Полный сборник решений задач по математике для поступающих в вузы. Группа повышенной сложности

Под редакцией М. И. Сканави





                Поё№1Й сборок ре0е^й задач по МАТЕМАТИКЕ




для поступающих в вузы

Группа повьшешой сёожности





Москва Издательство АСТ Мир и Образование

УДК 51(076.1)
ББК 22.11
     П51



Все права защищены.
Перепечатка отдельных глав и произведения в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.



Издается по лицензии
ООО «Издательство «Мир и Образование»





         Полный сборник решений задач по математике для пос-П51 тупающих в вузы. Группа повышенной сложности / Под ред.
     М. И. Сканави. — Москва: Издательство АСТ: Мир и Образование, 2015. — 624 с.: ил.
         ISBN 978-5-17-094015-8 (Издательство АСТ)
         ISBN 978-5-94666-779-1 (Мир и Образование)
         В помощь абитуриентам публикуется полный сборник задач по математике с решениями под редакцией М. И. Сканави по всем группам сложности.
         Условия и нумерация всех задач полностью соответствуют изданию «Сборник задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией М. И. Сканави, 6-е издание (М.: Мир и Образование).
         Пособия помогут при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз. Книги адресованы школьникам старших классов, абитуриентам, репетиторам и преподавателям.
УДК 51(076.1)
ББК 22.11





ISBN 978-5-17-094015-8 (Издательство АСТ)
ISBN 978-5-94666-779-1 (Мир и Образование)


                           © Маслова Т. Н., 2001
                           © Голубева М. А., Егерева В. С., Зайцев В. В., Лунаци Э. Д., Ничкова Н. Б., Сканави А. М., Суходская В. А., Фохт О. Б., наследники, 2015
                           © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2015

Решения к главе 5


КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА




ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Число перестановок из п элементов находится по формуле        
Рп = 1 • 2 ...(« - 1)и = и!.                             (5.1)
Число сочетаний из п элементов по m находится по формуле      
                  "   т'.(п --- т)1’ п                   (5.2)
Справедливы следующие свойства сочетаний:                     
                                                         (5.3)
- 4+1 •                                                  (5.4)
Число размещений изп элементов пот находится по формуле       
п!                                                       (5.5)
                      jm _ Р гт--                             
Формула бинома Ньютона имеет вид                              
(a+b)n = С°ап +Clnan-lb+...+Ckan-kbk+...+C"bn,           (5.6)

или


       (   ,\п п п-\,             п(п-1)...(п-к + 1)   ..
\и + Ь) —а л-тш /?+...+           .          и b +...+/? ,
                                         к\


гдел—натуральное число и Скап кЬк = Тк₊₁ естъ(к+ 1)-йчленвраз-ложении бинома (к = 0,1, 2,ri).
   Сумма биномиальных коэффициентов равна 2":

С„° + С'+...+С„п=2и.              (5.7)


3

Группа А


     Решить уравнения (5.001—5.005):

      5.001. а) 4 ■ С^¹ = 48; С' + 6С² + 6С³Х = 9х² - 14х.

     Решение.
     а) По формуле (5.5)


_
Л"(х-2)

1 • 2 • 3 ■ ,..(х-ЗХ%-2Хх- 1)х 1-2-3-...(х-ЗХх-2)

= (х-1)х= х² -X,

    а по формуле (5.2)


       ,ᵥ_j         х!           х! 1-2-3-...(х-1)х
       х ⁼ (х-1)!(х-х+1)! ⁼ (х-1)! 1! ⁼ 1-2-3-...(х-1)

     Таким образом, данное уравнение принимает вид


    (х² - х)х= 48<=>х³-х²=48 = 0<=>х³-64 + 64-х²-48 = 0<=>
    <=> (х³ - 64)- (х² — 1б)= 0 <=> (х- 4^ + 4х+1б)- (х- 4Хх+ 4)= 0
    <=> (х-4Дх² +4х+16-х-4)=0 <=> (х-4)(х² + Зх+12)=0=>
    => х. = 4;х² + Зх+12 Ф 0(Z) < 0)


