Математика. Большой справочник

—— ПОД РЕДАКЦИЕЙ ——




                М. И. СКАНАВИ





            МАТЕМАТИКА


        БОЛЬШОЙ СПРАВОЧНИК








Москва Издательство АСТ Издательство «Мир и Образование»

УДК 51(035)
ББК 22.1я2
     М34





Все права защищены.
Перепечатка отдельных глав и произведения в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.




Издается по лицензии
ООО «Издательство «Мир и Образование».








         Математика. Большой справочник / В. В. Зайцев, В. В. РыжМ34 ков, М. И. Сканави; Под ред. М. И. Сканави. — Москва : Издательство АСТ : Издательство «Мир и Образование», 2022. — 592 с.
           ISBN 978-5-17-149407-0 (Издательство АСТ)
           ISBN 978-5-94666-937-5 (Издательство «Мир и Образование»)
           В справочнике излагается теоретический материал в рамках программ по математике для поступающих в вузы. Материал проиллюстрирован на примерах и задачах. В каждом параграфе даются упражнения для самостоятельной работы; в конце книги приводятся ответы ко всем упражнениям и подробный предметный указатель.
           Пособие адресовано учащимся старших классов, абитуриентам и учителям математики. Используя его в комплекте с широко известным классическим «Сборником задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией М. И. Сканави, учащиеся смогут успешно подготовиться к выпускным экзаменам в школе — сдаче ОГЭ и ЕГЭ, а также к поступлению даже в самый сложный технический вуз.

УДК 51(035)
ББК 22.1я2





ISBN 978-5-17-149407-0 (Издательство АСТ)
ISBN 978-5-94666-937-5 (Издательство «Мир и Образование»)

                          © Зайцев В. В., Сканави А. М., 2014
                          © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие....................................................... 9
О пользовании  книгой ............................................ 11
Введение...........................................................13


ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Глава I. Действительные и комплексные числа ......................18
§ 1. Действительные числа. Координаты....................  .  , . , 18
     1. Натуральные числа (18). 2. Простые и составные числа. Признаки делимости (20). 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное (22). 4. Целые числа. Рациональные числа (24). 5. Десятичные дррби. Представление рациональных чисел десятичными дробями (28). 6. Иррациональные числа. Действительные числа (31). 7. Действия с приближенными числами (35). 8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости (40).
     Упражнения...................................................45
§ 2. Степени и корни............................................  46
     9. Степени с натуральными показателями (4 6). 10. Степени с целыми показателями (47). 11. Корни (48). 12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями (51). 13. Алгоритм извлечения квадратного корня (52).
     Упражнения...................................................56
§ 3. Комплексные числа ...........................................57
     14. Основные понятия и определения (57). 15. Рациональные действия с комплексными числами (59). 16. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа (62). 17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра (65). 18. Извлечение корня из комплексного числа (66).
     Упражнения...................................................69

Глава II. Тождественные преобразования............................70
§ 1. Рациональные алгебраические выражения......................  70
     19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены (70). 20. Формулы сокращенного умножения (7 4). 21. Бином Ньютона (75). 22. Разложение многочлена иа множители (78). 23. Дробные алгебраические выражения (79).
     Упражнения.................................................  80
§ 2. Иррациональные алгебраические выражения...........•..........80
     24. Радикалы из алгебраических выражений (80). 25. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби (84).
     Упражнения...................................................85

Глава III. Логарифмы..............................................87
§ 1. Логарифмы по произвольному  основанию........................87
     26. Определение и свойства логарифмов (87). 27. Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода (92).
     Упражнения.................................................  94

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 2. Десятичные логарифмы.............................................94
     28.  Характеристика и мантисса десятичного логарифма (9-1). 29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям (98).
     Упражнения......................................................100
Глава IV. Функции и графики..........................................101
§ 1. Общие сведения о функциях.......................................101

     30. Величина. Числовые множества (10 1). 3 I. Определение функции (102).
     32. График функции. Способы задания функций (104). 33. Элементарное исследование поведения функции (106). 34. Сложная функция (109). 35. Обратная функция (109). 36. Функции нескольких переменных (112).
     Упражнения.........................................................113
§ 2. Элементарные функции................................................113
     37. Обзор элементарных функций (113). 38. Линейная функция (115).
     39. Квадратичная функция у-ах* (1 18). 40. Степенная функция у~хп (120).
     4 1. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени (121). 42. Показательная функция (125). 43. Логарифмическая функция (127).

