Полный сборник решений задач по математике для поступающих в вузы. Группа Б

                полный




СБОРНИК РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих в вузы

ГРУППА Б

Под редакцией М. И. Сканави






Москва Мир и Образование Астрель

  УДК 51(076.1)
  ББК 22.11
        П51




Все права защищены.
Перепечатка отдельных глав и произведения в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.





           Полный сборник решений задач по математике для П51 поступающих в вузы. Группа Б / Под ред. М. И. Сканави. — М.: ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство Астрель», 2012. — 1232 с.: ил.
           ISBN 978-5-94666-640-4 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
           ISBN 978-5-271-37257-5 (ООО «Издательство Астрель»)
           В помощь абитуриентам публикуется полный сборник задач по математике с решениями под редакцией М. И. Сканави по всем группам сложности.
           Условия и нумерация всех задач полностью соответствуют изданию «Сборник задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией М. И. Сканави, 6-е издание (М.: Оникс, Мир и Образование).
           Пособия помогут при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз. Книги адресованы школьникам старших классов, абитуриентам, репетиторам и преподавателям.
УДК 51(076.1)
ББК 22.11





  ISBN 978-5-94666-640-4
  (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
  ISBN 978-5-271-37257-5
  (ООО «Издательство Астрель»)
  ISBN 978-985-18-0105-9 (ООО «Харвест»)


                    © Суходский А. М., Маслова Т Н., 2011
                    © Ничкова Н. Б., Фохт О. Б., наследники, 2011
                    © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2011
                    © Оформление переплета. ООО «Харвест», 2011

            Решения к главе 2


            ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ



ПОНЯТИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ. ТОЖДЕСТВО И ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

   Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).
   Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий, входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.
   Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.
   Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.
   Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.


Действия над степенями

   Действия над степенями производятся по нижеследующим правилам: атап = ат⁺п;                                      (2.1)

ni . л   .
а : а =а ;
(aⁿY= атп(ab)ⁿ=aⁿbⁿ;

£Т=< ?J ьп'


(2.2)

(2-3)

(2.4)

(2.5)


Одночлен

   Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями — умножением и возведением в натуральную степень.
   Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
   Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.


Формулы сокращенного умножения


                     (a+Z>)² =а² +2ab + b²              (2.6)
                     (a-b)² ~а² -2ab + b²;              (2-7)
(a+b)³ = а³ + 3a²b+3ab² +Ь³ ;         (2.8)
(a-b)³ =а³ -3a²b + 3ab² -Ь³ ;         (2.9)
(a-b\a + b)=a² -Ь²;               (2.10)
(a-b^p² + ab + b²)=a³-Ь³;             (2.11)
                  (a + b^p² -ab + b² )=а³ + Ь³;         (2.12)
(a — b/a³ + a²b + ab² + Ь³ )= а⁴ - Л⁴;  (2.13)
            (a-b^a⁴ +a³b + a²b² +ab³ +Ь⁴)=а⁵-Ь⁵ ;       (2.14)
            (a + bfa⁴ -a³b + a²b² -ab³ +b⁴)=a⁵ +b⁵ ;    (2.15)

4

(2.21)

(2.22)

(2.23)


(2.24)

(2.25)


         (a-b^p⁵ + a⁴b + a³b² + a²b³ + a&⁴ +a⁵)=a⁶ -b⁶; (2.16)
      (a-b)(a⁶ + a⁵b + a⁴b² +a³b³ +a²b⁴ +ab⁵ + b⁶)=a⁷ -b⁷; (2.17) (a+bjfi* -a⁵b+a⁴b²-a³b³ +a²b⁴-ab⁵ +b⁶)=a⁷ +b⁷ ; (2.18) (a-bfy^ +aⁿ’²b + aⁿ~³b² +aⁿ~⁴b³ +... + bⁿA)=aⁿ-bⁿ , (2.19) где n — любое целое число;
      (а + Ь^"-' -а^Ь + а’-Ч² -a^b³ +... + bⁿ-l)=a” +bⁿ , (2.20) где n = 2k+1, к — натуральное число;
(а+6+с)² = a² +b² +c² +2ab+2ac+2bc ;
(a+b-cf =a² +b² +c² +2ab-2ac-2bc
(a+b + c + ctf =a² +b² +c² + d² + +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd;
(a+b-c-d)² =a² +b² +c² +d² + +2ab - 2ac -2ad- 2bc - 2bd+2cd;
a(x-x₁X-x-x₂)= ax²+Z>x + c, где xₚ x₂ — корни квадратного трехчлена ax² +bx + c .