    б)  По формуле (5.2) находим


              а!         а!       о
     х+ 6 —+ 6 —= 9Х² - 14х <=>
           2!(х-2)!    3!(х-3)!
           6(1 • 2 • 3 • ...(х- 2\х- 1)х) 6(1 ■ 2 • З...(х- 3Xx- 2\х- 1)х) _ 1-2(1-2-3-...(х-2)) ⁺     1-2-3(1-2-3...(х-3))
     = 9х² -14х<=> х+3(х-1)х+(х-2Хх-1)х=9х² -14х<=> х³ -9Х²
     + 14х=0<=> х(х² -9х+14)=0, X] =0или


      2 о ,, а 9± л/81-56          9 + 5
     х--9х+14 = 0;х,, ----------=---^,³      2        2




     Корни х, = 0 и х₂ = 2 не подходят.
     Ответ: а) х = 4; б) х - 7.

4

                                      A⁴ 24
   5.002. a) +2C³₄ =7(x-l);6) A^_c*-*


   Решение. а) Имеем


     гх-2 „ x-rx+l-x+2 „ x-i3 x+1 “ ex+l “ex+l>
     ,3 _    (x+1)!   _ (x+1)!
     X⁺¹ 3’(х+1-3)! 3!(х-2)!
     T 2 • З...(х-2\x-l)x(x+1) _ (x- l)x(x+1) 1-2-3 1-2-3...(x-2)               6~~


     з ₌    (x-1)!  ₌ (x-1)! ₌
     *⁻¹ 3!(х-1-3)! 3!(х-4)!
   __1-2-3...(х-4Хх-ЗХх-2)(х-1)_ (x-3Xx-2Xx-l) 1-2-3-1-2-3...(х—4)           " б⁻
   Тогда уравнение принимает вид
    (х-1)х(х+1) 2(х-ЗХх-2Хх-1)_
         6      ⁺        6        "
   = 7(х- 1Н        ₊ ²(*~³Х*-2) ₌
      v ’       6           6

<=> X² - Зх -10 = 0, откуда = - 2 (не подходит), х₂ = 5.
   б) По формуле (5.5) получим
    ^4 _ х! _ 1-2-3...(х-4Хх-ЗХх-2Хх-1)х_ х " (х-4)! “         1-2-3...(х-4)      ~
    = (х- ЗХх- 2Хх- 1)х
и
     3 _ (х+1)! _ (х+1)! _
     X⁺¹ (х+1-З)! (х-2)!
    = 1-2-3-(х-2)(х-1)л(х4.1) ₌ ₍х_ ₁Мх₊,)
           1-2-3...(х-2)

   Далее, С^⁴ = С^х⁺⁴ = С>

5

£,4 _ л! _\-2-3...(х-4\х-3\х-2\х-\)х х ~ 4!(х-4)!⁻    1-2-3-41-2-3...(х-4)
_ (х-ЗХх-2Хх-1)х
      ~24       '
Тогда уравнение принимает вид

(х-ЗХх-2Хх-1)х _ 24
(х- 1«х+1)- tezfcaizlb " Й ”

24(х- ЗХ%- 2\х- 1)х

(х-1)х(24(х+1)-(х-ЗХх-2)) 23

= — ,(при(х-1)х?ь 0)<=>

    (х-ЗХх-2)      1     2 х с п
--т——Р------гт---г   <=> X - 6х + 5 = 0, 24(х+1)-(х-ЗХх-2) 23

х₁₂ =31^9^5 = 3±2,

Xj = 1, х₂ = 5; X] = 1 не подходит.
   Ответ, а) х = 5; б) х = 5.

   5.003. а) 4 + Сх~- = 14х; б) 4 - 2С* = ЗЛ² • Решение.
   а) По формуле (5.5) получаем

Л³ =—-------х (х-3)!

1 • 2 • 3... (х- 3)(х- 2)(х- 1)х 1-2-3... (х-3)

= (х-2)(х-1)х.