     Упражнения......................................................127
§ 3. Преобразование графиков.........................................128
     44.  Параллельный сдвиг графика (128). 4 5. График квадратного трехчлена (130). 46. График дробио-лииейной функции (133). 47. Преобразование симметрии. Сжатие н растяжение графика (134). 48. Построение графиков функций у—\ [ (х) |. у-t (I х I), у=1 / (| х|)| (136). 49. Сложение графиков (140).
     Упражнения......................................................142
§ 4. Некоторые сведения о рациональных функциях......................142
     50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов (142).
     51. Схема Горнера. Теорема Безу (145). 52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители (147).
     Упражнения......................................................150
Глава V. Уравнения      .............................................151
§ 1. Общие сведения об   уравнениях..................................151
     53. Уравнение. Корни уравнения (151). 54. Равносильные уравнения (152).
     55. Системы уравнений (155). 56. Графическое решение уравнений (157).
     Упражнения......................................................158
§ 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной ...................158

      57. Число и кратность корней (158). 58. Уравнения первой степени (линейные уравнения) (159). 59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения (160). 60. Формулы Виета. Разложение квадратиого трехчлена на множители (164). 61. Исследование квадратиого уравнения (165). 62. Уравнения высших степеней. Целые корни (167). 63. Двучленные уравнения (169).
      64. Уравнения, сводящиеся к квадратным (170). 65. Возвратные уравнения

     (172). Упражнения................................................... 172
§ 3. Системы алгебраических уравнений.............................173

      66 Линейные системы (173). 67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными (176). 68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения (183).
     69.  Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений

     высших степеней (186).
     Упражнения . ....................................................190
§ 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения ... 191
     70. Иррациональные уравнения (191). 71. Показательные уравнения (195).
     72. Логарифмические уравнения (197). 73. Разные уравнения. Системы уравнений (199).
     Упражнения • . . .  .............................................201

Глава VI. Неравенства.................................................203
§ 1. Числовые и алгебраические неравенства............................203
     74.  Свойства неравенств. Действия над неравенствами (203). 75. Алгебраические неравенства (208).
     Упражнения.......................................................210
§ 2. Решение неравенств...............................................211

      76.  Множество решений неравенства. Равносильные неравенства (211). 77. Графическое решение неравенств (212). 78. Линейные неравенства. Системы линейных неравенств (213). 79. Квадратные неравенства (217).
      80.  Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рацио

ОГЛАВЛЕНИЕ

5

нальиые функции от х (219). 81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства (222). 82. Неравенства с двумя неизвестными (225).
     Упражнения........................................................227

Глава VII. Последовательности..........................................228
§ 1. Предел последовательности.........................................228
     83. Числовая последовательность (228). 84. Предел числовой последовательности (230). 85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода (235).
§ 2. Арифметическая прогрессия.........................................238
     86.  Арифметическая прогрессия, формула общего члена (238). 87. Свойства арифметической прогрессии (239). 88. Формула для суммы п членов арифметической прогрессии (240).
     Упражнения........................................................241
§ 3. Геометрическая прогрессия ....................................... 242
     89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена (242). 90. Свойства геометрической прогрессии (244). 91. Формулы для суммы п членов геометрической прогрессии (245). 92. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (246).
     Упражнения........................................................248

Глава VIII. Тригонометрические функции угла (дуги).....................249
§ 1. Векторы. Обобщение понятий угла и дуги............................249
     93.  Вектор, проекция вектора (249). 94. Положительные углы и дуги, меньшие 360° (251). 95. Углы и дуги, большие-360° (251). 96 Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов (252).
     Упражнения........................................................254
§ 2. Тригонометрические функции произвольного угла.....................254
     97.  Определение основных тригонометрических функций (254). 98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2л (259).
     Упражнения........................................................264
§ 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла................................................................264
     99. Основные тригонометрические тождества (264). 100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них (266). 101. Значения тригонометрических функций некоторых углов (267).
     Упражнения........................................................269
§ 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций 270
     102. Четность и нечетность (270).     103. Понятие периодцческой функции
     (271) . 104. Периодичность тригонометрических функций (2/3).
     Упражнения........................................................276
§ 5. Формулы приведения................................................276
     105.  Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов (276). 106. Формулы приведения (278).
     Упражнения........................................................283

