Полный сборник решений задач по математике для поступающих в вузы. Группа В

полный СБОРНИК РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ пли поступающих В ВУЗЫ
группа В


Под редакцией
             М. И. СКАНАВИ



Москва
■ «Мир и Образование» Минск
«Харвест»

2003

УДК 51(076.1)
ББК 22.11
    П51







Все права защищены. Перепечатка отдельных глав и произведения в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.










        Полный сборник решений задач для поступающих в вузы.
П51 Группа В 7Под ред. М. И. Сканави — М.: ООО «Издательство «Мир и Образование»: Мн.: ООО «Харвест», 2003. — 608 с.: ил.
        ISBN 5-9466-035-7 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
        ISBN 985-13-1169-3 (ООО «Харвест»)
        Впервые в помощь абитуриентам публикуется полный сборник задач с решениями под редакцией М. И. Сканави по всем группам сложности.
        Книги помогут учащимся научиться решать экзаменационные задачи различного уровня сложности любого вуза.
        Условия и нумерация всех задач полностью соответствуют изданию «Сборник задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией М. И. Сканави, 6-е издание (М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование).


УДК 51(076.1)
ББК 22.11


ISBN 5-9466-035-7
(ООО «Издательство «Мир и Образование»)
ISBN 985-13-1169-3
(ООО «Харвест»)



                                  © Коллектив авторов, 2002
                                  © ООО «Харвест». Дизайн обложки, 2002

                Решения к главе 2
                ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ





            ПОНЯТИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ. ТОЖДЕСТВО И ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ


   Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).
   Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.
   Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.
   Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении дейсгвий.
   Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в э го выражение.


Действия над степенями

  Действия над степенями производятся по нижеследующим правилам:
а а = а ,

3

ат :ап =ат~п;-                    (2.2)

'   (23)

                       (ab)ⁿ =ап -Ьп;                  (2.4)


'а Г а^_

(2-5)



Одночлен

   Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями — умножением и возведением в натуральную степень.
   Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
   Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.


           Формулы сокращенного умножения


(а+*)² = а²+2а* + й²;        (2.6)
(a-bf = a~-2ab + b²;         (2.7)
              (a + b)³ ~а³+За²Ь + ЗаЬ²+Ь³‘,        (2.8)
              (a-bf = а³-За²Ь + ЗаЬ² -Ь³(2.9)
(a~b\a + b)=a²-b²;       (2.10)
               (a-b^a² +ab + b²)^a³ -b³;  (2.11)
               (a + b^ -ab+b²)=a³ +b³;    (2.12)
             (a-bjp³ +a²b + ab² +6³)=a⁴-**;        (2.13)
          (a-bjp⁴ + a³b + a²b² +ab³ + b⁴)=a⁵ -b⁵ ; (2.14)
          (a + b^p⁴ -a³b + a²b² -ab³ +b⁴}-a⁵ +b⁵;  (2.15)

4

(a-b^a⁵ + a⁴b + a³b² +a²bz + ab⁴ +a⁵ )=a⁶ -b⁶‘, (2.16)
       (a-b'fe⁶ + a⁵b+a⁴b² + a³b³ + a²b⁴ +ab⁵ + b⁶}=a⁷ -b²; (2.17) {a + b^a⁶-a⁵b + a⁴b² ~a³b³ +a²b⁴ ~ab⁵ + b⁶)=a⁷ + b⁷; (2.18) (a-b/aⁿ~¹ + ал~² b + aⁿ~³ b² + aⁿ~⁴b³ + ... + Ьл~¹)=ал -bⁿ , (2.19) где n — любое целое число;
      (а + б/а"⁴ - ал~² b + ал'³ b²-ап~⁴Ь³ + ... + Ьл~¹)=ал + ЬЛ , (2.20)

где n = 2/r+l ,к — натуральное число;
(а+6 + с)²-a² +b² +с² + 2ab + 2ac+2bc ; (2.21)

(a + b-c)² - a² +b² +с² +2ab-2ac-2bc;   (2.22)

(a + b + c + d)¹ =а² +b² +с² + d² +
+ 2ab+2ac+2ad+2bc+ 2bd + 2cd;       ⁽²'²³^

(a+b-c-d)² - a² +b² + с² +d² +
               + 2ab - 2ac~2ad - 2bc - 2bd+2cd;    <²‘²⁴⁾

a(x-x₁Xx-x₂) = ax²+6x+c,            (2.25)