Далее, Сх ² = Сх х⁺² = С² и по формуле (5.2) имеем

,₂ х! 1-2-3...(х-2)(х-1)х (х-1)х
х ⁼ 2!(х-2)! ⁼ 1-2-1-2-3...(х-2) "     2

Получаем уравнение

(х-2Хх-1)х+= 14х (прих^ 0)<=>

«(х-2Хх-1)+^ = 14«

     2
<=> 2х - 5х- 25 = 0 => X! = - — (не подходит), х₂ = 5.

б) По формуле (5.5) имеем

6

   , х!    1-2-3.. ,(х-3)(х-2)(х-1)х
    = (^»=—1-2-з.::и-й—⁼и-²Хх-¹⁾х«


А

х!
~(х-2)!⁻

1-2-3..,(х-2)(х-1)х
   1-2-3...(х-2)


= (х—1)х, а по формуле (5.2)

получим


   ^,4 _ х! _ 1-2-3...(х-4Хх-ЗХх-2Х*-1)х х ” 4!(х-4)! "   1-2-3-4-1-2-3...(х-4)
   _ (х-ЗХх-2Хх-1)х
   “       24       ‘
   Тогда уравнение принимает вид


   (х- 2Хх- 1)х- 2 ■ ³MXx.fr = З(х- 1)х
   <=> (х-2Х*-1)х-——ЗХх^Х*—^-3(х-1)х= 0 <=> (при(х-1)х^ 0) х-2-^~³Хх~²)-з ₌ ₀<^ х²-17х+66 = 0, х₁=6,Х2=11.
   Ответ: а) х = 5; б) х = 11; х =6.

           4
   5.004. а) 77Т = 336; б) Ахх~³ = хРх_₂.
           Сх-2
   Решение.
   По формуле (5.5) получим

    ₅ х! 1-2-3...(х-5)(х-4)(х-3)(х-2)(х-1)х
   Ах ⁼ (х-5)! ⁼         1-2-3...(х-5)        ⁼
   = (х-4)(х-3)(х-2)(х-1)х.


   Далее, Сх_₂ ⁼ ^-х-2 *⁺⁵ ⁼ 4-2 и по формуле (5.2) получим

   сз _ (х-2)! _ (х-2)! _ 1-2-3...(х-5Хх-4Хх-ЗХх-2) х~² " 3!(х-2-3)!~ 3!(х-5)! ~   1-2-3-1-2-3...(х-5)
   _ (х- 4Х*- ЗХ%- 2)
   ”       6        ‘
   Тогда уравнение принимает вид

7

   (х- 4)(х- 3)(х- 2)(х- 1)х (х-4)(х-3)(х-2)


= 336 => х² - х- 56 = О, Х[ = -7

6

   (не подходит), х₂ = 8.


                                 х-з       *1      х- -*■!
   б) По формуле (5.5) получим Ах = (х_х₊₃у ⁼ з? ⁼ а по формуле (5.1) будем иметь
Рх_₂ = 1-2-3...(х-2).
   Тогда уравнение принимает вид

     л! 1 о а (              1-2-3...(х-2Хх-1)х
   1-2-3            v ’            1-2-3
   = х-1-2-3...(х-2)<=>


   <=> (при х-1 ■ 2 • 3... (х- 2) * о) = 1,


откуда х = 7.

  Ответ, а) х = 8; б) х = 7.


   5.005. а) ах-4 . Л = 2Ю; б) А$ +2Pₓ_ₜ = у Рх.

   Решение.
   а) По формуле (5.1) получим

    Рх₊₂ = 1-2-3.. ,(х+2)иР,= 1-2-3,
а по формуле (5.5) будем иметь

    х_₄     (х-1)!    (х-1)! 1-2-3...(х-1)
    х~‘ “(x-l-x+4)!” 3! “         1-2-3


   Тогда уравнение принимает вид


       1-2-3...(х+2)           1-2-3...(х-1)х(х+1)(х+2)
    1 т 1 f             — 210 <=>            , ч —210
    1-2-3...(х-1)                    1-2-3...(х-1)
    -------------1-2-3
        1-2-3

   <=> х(х+1)(х+2) = 210 = 5-6-7.