Глава IX. Тригонометрические функции числового аргумента и их графики .............................................................284
§ 1. Тригонометрические   функции числового аргумента..................284
     107. Определение (284). 108. Области определения и области изменения значений тригонометрических функций (285). 109. Некоторые неравенства и их следствия (285).
     Упражнения........................................................287
§ 2. Г рафики тригонометрических функций...............................287
     110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций (287).
     111. Основные графики (288). 112. Примеры построения графиков некоторых других тригонометрических функций (293). 113. Дальнейшие примеры построения графиков функций (295).
     Упражнения........................................................298

Глава X. Преобразование тригонометрических выражений ..................299
§  1. Формулы сложения и вычитания ....................................299
     114. Расстояние между двумя точками на плоскости (299). 11 5. Косинус суммы и разности двух аргументов (300). 116. Сннус суммы и разности двух аргументов (301). 117. Тангенс суммы и разности двух аргументов (302). 118. О формулах сложения для нескольких аргументов (303).
     Упражнения.......................................•................303

ОГЛАВЛЕНИЕ

§2   . Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin ла и cos па через степени Sina и cos а....................................303
     119. Тригонометрические функции двойного аргумента (303). 120. Выражение sin ла и cos ла через степени sin а и cos а при натуральном числе л (305).
     121. Тригонометрические функции половинного аргумента (306). 122. Выражение основных тригонометрических функций аргумента а через tg (a/2) (308). Упражнения........................................................309
§ 3. Преобразование в сумму выражений вида sin a cos (5, cos a cos p и sin a sin p.......................................................310
     123. Основные формулы (ЗЮ). 124. Примеры (310).
     Упражнения........................................................311
§ 4. Преобразование в произведение сумм вида sin a ± sin fj, cos a ± ± cos p и tg a ± tg p ............................................312
     125. Основные формулы (312). 126. Примеры (313).
     Упражнения........................................................315
§ 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента...............................316
     127. Преобразование в произведение выражения csina+bcosa (316). 128. Преобразование в произведение выражений asina+b и ocosa + ^при 0 < | b I < I а | (31 7). 129. Преобразование в произведение выражения
     atga + fc (318).
     Упражнения........................................................318

Глава XI. Обратные тригонометрические функции и их графики . . . 319
§ 1. Функции arcsin х, arccosx, aretgx и arcctgx.......................319
     130. Функция //-arcsin х (арксинус) (319). 131. Функция t/=arccos х (арккосинус) (321). 132. Функция у— arctg х (арктангенс) (322). 133. Функция
     p=arcctgx (арккотангенс) (324). 134. Пример (325).
     Упражнения                 .......................................326
§ 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями..............327
     135.  Тригонометрические операции (327). 136. Операции сложения (вычитания) (332).
     Упражнения                   .....................................335
§ 3. Обратные тригонометрические операции иад тригонометрическими функциями..........................................................  ,   336
     137. Функция y=arcsin (sin х) (336). 138. Функция i)=arctg (tg х) (337).
     Упражнения....................................................  .  338

Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства , ...............339

§ 1. Уравнения, разрешенные относительно одной из тригонометрических функций................................................................339
      139. Уравнение sin х=а (340). 1 40. Уравнение cos х=а (341). 141. Уравнение tg х=а (343). 142. Уравнение etg х-а (343). 143. Некоторые дополнения (344).
     Упражнения . . . .................................................345
§ 2. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента . . 345 144. Сущность способа (345). 145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента (346). i46. Способ разложения на множители (350). 147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg (х/2)=/ (353).
     Упражнения................................................. . . . . 356
§ 3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем.................................................................356
      148. Введение вспомогательного аргумента (356). 149. Преобразование произведения в сумму или разность (358). ISO. Переход к функциям удвоенного аргумента (359). 151. Решение уравнения типа tg их+tg flx=tg yx+tg Ьх (362). 152. Применение подстановок sinx±cosx=y (364). 153. Системы тригонометрических уравнений (365).
     Упражнения........................................................373
§ 4. Решение тригонометрических неравенств.............................374
     154. Простейшие тригонометрические неравенства (374). 155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим (377).
     Упражнения........................................................378

