Сборник задач по математике с решениями. 8-11 классы

сборник задач ^v




                ПО МАТЕМАТИКЕ





с решениями
8-11 классы

под редакцией М.И. СК^АВИ

Москва
Мир и Образование

УДК 51(076.2)
ББК 22.1я72
     С23



Все права защищены. Перепечатка отдельных глав и произведения в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.


Авторы
В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский, Т. Н. Маслова, И. Ф. Орловская, Р. И. Позойский, Г. С. Ряховская, М. И. Сканави, А. М. Суходский, Н. М. Фёдорова


Научное редактирование книги и подготовка ее к изданию выполнены А. М. Суходским




        Сборник задач по математике с решениями. 8—11 кл. / С23 В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; Под ред.
      М. И. Сканави. — Москва : Мир и Образование, 2021. — 624 с.: ил.
        ISBN 978-5-94666-630-5 (Мир и Образование)
        В книге представлены задачи по всем разделам школьного курса математики, выбранные авторами из широко известного «Сборника задач» под редакцией М. И. Сканави.
        Задачи разбиты на две группы по уровню сложности и сопровождаются подробными решениями и указаниями.
        Пособие будет полезно учащимся при самостоятельной подготовке к зачетам, контрольным и проверочным работам, а также к выпускным экзаменам в средней школе, сдаче ОГЭ, ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз.
УДК 51(076.2)
ББК 22.1я72



ISBN 978-5-94666-630-5 (Мир и Образование)
            © Голубева М. А., Егерева В. С., Зайцев В. В., Луковцева А. К., Лунаци Э. Д., Маслова Т. Н., Сканави А. М., Суходская В. А., Фохт О. Б., 2021
            © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2021

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Настоящее издание содержит более 1000 задач из широко известного двухтомника «Сборник задач по математике для поступающих в вузы (с решениями)» под редакцией М. И. Сканави. В него включены задачи, наиболее типовые как по содержанию, так и по методам решения. Все задачи разбиты на две группы по уровню сложности: А и Б. При этом упомянутый «Сборник» остается незаменимым пособием как для самостоятельного решения задач, так и для совершенствования учащимися своего умения решать задачи повышенной сложности (из группы В).
   Авторы считают, что умение решать задачи из группы А определяет минимально необходимый уровень подготовки учащихся, а успешное решение задач из группы Б характеризует более высокое качество усвоения школьной программы.
   Книга разбита на две части: первая часть «Алгебра» содержит 12 глав, а вторая часть «Геометрия» — 5 глав. В первую часть включены задачи по теме: «Комплексные числа» (гл. 10). Эта тема не входит в ныне действующую программу по математике, но является весьма полезной для учащихся школ, лицеев и гимназий, изучающих математику по расширенной программе и готовящихся к вступительным экзаменам в вузы.
   В соответствии со школьной программой по математике всюду (за исключением гл. 10 первой части) рас

Предисловие

сматриваются только области действительных чисел: действительные корни функций, уравнений и систем уравнений.
   В начале каждой главы приводятся краткие теоретические сведения справочного характера (исключение составляют гл. 11 первой части и гл. 4 второй части, содержащие дополнительные задачи по алгебре и геометрии), затем — условия задач, а в конце главы — решения или указания к задачам данной главы.
   При составлении данного сборника авторы стремились обосновывать все решения довольно подробными объяснениями и выкладками, а в некоторых случаях решать одну и ту же задачу различными способами, что должно способствовать расширению математического кругозора учащихся.
   Авторы надеются, что данная книга окажет помощь в решении задач всем, кто будет ею пользоваться при подготовке к выпускным экзаменам в школе и вступительным экзаменам в вузы. Ее девиз: хочешь научиться решать задачи — решай их, сопоставляя решения, полученные собственными усилиями, с теми, которые были предложены авторами.
   Желаем вам успеха!


Авторы

Часть первая. АЛГЕБРА


ГЛАВА 1 ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Свойства степеней


  Для любых х и у и любых положительных а и b верны следующие равенства:

    л°=1;      (1.1)
ахау = ах*У-,  (1.2)
ах: ау = ах~у; (1.3)
(а*)>’ = аЧ’;  (1.4)
(ab)x = axbx;  (1.5)
      ><            
      II       (1.6)
     |Сь            
         И 1 и      
ах             (1.7)

Формулы сокращенного умножения

   Для любых а, b и с верны следующие равенства:

а 2 --- Ь2 = (а- Ь)(а + Ь)\    (1.8)
(а + Ь)2 = а2 4- 2аЬ + Ь2;     (19) 
(а --- Ь)2 = а2 --- 2аЬ + Ь2',  (ЕЮ)

(1.И)

(а 4- Ь)³ = а³ 4- За²Ь + ЗаЬ² + Ь³ или (а 4- Ь)³ = а³ 4- ЗаЬ(а + Ь) + Ь\

Часть I. АЛГЕБРА

(а --- Ь)3 = а3 --- За 2Ь + ЗаЬ 2 --- Ь3 (112) 
или (а - Ь)3 = а3 - 3ab(a --- Ь) ---           
а3 + b3 = (а + b)(a2 ab + Ь2)’,          (113) 
а3 - Ь3 = (a --- b)(a2 + ab + Ь2)\       (114) 
ах2 + bx+ с = а(х-х^(х --- Xj),          (1.15)

где xᵢnx₂ — корни уравнения ах² + Ьх +с = 0.