   Формулы (2.16) — (2.24) остаются верными, если вместо одночленов а, Ь, с, d подставить любые выражения.
   Многочлен Рп (х) относительно переменной х вида
Рл(х)= аохп +а₁хп~¹ + а₂хп~² + ... + ап_}х + а₀,
где а₀ , aₜ, а₂, ... ап — действительные числа и aQ *0, называется многочленом, расположенным по убывающим степеням х, или многочленом, представленным в каноническом виде.
   Числа a₀, aₜ, а₂,... ап называются его коэффициентами, одночлен аохп — его старшим членом, а₀ — свободным членом, число п— степенью многочлена (п — натуральное число).
   Корнями многочлена Рп (х) будем называть такие значения переменной х, при которых многочлен Рп (х) превращается в нуль.
   Разделить многочлен Рп (х) на многочлен Qₘ (х) (т £ л) значит найти

два таких многочлена Sₙ_ₘ (х) и Rₖ (х), чтобы Р„ (х) = Q,„ (x)Sₙ_ₘ (х)+ Rₖ (х) и степень многочлена Rₖ (х) была меньше степени делителя Qₘ (х), т.е. к <т . При этом многочлен Sₙ_ₘ (х) называют частным, а многочлен Rₖ (х) — остатком.
   Для любых двух многочленов Рп (х) и Qₘ (х) (т < п и Qₘ (х)* 0) всегда найдется, и притом единственная пара многочленов Sₙ_ₘ (х) и Rₖ(x), удовлетворяющая тождеству

    Л W = Qm (*)$п-т W+ Rk W           ,

т.е. если делитель не нуль — многочлен, то действие деления многочленов всегда выполнимо.
   Теорема Безу. Если многочлен Рп(х)=аохп + а₁х"'л +а₂хп~² +... + а„ разделить на двучлен х - а, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при х = а, т.е. R = Рп (а).
   Схема сокращенного деления многочлена на двучлен. При делении многочлена Рп(х) = апхп +ап_{хп~¹ + ап_₂хп~² +... + а₀, расположенного по убывающим степеням х, на двучлен х - а применяется метод сокращенного деления, называемый схемой Горнера.
   Имеют место следующие формулы для нахождения коэффициентов частного Ьх, Ь₂,..., Ьп_х и остатка R:

                       b\ ⁼ 4* aaQ, b₂ ⁼ а₂ + ab\,

                       Ьп-\ = ап-\ ⁺аЬп-2> R = aₙ +abₙ_\.

   Практически вычисление коэффициентов частного Qₙ_ₜ (х) и остатка R проводится по следующей схеме (схеме Горнера).
   Пусть требуется разделить многочлен Р„(х)= апхп + а„_₁х”"¹ +а„_₂х”⁻² +
+ ...+аона двучлен х-а.
   Значением двучлена, коэффициенты многочлена (Ьп_х, Ьп_₂ ,...,Ь₀) и остаток запишем в следующей форме:

6

                            ап-2            «1           °0     
^л-1 = ап Ьп-2 = ап-\ + Ьп-3 = ап-2 +  Z>0 = а1 +^6] R = а0 +ab0
             + аЬп-1       + «*Я-2                              

   Отсюда записываем частное
Qₙ-\            +bₙ_₂xⁿ~² +... + bₗX+b₀ ,
если R = 0, и результат деления
Pₙ(x):(x-a) = Qₙ_ₗ(x)+-^— или P„(x)s(x-a)g„_₁(x)+/?, х—а
если R * 0.



Понятие корня. Основные свойства корня

   Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения корня, называются иррациональными.
   Корнем и-й степени из числа а называется такое число Ь, п-я степень которого равна а (п > 2 ). Обозначается у[а , где а — подкоренное выражение (или число), п — показатель корня (п > 2; пе N).
   По определению tfa =b, если Ьп = а , или \л[а Г =.а.