   Проверкой убеждаемся, что число 5 удовлетворяет уравнению. Так как левая часть уравнения—монотонно возрастающая функция (у' = Зх² + + 6х + 2 > 0), то других корней нет и корень х = 5 — единственный.
  б)  По формуле (5.5) получим


8

      .    (х+1)!    (х+1)!  (х+1)!
   Л+i ⁼(ₓ₊₁_ₓ₊₁)!⁼ 2! ⁼ ~~2~’ а по Ф°РмУле (⁵Л) бУдем иметь Рх ₜ =1 • 2 ■ 3... (х- 1) и Рх = 1- 2 • 3... х.
   Тогда уравнение принимает вид

(х+1)!
2

+ 21-2-3...(х-1) = — - 1-2-3...х<=>

Т2-3...(х-1)х(х+1) ------------------+

   + 2 • 1 • 2 • 3... (х-1) = — • 1 • 2 • 3... (х— 1)х <=> (при 1 ■ 2 • 3... (х-1) Ф о)



   —-— + 2 -             - 53х+ 28 = О, X] = — (не подходит),х₂ = 7.
   Ответ', а) х = 5; б) х = 7.
    5.006. Показать, что при любом к сумма С„₊к + С„₊к₊х есть точный квадрат.
   Решение.
   По формуле (5.2) получим

     ₂ _ (п + А:)!  _123...(п + к-2)(п+к-1.\п + к) _
     п⁺к ~ 2!(и + А-2)! ”   1-21-2-3...(п + А-2)     "
   _ (п + к- + к)
   ~       2
и
     2     _ (и + А + 1)! _ (л + Аг+1)!
     л⁺*⁺¹ ~ 2!(п +Аг+1-2)! " 2!(и + А-1)! “
   _ l-2-3...(« + A-lX« + AXⁿ ⁺ ^ + l)_ (л + к\п + к + 1)
   ~       1-21-2-3...(п + к-1) ~         2       '


    Тогда

    г2 ц-г²      - (п + к-\\п + к)
    ''-'п+к "Г ’-'zi+Ar+l ~  2       ’’’

       (п + к\п + к +1) _ (п + &ХИ + А:-1 + и + А + 1)
    ⁺       2         “              2


      (п + к)(2п + 2к) 2(п + к)(п + к) .  ₂
   ~----------------=-----------= (п + к) — точный квадрат, что

и требовалось доказать.

9

   5.007. Доказать тождества:
   а) Рп = (и- 1)(Р_, + Р б) Ск ■ С.Ц = Скт • С"¹.
   а)  По формуле (5.1) получим
   Р = 1 • 2 • З...(л -2)(и -1)л,
   P'i, = 1 • 2 • 3... (и - 2)(и - 1) и Рп_₂ = 1 • 2 • 3 ...(л - 2).
   Тогда тождество принимает вид
   1 • 2 • 3 ...(л-2)(л- 1)л = (л-1)(1-2 • 3... (п-2)(п-1) + 1 • 2 ■ 3... (л-2))<=> <=>1-2-3 ...(л -2)(л - 1)л = (л - 1) -1- 2 • 3... (л-2)(л- 1 +1) <=> (л - 1)л = =(п - 1)л — верное равенство, что и требовалось доказать.
   б)  По формуле (5.2) получим

     к П' к т''
   Сп ⁼ kl(n-k)l ’ Ст ⁼ k\(m-k)l






    сп-т ₌                   ₌
    п~к  (п-т)\(п-к-п + т)\ (n-m)l(m-k)l'
   Тогда тождество принимает вид

      л! (п-к)\              т\ п!
    kl(n-k)! (п-т)!(т-к)1  к!(т—к)! т!(п-т)!


            п!              и!
   ~ ki(n '-m»(m-k)l ⁼ к\(п-т^т-к)\ ~ ВерНОе Раве™’ что и требовалось доказать.
  5.008. Сумма биномиальных коэффициентов разложения

Зл



       1
2лх+----г
     2лх

равна 64. Определить слагаемое, не содержащее х.
  Решение.
   Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2", где п — показатель бинома. Тогда по формуле (5.7) получаем
   Сз⁰„+С'„+С^+...₊С₃"„=2”.
  По условию 2³п = 64, 2³" - 2⁶, Зл = 6, п = 2.
  Исходное условие можно записать следующим образом:

10