Математика в задачах для поступающих в вузы

Под редакцией М.И. Сканави




                МАТЕМАТИКА




            В ЗАДАЧАХ


ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ






Москва ОНИКС Мир и Образование

УДК 51(076.2)
ББК 22.3я72
    М34




Авторы:
В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский, Т. Н. Маслова, И. Ф. Орловская, Р. И. Позойский, Г. С. Ряховская, М. И. Сканави, А. М. Суходский, Н. М. Федорова




       Математика в задачах для поступающих в вузы / М34В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.;
     Под ред. М. И. Сканави. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2011. — 912 с.: ил.
       ISBN 978-5-488-02046-7 (ООО «Издательство Оникс»)
       ISBN 978-5-94666-521-6 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
       Книга содержит 2500 задач по всем разделам курса математики, изучаемого в школах, лицеях и гимназиях. Эти задачи выбраны авторами из широко известного «Сборника задач» под редакцией М. И. Сканави. Они разбиты по уровню сложности на три группы. Из них 1500 задач сопровождаются подробными решениями или указаниями, остальные предназначены для самостоятельного решения.
       Пособие поможет при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз. Книга адресована школьникам старших классов, абитуриентам и преподавателям.
УДК 51(076.2)
ББК 22.3я72




ISBN 978-5-488-02046-7 (ООО «Издательство Оникс»)
ISBN 978-5-94666-521-6 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
                © Суходский А. М., Маслова Т. Н., 2009
                © Ничкова Н. Б., Фохт О. Б., наследники, 2009
                © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ



    В настоящее пособие авторы включили около половины общего количества задач из 9-го издания своего двухтомного «Сборника задач по математике для поступающих в вузы (с решениями)» под редакцией М. И. Сканави (М.: 2001, Издательский Дом «Оникс 21 век», «Мир и Образование»),
    Приведенные в книге 2500 задач (1800 по алгебре и 700 по геометрии), как и в упомянутом «Сборнике», разбиты натри группы А, Б, В по возрастающему уровню их сложности.
    Авторы считают, что умение решать задачи из группы А определяет минимально необходимый уровень подготовки учащихся; успешное решение задач из группы Б характеризует более высокое качество усвоения школьной программы; наконец, умение решать задачи из группы В свидетельствует о способности учащихся к самостоятельному логическому мышлению и о наличии у них весьма высокой математической культуры.
    В начале каждой главы приводятся краткие теоретические сведения справочного характера, затем — условия задач, а в конце главы — решения или указания к задачам данной главы. При этом в каждой главе (а также в каждой группе сложности) решениями или указаниями сопровождаются 60% общего числа задач. Таким образом, пособие содержит 1500 задач с решениями или указаниями и 1000 задач для самостоятельной работы.
    Несмотря на то, что большинство решений взято из упомянутого двухтомного «Сборника», во многих случаях была произведена их дополнительная корректировка, а решения ряда задач были полностью заменены. Кроме того, решения некоторых задач (в основном относящихся к группам Б и В), были написаны авторами специально для данного пособия.
    В книге приняты следующие обозначения: задачи, к которым даны решения или указания, отмечены знаком •, стоящим перед номерами этих задач в условии; вместо слова «Указание» употребляется знак ▲.
    В интересах учащихся, которые хотят решать задачи самостоятельно и не заглядывать в их решения, пособие завершается ответами ко всем

3

включенным в него задачам (в том числе — и к тем, которые уже были решены в соответствующей главе). Те же учащиеся, которые не могут самостоятельно справиться с какой-либо задачей, получат необходимую помощь, сопоставляя свое решение с решением, приведенным авторами книги. Поэтому авторы стремились обосновывать такие решения довольно подробными пояснениями и выкладками, а в некоторых случаях решать одну и ту же задачу различными способами, что, по их мнению, должно способствовать расширению математического кругозора учащихся.
    Авторы надеются, что данная книга окажет вам помощь при подготовке к выпускным экзаменам в школе и вступительным экзаменам в вузы. Желаем вам успеха!