Основные свойства корня

   Если корни рассматривать в множестве действительных чисел, то: а) корень четной степени из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку;
   б)    корень четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел не существует;
   в)    корень нечетной степени из положительного числа имеет только одно действительное значение, которое положительно;
   г)   корень нечетной степени из отрицательного числа имеет только одно действительное значение, которое отрицательно;
   д)   корень любой натуральной степени из нуля равен нулю.
   Действие, посредством которого отыскивается корень п-й степени

7

из данного числа а, называется извлечением корня п-й степени из числа а, а результат извлечения корня в виде у[а называют радикалом.
   Таким образом, множество действительных чисел не замкнуто относительно извлечения корня четной степени, а результат этого действия (корень) не однозначен.
   Заметим, что множество действительных чисел замкнуто относительно извлечения корня нечетной степени, а результат этого действия однозначен.



Арифметический корень и его свойства

   Арифметическим значением корня или арифметическим корнем степени п (п>2;пе N) из положительного числа а называется положительное значение корня. Корень из нуля, равный нулю, также будет называться арифметическим корнем, т.е. Va = b есть арифметический корень, где а > О,Ь>0 и Ьп = а .
   Множество неотрицательных действительных чисел замкнуто относительно извлечения арифметического корня, а результат этого действия однозначен. Это значит, что для любого неотрицательного числа а и натурального числа п (п > 1) всегда найдется, и при том только одно, такое неотрицательное число Ь, что Ьп = а .


Правила действий над корнями


   Для любых действительных чисел а, b и с и натуральных пик имеют место следующие правила действий над корнями:
²п⁺у[а • ²ⁿ⁺y[b • ²п⁺у[с = ²ⁿ⁺y/abc ,   (2.26)

²п⁺^Ь~с=²п⁺Га-²п^Ь-²п⁺^с,

2п+^а 7 Ja  (2.28)
1п^ N b           
Г~ 2п+\Г          
V b 2п+^[ь  (2.29)

8

(2т+1Х2л+1^Г’ _ 2w+^2«-^ ' ²^ ²4b-²^ = ²^ (a>0,b>0,c>0), ²yjabc =         . 2^^ (abc > o),

4I⁼²JI («S0>*>0),

->0,6*0 b

(2.30)

(2-31)

(2.32)

(2.33)

(2-34)

(2.35)


(2.36)


(2.37)


(2.38)

(2.39)

(2.40)


²^ = ²ⁿ^ (a>0),

²ⁿ^ = ²^ (a>0)>

(²Л)* =²^ (a>0),

²yla²k =   Уk (a — любое действительное число). (2.41)
   Во множестве действительных чисел рассматриваются корни нечетной степени из любых действительных чисел и корни четной степени из неотрицательных чисел, причем берутся арифметические значения корней.
   Замена дробного выражения, у которого числитель или знаменатель (или оба) иррациональны, тождественно равным ему выражением с рациональным числителем (знаменателем) называется исключением иррациональности из числителя (знаменателя) дробного выражения.
   При исключении иррациональности из числителя (знаменателя) дробного выражения числитель и знаменатель этого выражения умножают на множитель, сопряженный с числителем (знаменателем).
   Сопряженным множителем относительно иррационального выражения А называют всякое не равное тождественно нулю выражение В, которое в произведении с А не содержит знака корня, т.е. АВ рационально.

9

   Рассмотрим основные случаи исключения иррациональности из знаменателей дробных выражений (аналогично выполняется исключение иррациональности из числителей):
                  А
   1.    Дроби вида ^~к , где п> к, а>0 , А — некоторое выражение; в качестве множителя, сопряженного со знаменателем, можно взять и/п—к          л/к nlп—к
\а , так как \а -у/а      =а.

   Умножив числитель и знаменатель этой дроби на ylaⁿ~k , получим

  2.  Дроби вида —j=—т= у/a ±у/Ь


  Выражения у/а+у/Ь и yla-ylb взаимно сопряженные, так как

               -а-b, поэтому

     А       А^уГа-у/ь) A^/a-ylb)
                             «-ь при

              А _ Aja _ Ajb
~г=—7= ~     _    , если а > 0, а = b ;
           y/a+yjb 2а 2Ь

    A A(ja+jb) A(ja+jb) “~b приогО.^О.а^.

А            А
  3.  Дроби вида —z=—■= и ■______т= .



             Ч   Ч Г~ 3/2 3 /    3/2         3 / 3 / £_
  Выражения yja+yjb и у]а —ylab+yjb , а также y/a-yjb и

и (а - b) рациональны. Поэтому исключить иррациональность из знаменателей указанных дробей можно следующим образом:


10