ОГЛАВЛЕНИЕ

7

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ГЕОМЕТРИЯ
Глава XIII. Основные понятия..........................................379
§ 1. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела..........................379
      156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок (379). 157. Плоскость. Фигуры и тела (380). 158. Угол (381). 159. Ломаная линия. Многоугольник (382). 160. Равенство фигур. Движение (384). 161. Равенство тел (386).
§ 2. Измерение геометрических величин.................................386
      162. Сложение отрезков. Длина отрезка (386). 163. Обцая мера двух отрез-ков (389). 164. Сравнительная длина отрезков и ломаных (390). 165. Измерение углов (391). 166. Радианная мера угла (393). 167. Измерение площадей (395). 168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда (397).
     Упражнения.......................................................399
Глава XIV. Перпендикулярные и параллельные прямые. Задачи на построение ........................................................400
§ 1. Перпендикулярные и   параллельные прямые.........................400
      169. Перпендикуляр и наклонные (400). 170. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку в его середине (402). 171. Параллельные прямые (402).
      172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей (404).
     173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами (405).
§ 2. Геометрические места точек. Окружность...........................407
     17 4. Геометрическое место точек (407). 175. Свойство биссектрисы угла
      (40 7). 176. Окружность (4 08). 177. Взаимное расположение прямой и окружности- Касательная и секущая (409). 178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент; (411). 179. Взаимное расположение двух окружностей (412).
§ 3. Основные задачи на построение....................................414
      180. Линейка и циркуль (414). 181. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров (415). 182. Построение углов (416). 183. Другие задачи на построение (418).
     Упражнения.......................................................419
Глава XV. Треугольники, четырехугольники..............................420
§ 1. Треугольники ....................................;...............420
      184. Стороны и углы треугольника (4 21). 185. Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность (422). 186. Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность (4 23). 187. Медианы н высоты треугольника (425). 188. Равенство треугольников (425). 189. Построение треугольников (427).
      190. Равнобедренные треугольники (430). 191. Прямоугольные треугольники (430).
     Упражнения.......................................................432
§ 2, Параллелограммы .................................................432
      192. Четырехугольники (432). 193. Параллелограмм него свойства (433).
      194. Прямоугольник (434). 195. Ромб. Квадрат (435).
     Упражнения . ....................................................436
§ 3. Трапеция ........................................................436
      196. Трапеция (436). 197. Средняя линия треугольника (439). 198. Средняя линия трапеции (440). 199. Деление отрезка на равные части (44 1).
     Упражнения.......................................................442
§ 4. Площади треугольников и четырехугольников........................442
      200. Площадь параллелограмма (44 2). 201. Площадь треугольника (44 3).
      202. Площадь трапеции (445).

Глава XVI. Подобие геометрических фигур...........................  ,   446
§ 1. Пропорциональные отрезки.........................................446
      203. Пропорциональные отрезки (446). 204. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника (4 49).
      Упражнения......................................................451
§ 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия)........................451
      205. Определение гомотетичных фигур (451). 206. Свойства преобразования подобия (4 53).
§ 3. Общее подобное соответствие фигур................................456
      2 07. Подобные фигуры (456). 208. Периметры и площади подобных треугольников (459). 209. Применение подобия к решению задач на построение (460).
      Упражнения......................................................461