Авторы

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АЛГЕБРА


ГЛАВА 1


ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ






ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ


Свойства степеней


    Для любых хи у и любых положительных а и b верны следующие равенства:

а 0= 1;         (1.1)
ах ■ау =ах+у;   (1.2)
ах : ау = ах~у; (1.3)
(ах ) у = аху;  (1.4)
( аЬ)х =ахЬх;   (1.5)
* \*    *            
[ а ) а         (1.6)
1_ 1 = ---;          
v ь )   ьх           
- х    1             
а х =---.       (1.7)
ах                   

Формулы преобразования многочленов


     Для любых а ,Ьис верны следующие равенства:

а2 - b2 = (а - b) (а + b);               (1.8)
(а + b )2 = а2 + 2 аb + b2;              (1.9)
(а - b)2 = а2 - 2Л + b2;                (1.10)
(а + b )3 = а3 + 3 а2 b + 3 аb2 + b3          
или (а + b)3 = а3 + b3 + 3аb (а + b);   (1.11)
( а-b )3 = а 3-3 а 2 b + 3 аb 2-b 3           
или (а - b)3 = а3 - b3 - 3аb (а - b);   (1.12)
а3 + b3 = (а + b) (а2 - аb + b2);       (1.13)
а3 - b3 = (а - b) (а2 + аb + b2);       (1.14)
ах2 + Ьх + с = а (х - х 1) ( х --- х2), (1.15)

где хj и х2 — корни квадратного трехчлена ах² + Ьх + с .

5

Часть первая. АЛГЕБРА

Свойства арифметических корней


  Для любых натуральных п и к, больших 1, и любых неотрицательных а и Ъ верны следующие равенства:

ПаЪ --- Па ■ ПЪ;           (1.16)
        а ”0^, п.          (1.17)
       h ”4Ъ(Ъ *0);              
(па) к --- пЮк;            (1.18)
п^а---а;                   (1.19)
пЦ --- ”кОк;               (1.20)
(п/а )п --- а (а > 0);     (1.21)
п/а < п/Ъ, если 0 < а < Ъ; (1.22)
Г^ । । " а при а > 0,            
а а --- а --- (            (1.23)
     [- а при а < 0;             
2 п ПЛ  । 1.                     
аа --- |а |;               (1.24)
2 п+11---- 2 п+11-               
--а --- -   уа (а > 0).    (1.25)

Группа А

     Упростить выражения и вычислить их, если Оаны числовые значения параметров (1.001—1.036):

• 1.001.

1       1
------а Ъ + с
1       1
----1-------а Ъ + с

f /2,2      2'
Ъ + с — а
I 1 +-------У 2 Ъс

а —Ъ — с
-------; а — 0,02, Ъ = -11,05, с = 1,07.
  аЪс

      • 1.002. f_______1____+      ²*     +______1____f (* — ³)² +¹²*.
                 у * + 3 * + 2 * + 4 * + 3 * + 5 * + 6 J       ²




• 1.003.

(а — Ъ )² + аЪ а ⁵ + Ъ⁵ + а ² Ъ³ + а ³ Ъ²
(а + Ъ )² — аЪ (а ³ + Ъ ³ + а ² Ъ + аЪ ²)( а ³ — Ъ ³)



6

Глава 1. Тождественные преобразования алгебраических выражений

•

1.004.

3 а ² + 2 ах - х ²



•

1.005.

(3 х + а)(а + х)

х

-2



У - х

1

1

— + —

2 +10'

(х ⁺ У )

х

2

2

ах - 3 х ²

а





2



9 х² ^

4 ху

ху

X

2

2

4 х

.2 2

х у



У

4 •

•

1.006.

а

b



2 с 2
— I (а + Ь + 2 с)
аЬ 2           .

•

1.007.

•

1.008.

1

1

2

~Х⁺-у⁺
4 с ²

:

а = 7,4, Ь = —■ 37

а

а

-1



Ь-¹

а

-3

+ Ь

-3 ■

1

аЬ



2,2 а Ь

2т2 а Ь

а ²



ь ²

-1

(а + Ь )²



3 аЬ

аЬ

; а

1

1

1

Ь (аЬс + а + с)



1

а ⁺h 1
Ь + —

1 ■

а +—

Ь

с

•

1.009.

1 + (а + х)'

-1

1 - (а + х)

-1

■Н



1 - (а ² + х²) 2

2 ах

!

1

х =----■

а -1

•

1.010.

п - т

•

1.011.

•

1.012.

•

1.013.

4 , 2 2 х + 2 х



3 х +1



4аЬ+4Ь²

+ 4 аЬ + 4 Ь ⁷
т - п

+ 2



а



6)

27 х ³

8 аЬ

2



4 Ь ²



+

1

2

■

2 Ь

а - 2 Ь

5

0 < а < 2 Ь ■

х² + 4х - 5 + (х - 5) у[У



1

2 х



4 х - 5 + (х + 5) у[Х



1

1

х > 1.

7

Часть первая. АЛГЕБРА

• 1.015.

• 1.014.