где xₚ x₂ — корни квадратного трехчлена ax² л-bx + c .
   Формулы (2.16) — (2.24) остаются верными, если вместо одночленов а, Ь, с, d подставить любые выражения.
   Многочлен Р„(х) относительно переменной х вида
Рп(х) = дохл ч-ap-"⁴ 4-а₂х"⁻² 4-...4-ал_₁х4-а₀, где а₀ ,  , а₂, ... ап — действительные числа и а₀ * 0 , называется
Ашогочленом, расположенным по убывающим степеням х, или многочленом, представленным вканоническом виде.
   Числа «₀, a[f а₂,... ап называются его коэффициентами, одночлен аохп — его старшим членом, а₀ — свободным членом, число п степенью многочлена (п—натуральное число).
   Корнями многочлена Р„(х) будем называть такие значения переменной х, при которых многочлен Рл (х) превращается в нуль.
   Разделить многочлен Рп (х) на многочлен Qₘ (х) (ₘ < п ) значит найти два

5

таких многочлена S„_ₘ (х) и Rₖ (х), чтобы Pₙ (х)=Qₜ>ₗ (x)Sfₗ-m W+ Rk W и степень многочлена Rₖ (х) была меньше степени делителя Q„i(x),t.t. к <т. При этом многочлен Sₙ_„, (х) называют частным, а многочлен Rₖ (х) —остатком.
   Для любых двух многочленов Р„ (х) и Qₘ (х) ( т < п и Qₘ (х)* 0) всегда найдется, и притом единственная пара многочленов Sₙ_ₘ (х) и Rₖ удовлетворяющая тождеству
Л W = Qₘ (*К-т W+ Rk (x)    (k<m),
т.е. если делитель не нуль — многочлен, то действие деления многочленов всегда выполнимо.
   Теорема Безу. Если многочлен Р„(х) = аохп + агхп~} +а₂хп~² +... + ап разделить на двучлен х - а , то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при х ~ а, т.е. R = Рп (а).
   Схема сокращенного деления многочлена на двучлен. При делении многочлена Рп(х)~апхп +аггАхп~¹ + ап~₂хп~² +...+ а₀ ,расположенного по убывающим степеням х, на двучлен х - а применяется метод сокращенного деления, называемый схемой Горнера.
   Имеют место следующие формулы для нахождения коэффициентов частного Ьх, Ь₂,..., Ьп_} и остатка R:
                      /?!=«]+ аа₀, = а₂ +abt,

                       bₙ-i - an~i ⁺abₙ^7y R ~ aₙ + abₙ_\,
   Практически вычисление коэффициентов частного 0„_i(x) и остатка R проводится по следующей схеме (схеме Горнера).
   Пусть требуется разделить шюго'шен рп {х) = п„хЛ +а„_₁хп⁻¹ +ап_₂хп~г + +... + а₀ на двучлен х-а.
   Значением двучлена, коэффициенты многочлена (Ьп_х, Ьи_₂,..., Ьо ) и остаток запишем в следующей форме:

6

  ап       а п-1         ап-2           а1        ао    
Ьп-1 = Ьп-2 ~ ап-\ + Ьп-3 = ап-2 +  ьй ~a{+ab} R-aa+ abQ
                     + abn                              
                     П---Z                              

   Отсюда записываем частное
2ₙ-iW=Vi*"⁴ + ^-2*”’² +-.. + £>ₜx + 5₀,
если Я = 0, и результат деления

Р„(х):(х-а>2я^ (х)+-или Рл(х)^(х-а)ея_₁(х)+Я, х-а
если Я^О.



Понятие корня. Основные свойства корня

   Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения корня, называются иррациональными.
   Корнем л-й степени из числа а называется такое число Ь, п-я. степень которого равна а (п > 2). Обозначается tfa , где а — подкоренное выражение (или число), п — показатель корня (п > 2; п е N).
   По определению tfa =b, если Ьп = а , или (Va/* = а .


