Математика. Полный справочник. Весь школьный курс. 5-11 классы

Т.Н. Маслова
А.М. Суходский





                МАТЕМАТИКА полный справочник ВЕСЬ ШКОЛЬНЫЙ КУРС




5—11 КЛАССЫ


Москва
Мир и Образование

УДК 51(075.3)(035)
ББК 22.1я72
    М31







      Маслова, Т. Н.
М31 Математика. Полный справочник. Весь школьный курс. 5—11 кл. / Т. Н. Маслова, А. М. Суходский. — Москва : Мир и Образование, 2020. — 672 с.: ил.
        ISBN 978-5-94666-755-5
        В справочнике в краткой и доступной форме излагается весь материал школьного курса математики для 5—11 классов: математические понятия, определения, теоремы, формулы, свойства т. д.; содержится большое количество примеров и задач с подробными решениями.
        Пособие поможет ученикам школ и поступающим в вузы повторить соответствующий материал при подготовке к уроку, к тестированию, к контрольной работе, к экзамену, а также успешно подготовиться к выпускным экзаменам в школе — сдаче ОГЭ и ЕГЭ.
УДК 51(075.3)(035)
ББК 22.1я72








ISBN 978-5-94666-755-5



          © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2020

ПРЕДИСЛОВИЕ


  Данный справочник содержит как основной, так и дополнительный материал всех разделов школьного курса математики, изучаемого в 5—11 классах: математические понятия, определения, теоремы, формулы, свойства и т. д. Кроме того, в нем имеется довольно много подробно разобранных примеров и задач; при их решении зачастую используется не только материал того пункта, к которому относится рассматриваемый пример или задача, но и материал других разделов. Вместе с тем, доказательства теорем в справочнике не приводятся — эти доказательства можно найти в школьных учебниках по математике.
  Весь материал, относящийся к тому или иному понятию, помещен компактно (в школьных пособиях это не всегда бывает так), что позволит вам быстро получить все необходимые сведения об интересующем вас понятии.
  Изложенный в справочнике материал разбит на разделы, разделы — на параграфы, а параграфы — на довольно мелкие пункты (так вам будет удобнее отыскать нужную информацию). Нумерация разделов, параграфов и пунктов — сквозная по всей книге, а нумерация примеров — самостоятельная внутри каждого пункта. Теоремы нумеруются двумя цифрами: первая из них означает номер раздела, в котором

3

сформулирована данная теорема, а вторая — порядковый номер теоремы в этом разделе. Например, Т.4.6 означает, что речь идет о теореме 6 из раздела IV. В книге приняты следующие обозначения: начало и конец решения примера отмечаются соответственно знаками □ и ■.
   Для удобства пользования справочником в конце его помещены списки основных формул и основных обозначений, а также подробный предметный указатель.

   Ученикам и абитуриентам справочник поможет:
   —    подготовиться к вступительному экзамену или собеседованию по математике при поступлении в вуз или другое учебное заведение;
   —    быстро найти нужную информацию о том или ином понятии, определении, свойстве, о той или иной формуле, теореме;
   —    повторить соответствующий материал при подготовке к уроку, к тестированию, к контрольной работе, к экзамену;
   —    вспомнить, как решаются типовые примеры и задачи школьного курса математики.
   Учащимся 9—11 классов материалы справочника позволят успешно подготовиться к выпускным экзаменам в школе — сдаче ОГЭ и ЕГЭ.

АЛГЕБРА





Раздел I

ЧИСЛА










§ 1. Натуральные числа

   1.   Запись натуральных чисел. Числа 1, 2, 3, 4, 5, ..., использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными . Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывается с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, запись 2457 означает, что 2 — цифра тысяч, 4 — цифра сотен, 5 — цифра десятков и 7 — цифра единиц, т. е.
2457 = 2 • 1000 + 4-100 + 5-10 + 7.
   Вообще, если а — цифра тысяч, b — цифра сотен, с — цифра десятков и d — цифра единиц, то имеем
а • 1000 + b • 100 + с • 10 + d.
   Используется также сокращенная запись abed (написать abed нельзя, поскольку такая запись означает произведение чисел а, b, с, d).
   В общей форме для т-значного числа ат справедлива запись
ат = с, ■ 10т ' + с₂ ■ 10т² +... + ст , ■ 10 + ст т х            т            т х     т,


5

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

или                ___________
               ат ⁼ С1 с2--- Ст-1 Ст , где
С1,С2,...,Ст-1, Ст — цифры.