         о,4/3 а
9 Ь-------—
Ь=
а а ³/² ь* ² + 6 а ³/⁴ ь-¹/³ + 9 Ь ⁴/³

Ь ³ а³/⁴ - 3Ь⁵/³

; Ь = 4.

                              I---------² ₂-----------------------4 ₂---4
               (г² + 4) 1 + — - ³ (г² - 4) 1 - —
« г V « г ----------------- --------------------⁻г² — \г⁴ —16

.2/т

• 1.017.

- 9 х ²/п)

3

(х¹/т + 3х¹/п)² -12х⁽т⁺п⁾/⁽тп⁾ .

• 1.018.

х - а





х + а 
\

х > а > 0.

• 1.019.

  31(2- -"53 ₊ 31⁵⁵ ⁺ ²1⁴⁺⁴⁵³ . Г ¹ ₊ ¹
  yl2- ⁻⁵ \ 4-41+1²     'l42-4t⁺ 4++42
  V                     

  (4a + 4b )² - 4b a + 9b + 64ab
• 1.020.           :
⁽a ⁻b⁾: lЛ⁺³Л-  4^⁺4a


• 1.021.

(Z²/P + z²/«)² - 4Z²/P⁺²/« (z¹/p - z¹/4)² + 4z¹/P⁺¹/q

• 1.022.

; а = 0,04.

1.023.

, , ,2
1 + х + х
2 х + х ²

1- х + х² Г¹     .      ,--
+ 2- ¹ х ⁺ х l (5-2х²); х = 73,92.

                 2 х - х ² 
8

Глава 1. Тождественные преобразования алгебраических выражений

1.024.

х ² + 2 х



11 х - 2

3 х +1

: I х +1



2 х² + х + 2

3 х +1

; х = 7,(3).

1.025.

⁽² р — д⁾² ⁺ ² д²



3рд. 4р'



1.026.

1.027.

1.028.

1.029.

0—1,2
² р ⁺ д

³ рд.

² ⁺ рд²

;

    . „      7
р = ⁰7⁸, д = —.

3 а



а — 2 Ь — Ь ² а

—1

а ³ + а ² + аЬ + а ² Ь

ь

(а + \а + Ь)

а ²)

х ( х ²

2 а



ь²

+----
а — Ь

I; а = 23, Ь = 22.



-1/2

+1

а (х — а)

,—1/2

+ (х — а)¹/² ’

х — ( х ²



2x1/2 а ⁾

+

1

41

¹ 3 а



1

+



4j

ч1/2

а

7

4J

а³ +1





а ⁽а



7

а¹⁷п )² ■ 4а⁽т⁺п⁾/⁽-тп⁾

1.030.

1.031.

1

1.032.

1

1.033.

а

2 2/т ⁽ а

1 1/т
⁽ а

т .т
⁾⁽ча‘

2/и а

2

а

2

а

7

2

1

1

—I

л/2( х — а)

2 х — а

1) л/ а +1 — (а + 1)л/ а — 1









2 х



' 3 х—1 а ⁾ .



.



ах



1/2

; а = 0,32, х = 0,08.

7

9

Часть первая. АЛГЕБРА

1.034.

(р + 2) (-?= -11-(4х - 2) ( -?= +11—?= к 7+         )        I. 7+ ) Р

      (2 - *+ + 2) :

1.035.

4 а ⁶ b ³



Гь  4~ 2
3 -т-—+ + — а а⁶ b³ ab

.____________^
³ b ⁴ ⁻ ⁴а ⁹
)

3/ b ² - 2 а ³ b ²

             ₊³/Р -₊ ³/9                 ₊ Р
+      +                     +
(+¹/Р + +¹/⁹)² - 2+¹/⁹ (+¹/⁹ + +¹/Р) ⁺ +⁽⁹⁻Р⁾/Р⁹ +1 ’

     Не прибегая к приближенным вычислениям, упростить числовые выражения (1.037-1.041):

•

1.037. (4^1 + 2л/з - ^13 + 4л/з )^
2-Л -1
11



•

1.038.

2     3     15
=— + —=--+--
•

        1.039. 5 J48



1.041.

1.040.

7^54 +15 3/128

15 ^4 ³/192 + 21 ^18 3/81

3/12^24 + 6^375

Проверить справедливость равенств (1.042-1.046):

• 1.042.

72 -1 _ ₃ 10 - 7р.
2+ +1 V10 + 7р'

• 1.043. 4:j0,6^-LI_ 104/15 :(0,25 4/216 3/99).

10