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава XVII. Метрические соотношения в треугольнике и круге .... 462
§ 1. Углы и пропорциональные отрезки в круге..........................462
     210.  Углы с вершиной на окружности (462). 21 1. Углы с вершиной внутри н вне круга (463). 21 2. Угол, под которым виден данный отрезок (464).
     213.  Четырехугольники, вписанные в окружность (466). 214. Пропорциональные отрезки в круге (467). 215. Задачи иа построение (468).
     Упражнения.......................................................470
§ 2. Метрические соотношения в треугольнике...........................470
     216.  Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора (470). 217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого угла в треугольнике. Теорема косинусов (473). 218. Теорема синусов. Формула Герона (476). 219. Радиусы вписанной и описанной окружностей (478). Упражнения.......................................................480
§ 3. Решение треугольников............................................481
     220.  Таблицы функций (481). 221. Решение треугольников. Сводка основных формул (487). 222. Решение прямоугольных треугольников (489). 223. Решение косоугольных треугольников (490).
     Упражнения.......................................................498
Глава XVIII. Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга ......................................................499
§ 1. Правильные многоугольники........................................499
     224.  Выпуклые многоугольники (499). 225. Правильные многоугольники (501). 226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой (502).
     227.  Периметр и площадь правильного л-угольника (503). 228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника (504).
     Упражнения.......................................................507
§ 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей ....................507
     229 Длина окружности (507). 230. Площадь круга и его частей (510)
     Упражнения.......................................................513
Глава XIX. Прямые и плоскости в пространстве..........................514
§ 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей........................514
     231.  Взаимное расположение двух прямых в пространстве (514). 232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости (515). 233. Взаимное расположение двух плоскостей (518). 234. Свойства параллельных прямых и плоскостей (518). 235. Построения в стереометрии (520).
§ 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей...........................521
     236.  Перпендикуляр к плоскости (521). 237. Перпендикуляр н наклонные (523). 238. Угол между прямой и плоскостью (524). 239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей (525). 240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (526).
     Упражнения.......................................................528
§ 3. Двугранные и многогранные углы...................................528
     241.  Двугранный угол (528). 242. Взаимно перпендикулярные плоскости (529). 243. Трехгранные углы (530). 244. Многогранные углы (534).
§ 4. Многогранники....................................................535
     245. Многогранники (535). 246. Правильные многогранники (536).
     Упражнения.......................................................538
Глава XX. Многогранники и   круглые тела..............................539
§ 1. Призма. Параллелепипед. Цилиндр..................................539
     247.  Цилиндры и призмы (539). 248. Параллелепипеды (542). 249. Объемы призм и цилиндров (543). 250. Площадь боковой поверхности призмы (544).
     251. Площадь поверхности цилиндра (545).
     Упражнения.......................................................547
§ 2. Пирамида. Конус................................................  547
     252.  Свойства пирамиды и конуса (547). 253. Объем пирамиды и конуса (5 51). 254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды н конуса (554). 255. Усеченный конус и усеченная пирамида (556).
     Упражнения . . . ................................................559
§ 3. Шаровая поверхность. Шар.........................................559
     256. Шар и шаровая поверхность (559). 257. Объем шара п его частей (562).
     258.  Площадь поверхности шара и ее частей (566). 259. Понятие телесного угла (568).
     Упражнения.......................................................569
Ответы к упражнениям..................................................570
Приложения ...........................................................581
Предметный указатель..................................................583

ПРЕДИСЛОВИЕ


   «Большой справочник по математике» содержит базовый теоретический материал для подготовки к поступлению в вуз по широко известному классическому «Сборнику задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией М. И. Сканави.
   Эта книга написана для учащихся старших классов средней школы и абитуриентов, желающих повторить курс математики, например, с целью подготовить себя к вступительным экзаменам в высшую школу. Она может быть использована и как пособие на подготовительных курсах вузов, и для самостоятельных занятий.
   «Справочник» состоит из двух частей: «Арифметика, алгебра и элементарные функции» (часть первая) и «Геометрия» (часть вторая). Авторы стремились изложить весь теоретический материал в рамках программы вступительных экзаменов и проиллюстрировать его на примерах и задачах. Также в каждом параграфе даются упражнения для самостоятельной работы. В конце книги приводятся ответы ко всем упражнениям и подробный предметный указатель.
   Цель, которую поставили перед собой авторы, определяет построение книги и ее язык. В ней устраняются элементы концент-ризма, допускаемые в школьных программах, когда при первичном изучении математики приходится учитывать возрастные возможности учащихся и другие обстоятельства. При повторном изучении курса математики естественно построить его так, чтобы логически законченные темы излагались по возможности в одном месте. На

ПРЕДИСЛОВИЕ

пример, развитие понятия числа от натурального до комплексного прослеживается в одной главе.
   Кроме того, авторы стремились приблизить изложение многих вопросов (функции, графики, вычисление площадей и объемов и др.) к методам, принятым в курсе математики вуза. Необходимость такого изложения, перебрасывающего мостик от школьной математики к вузовской, видна из тех трудностей, которые часто испытывают на первом курсе вуза даже хорошо подготовленные учащиеся.
   При подготовке настоящего издания большую работу по проверке ответов к упражнениям проделал Сергей Беркесов. Авторы выражают ему за это сердечную благодарность.
   Используя материалы «Большого справочника» в комплекте со «Сборником задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией М. И. Сканави, учащиеся старших классов смогут успешно подготовиться к выпускным экзаменам в школе — сдаче ОГЭ и ЕГЭ, а также к поступлению даже в самый сложный технический вуз.