................................... 643
   § 5.  Задача Дирихле для круга....................................... 649
Глава XVIII. Элементы теории функций комплексной переменной
   § 1.  Функции комплексной переменной................................. 653
   § 2.  Производная функции комплексной переменной..................... 656
   § 3.  Понятие о конформном отображении............................... 659
   § 4.  Интеграл от функции комплексной переменной..................... 663
   § 5.  Ряды Тейлора и Лорана.......................................... 668
   § 6.  Нахождение вычетов функций. Применение вычетов к нахождению интегралов ............................................................ 674
Глава XIX. Элементы операционного исчисления
   § 1.  Нахождение изображений функций................................. 679
   § 2.  Отыскание оригинала по изображению............................. 681
   § 3.  Свертка функций. Изображение производных и интеграла от оригинала . 685
   § 4.  Применение операционного исчисления к решению некоторых дифференциальных и интегральных уравнений................................. 687
   § 5.  Общая формула обращения........................................ 690
   § 6.  Применение операционного исчисления к решению некоторых уравнений математической физики............................................ 692
Глава XX. Методы вычислений
   § 1.  Приближенное решение уравнений................................. 697
   § 2.  Интерполирование............................................... 708
   § 3.  Приближенное вычисление определенных интегралов................ 712

Оглавление

7

   § 4.  Приближенное вычисление кратных интегралов................... 717
   § 5.  Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных и кратных интегралов..................................................... 728
   §6.   Численное интегрирование дифференциальных уравнений.......... 741
   § 7.  Метод Пикара последовательных приближений.................... 746
   §8.   Простейшие способы обработки опытных данных.................. 749
Глава XXI. Основы вариационного исчисления
   § 1.  Понятие о функционале........................................ 763
   § 2.  Понятие о вариации функционала............................... 764
   § 3.  Понятие об экстремуме функционала. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера................................................... 766
   § 4.  Функционалы, зависящие от производных высших порядков........ 772
   § 5.  Функционалы, зависящие от двух функций одной независимой переменной ............................................................... 773
   § 6.  Функционалы, зависящие от функций двух независимых переменных .... 774
   § 7.  Параметрическая форма вариационных задач..................... 776
   § 8.  Понятие о достаточных условиях экстремума функционала........ 777
Ответы................................................................ 778
Приложение............................................................ 809

      Предисловие






    При написании данной книги авторы стремились раскрыть содержание основных понятий и теорем курса высшей математики для студентов вузов на специально подобранных упражнениях и задачах.
    В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения, состоящие из определений и основных математических понятий данного раздела. При этом наиболее трудные вопросы теории для лучшего усвоения сопровождаются раскрытием этих понятий (без доказательств).
    В пособие включены типовые задачи, для наглядности сопровождаемые иллюстрациями, и подробно рассматриваются методы их решения. Ко всем задачам для самостоятельной работы даны ответы. В Приложении приводятся таблицы, необходимые при решении некоторых задач.
    Пособие состоит из двух частей и охватывает весь курс высшей математики для студентов высших профессиональных учебных заведений.
    Часть 1 содержит следующие главы: аналитическая геометрия на плоскости; элементы векторной алгебры; аналитическая геометрия в пространстве; определители и матрицы; основы линейной алгебры; введение в анализ; дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной; дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных; неопределенный интеграл; определенный интеграл; элементы линейного программирования.
    Часть 2 содержит следующие главы: двойные и тройные интегралы; криволинейные интегралы и интегралы по поверхности; ряды; обыкновенные дифференциальные уравнения; элементы теории вероятностей; понятие об уравнениях в частных производных; элементы теории функций комплексной переменной; элементы операционного исчисления; методы вычислений; основы вариационного исчисления.
    В пособии приняты следующие обозначения: начало и конец решения задачи отмечаются соответственно знаками О и I, а вместо слова «Указание» используется знак 0.
    В настоящем, 7-м издании произведены некоторые поправки редакционного характера, а также устранены замеченные неточности и опечатки.
    Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю признательность студентам и преподавателям высших учебных заведений, рецензентам всех изданий книги, чьи поправки, критические замечания и предложения способствовали улучшению данного пособия.

Часть 1






Глава I
Аналитическая геометрия на плоскости

Глава II
Элементы векторной алгебры

Глава III
Аналитическая геометрия в пространстве

Глава IV
Определители и матрицы

Глава V
Основы линейной алгебры

Глава VI
Введение в анализ

Глава VII
Дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной

Глава VIII
Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных

Глава IX
Неопределенный интеграл

Глава X
Определенный интеграл

Глава XI
Элементы линейного программирования

Глава I


    АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ








    §1


      Прямоугольные и полярные координаты


       1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном от

ношении. Точку М координатной оси Ох, имеющую абсциссу х, обозначают через М(х).
    Расстояние d между точками Af^x^ и Af₂(x₂) оси при любом расположении точек на оси находится по формуле


d = |х₂ -Xi|.


(1)

    Пусть на произвольной прямой задан отрезок АВ (А — начало отрезка, В — его конец); тогда всякая третья точка С этой прямой делит отрезок АВ в некотором отношении А, где А = ±АС : СВ. Если отрезки АС и СВ направлены в одну сторону, то А приписывают знак «плюс»; если же отрезки АС и СВ направлены в противоположные стороны, то А приписывают знак «минус». Иными словами, А > 0, если точка С лежит между точками А и В; А < О, если точка С лежит на прямой вне отрезка АВ.
    Пусть точки А и В лежат на оси Ох, тогда координата точки С(х), делящей отрезок между точками 4(xJ и В(х₂) в отношении А, находится по формуле



В частности, при А = 1 получается формула для координаты середины отрезка:






    1. Построить на прямой точки 4(3), В(—2), С(0), £)(д/2), Е(—3,5).
    2.     Отрезок АВ четырьмя точками разделен на пять равных частей. Найти координату ближайшей к А точки деления, если 4(—3), В(7).