Основные свойства корня

   Если корни рассматривать в множестве действительных чисел, то: а) корень четной степени из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку;
   б)    корень четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел не существует;
   в)    корень нечетной степени из положительного числа имеет только одно действительное значение, которое положительно;
   г)    корень нечетной степени из отрицательного числа имеет только одно действительное значение, которое отрицательно;
   д)   корень любой натуральной степени из нуля равен нулю.
   Действие, посредством которого отыскивается корень л-й степени из

7

данного числа а, называется извлечением корня л-й степени из числа а, а результат извлечения корня в виде tfa называют радикалом.
   Таким образом, множество действительных чисел не замкнуто относительно извлечения корня четной степени, а результат этого действия (корень) не однозначен.
   Заметим, что множество действительных чисел замкнуто относительно извлечения корня нечетной степени, а результат этого действия од нозначен.



Арифметический корень и его свойства

   Арифметическим значением корня или арифметическим корнем степени п (п > 2; л е ЛГ ) из положительного числа а называется положительное значение корня. Корень из нуля, равный нулю, также будет называться арифметическим корнем, т.е. tfa =Ь есть арифметический корень, где а > О,Ь>0 нЬ* = а.
  ' Множество неотрицательных действительных чисел замкнуто относительно извлечения арифметического корня, а результат этого действия однозначен. Это значит, что для любого неотрицательного числа а и натурального числа п (п > 1) всегда найдется, и при том только одно, такое неотрицательное число/», что Ьп = а .



Правила действий над корнями


   Для любых действительных чисел а, b и с и натуральных п и к имеют место следующие правила действий над корнями:

²п⁺^       -²л⁺^ = ²ⁿ⁺$abc ,               (2-26)


(2.27)

(^0),

(2.28)

(2.29)

8

a

(2.30)

[²пУа

                                         (2-31)
                                         (2.32)
(2m+lX2n+i^ _2m+^2n+^ j                  (2.33)
2y[a2tfb - 2y[abc (a > 0, b > 0, c > 0), (2-34)
2ylabc =      - 2^fe[ •       (abc > 0), (2.35)
               (a>0,b>0).                (2.36)
            =     (у2О,Ь*о'              (2.37)
<b 2^6] (b        )'                           
2fifa=2f1^ (a>0),                        (2.38)
2<T = 2V^a (ойО).                        (2.39)
(2^ = 2</Z (a>0)>                        (2.40)

         ²yla²k ~ (a —любое действительное число). (2.41)
   Во множестве действительных чисел рассматриваются корни нечетной степени из любых действительных чисел и корни четной степени из неотрицательных чисел, причем берутся арифметические значения корней.
   Замена дробного выражения, у которого числитель или знаменатель (или оба) иррациональны, тождественно равным ему выражением с рациональным числителем (знаменателем) называется исключением иррациональности из числителя (знаменателя) дробного выражения.
   При исключении иррациональности из числителя (знаменателя) дробного выражения числитель и знаменатель этого выражения умножают на множитель, сопряженный с числителем (знаменателем).
   Сопряженным множителем относительно иррационального выражения?! называют всякое не равное тождественно нулю выражение В, которое в произведении с А не содержит знака корня, т.е. АВ рационально.

9

   Рассмотрим основные случаи исключения иррациональности из знаменателей дробных выражений (аналогично выполняется исключение иррациональности из числителей):
А
   1. Дроби вида , где п>к,а>$, А — некоторое выражение; в

качестве множителя, сопряженного со знаменателем, можно взять 4апк , так как ■ 4ап~к - а .
   Умножив числитель и знаменатель этой дроби на 4ак , получим

  2. Дроби вида -7=—.
              у/а + у/Ь
  Выражения 4а + 4ь и 4а~4ь взаимно сопряженные, так как (4а + 4b\4a - 4b)- а - b , поэтому
A A(ja-jb) A{fa-4b) 7^Ь ⁼ {Га^ь\42-4ь)⁼ а-ь приЯгО,6гО,в#&;
а _ а4о _ а4ь
7f “ "7; ~ “’"ГГ”. если а > 0, а - b;
            ^Ja+yjb       2о
     А       А (Ул + 4~Ь) А (4а + 4b)
+ о-b W'^O.bZO.otb.

  3. дроби вида      и -==——■==.
  Выражения 4a + 4b и 4a^~4ab+4b^, а также 4a~4b и V?+4ab +     взаимно сопряжены, так как их произведения (а + b) и
(а - b) рациональны. Поэтому исключить иррациональность из знаменателей указанных дробей можно следующим образом;

10