Свойства арифметических корней


  Для любых натуральных п и к, больших 1, и любых неотрицательных а и b верны следующие равенства:

            IT;              (1.16)
"/а~ т/а                     (1.17)
Vy=W(^0):                          
(V^)*=V^;                    (1.18)
?/ kt--- nkt---                    
у ya = ya\                   (1.19)
ya = у aK;                   (1.20)
$[a )n = a (a> 0);           (1.21)
^Га< если 0 < a < b\         (1.22)
i---z , . la при a > 0,            
у a2 = lal= <          a     (1.23)
1      1      (-я при a < 0;       
2Z1 In 1 1                   (1.24)
у a 2n - 1 a |;                    
2л+1,--- 2«+lj--- z   _            
(a > 0).                     (1.25)

Глава 1. Тождественные преобразования алгебраических выражений

7

Группа А


   Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения параметров (1.1-1.10):


     1^___1
     а b+с/ Ь² + с² - а²\а-b — с .
¹¹   1    1 \¹ ⁺ 2Ьс Г abc ’
     а Ь + с

              а = 0,02, Ь = -11,05, с = 1,07.


         1         2t       1 V (1-3)²+ 12Г
      /² + 3/+2 /² + 4/+3 /² + 5/+6/   2


₁ « (д — />)² + ab a^+_b^+^b^_^_a^b^ (a+b)²—ab       (д³ + b² + a²b + ab²)(a² — Ь²)


      За² + 2дх —х² _ ₉ , ,п дх — Зх² (Зх+ д)(д + х)      д² -т 9х²


         ' х \~² _ (х + у)² — 4ху \² х⁴ t.y—xf х² — ху j х²у² —у⁴’


1.6

    11 1 2с \
     ¹ ⁺     (а+6+2с)
\ д b abj________
  1,1,2      4с²
      д² b² ab а²Ь²


■,а = 7,4,Ь=±

•     д²/>²   / д² - Z>²A‘ .
      а ⁻³ + b ⁻³ (а + Ь)² — 3 ab \ аб /

                   д = 1—ут, ь = 1 + -ут.

            1 1 . 1
      b (abc + а + с) 1           ,2

   1+(д + х)⁻¹/, 1- (д² + х²)\ 1
   1-(« + «Г' -to—М-—г

Часть I. АЛГЕБРА

  Не прибегая к приближенным вычислениям, упростить числовые выражения (1.11 — 1.13):


1.11

(4^1 + 2^3 -д/13 + 4 Уз)у     * ¹



1.13

5 ^48^'у + ^32^5- 11 т/12 Ув .


  Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения параметров (1.14 - 1.24):

1.14

х⁴ * + 2х² - Зх + 1 х² + У3х + 1

+ 2(бу27Р-±).

1.15

 Уд²-4а6 + 46² 8ab , 2Ь +      +    а²-4Ь²а-2Ь’


 х² + 4х — 5 + (х — 5) Ух² — 1
 х²-4х—5 + (х + 5)Ух²- 1,Х

 -П 2 _1         4 2   5
 У в² Ь~² + бе ⁴ 6 ² + 96² а ~ ЗЬ

  1³ Г~,     I—4      ² Г~,              ²

   ■у (г² + 4) У1 + - У (г ² - 4) У1 - Л

  \ !________I г I______________* г i

              г² — У~Р~^~Тб

1.19

-Р ^-g-----): lJ4-l; х> «>0.

               ух²- а² — х+ al I а

Глава 1. Тождественные преобразования алгебраических выражений

9

1.20



1.21


           +U'⁵⁺-?*⁴⁺⁴'³ М ¹ + ¹ )

 ЧЦ2/ ! 4 — 4t+t² l\y[2-^~t ⁺ '(2 + ^11'






   (rfa. + )² — 4/> . д + 9/> + 6 V aZ>
 <e-«:(Vl⁺³V?)

1.23

    1/ abc + 4 . ,[~bc
    и----н 4 у —
1.24 -—£=——а = 0,04.
      ■у аос + 2


1.25  Проверить справедливость равенства

10 - 7 <2
10+ 7 <2 •

1.26 Дано выражение
           _2                1
      х³-д ³^~¹(д² + й²)х + &²

б?*²        2 _1
      Сделать подстановку х = а³Ь ² и результат упростить


  Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби (1.27 - 1.28):


1.28

а- 1

И)Часть 1. АЛГЕБРА

1.29 Вычислить сумму кубов двух чисел, если их сумма и произведение соответственно равны 11 и 21.

1.30 Преобразовать (а² + b ²)(с² + d²) так, чтобы получилось (ас + bd)² + (ad — be)².


tyynna Б


   Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения параметров (1.31 - 1.52):

. д³ — 2д² + 5д + 26
¹,³¹ д³ —5д²+17д—13

р³ + 4р² + Юр + 12 р³ — Зр² + 8р р³—р² + 2р + 16 р² + 2р + 6


. __ /х⁴ + 5х³ + 15х- 9 9 V х³ - 4х + Зх² - 12
¹³³   \ х⁶ + 3х⁴        х⁴Г х⁵

                   II 1 \² I 1 \2         \ т/ 125
1.34  (х⁴ — 7х² + I)⁻² ||х² + —d -14|х + -| +77|;х=^-т— \\                     х²/     \ х/ Г 5

     / bx+4 + ^~           (4х² - b²)\- V
.     ___________Ьх _______________'_Ь Ьх
     \2b + (b²-4)x-2bx² (b + 2x)²-ibxl 2'

1.36

2х²   ^(1+х)УТ^7_3V1-X²
9 + 18х+9х² I х I 2xVx”

1.38

(х² + 1)^

1.39

 V 2Z> + 2<Р^4
 У^2_₄ ₊ й ₊ 2 ’