   2.    Арифметические действия над натуральными числами. Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является натуральное число: если т, п — натуральные числа, то р = т + п также натуральное число, тип — слагаемые , р — сумма; р = тп также натуральное число, т, п — множители, р — произведение.
   Справедливы следующие свойства:
   1°. а + b = b + а (переместительное свойство сложения);
   2°. (а + b) + с = а + (b + с) (сочетательное свойство сложения);
   3°. ab = Ьа (переместительное свойство умножения );
   4°. (аЪ) с = а (be) (сочетательное свойство умножения );
   5°. а (b + с) = ab + ас (распределительное свойство умножения относительно сложения).
   В результате вычитания или деления натуральных чисел не всегда получается натуральное число.
   Если т, п, k — натуральные числа, то при т- п = = k говорят, что т — уменьшаемое, п — вычитаемое , k — разность; при т : п = k говорят, что т — делимое, п — делитель, k — частное; число т называют также кратным числа п, а число п — делителем числа т. Если т — кратное числа п, то существует натуральное число k такое, что т = Ьп.
   Из чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляют числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получится число, которое называется значением выражения.


6

АЛГЕБРА

§ 1. Натуральные числа

   Напомним порядок арифметических действий в числовом выражении: прежде всего выполняют действия в скобках; внутри любых скобок сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Например, если нужно найти значение выражения
      (28 • 93 + (1927 - 1873) -31):6 - 710, то порядок действий таков:
1    4     2      3   5  6
(28 • 93 + (1927 - 1873) ^31):6- 710.


   3.    Деление с остатком. Если натуральное число т не делится на натуральное число п, т. е. не существует такого натурального числа k, что т = nk, то рассматривают деление с остатком. Например, при делении числа 43 на число 18 в частном получается 2 и в остатке 7, т. е. 43 = 18 • 2 + 7. В общем случае, если т — делимое, п — делитель (т > п), р — частное иг — остаток, то

т = пр + г,

(1)

где г < п. Здесь т, п, р, г — натуральные числа (исключение составляет случай, когда т делится на п без остатка и г = 0). Например, если п = 3, а г = 2, то т = 3р + 2. Это формула чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2.
   Пример. Найти частное и остаток от деления числа 36 421 на число 25.
   □ Выполним деление «углом»:
3642Ц25
25    1456
               _114
                100
                  142
                  125
_171
150

21

7

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

   Итак, частное 1456, а остаток 21. Воспользовавшись равенством (1), можем записать:
36 421 = 25 • 1456 ■ 21.
   Заметим, что этот пример можно решить и по-другому, не используя деление «углом», а непосредственно используя формулу (1). Имеем 36 421 = = 36 400 ■ 21 25 • 1456 ■ 21. Значит, 1456 — частное, а 21 — остаток. ■

   4.    Разложение натурального числа на простые множители. Если число имеет только два делителя — само себя и единицу, то оно называется простым ; если число имеет более двух делителей, то оно называется составным; число 1 не относят ни к простым, ни к составным. Так, число 37 простое, оно имеет только два делителя: 1и37; число 36 составное, оно имеет более двух делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 9,12,18, 36. Простое число 37 можно представить в виде произведения двух натуральных чисел только одним способом (если не учитывать порядок множителей): 37 = 1 • 37; составное число 36 можно представить в виде произведения двух натуральных чисел более чем одним способом: 36 = 1 • 36 = 2 • 18 = 3 • 12 и т. д. Однако в виде произведения простых множителей составное число 36 можно представить только одним способом: 36 = 2 • 2 • 3 • 3.

Т.1.1. Любое составное число можноразложитъ на простые множители, причем толъко одним способом.
   Если в разложении числа на простые множители один и тот же множитель а встречается п раз, то за
писывают кратко: ап , т. е. а ■ а ■... ■ а = ап . Выраже-'----------------------------V---'

                            п


8

АЛГЕБРА

§ 1. Натуральные числа

ние ап называют степенью, а — основанием степени , п — показателем степени.
   Поэтому можно записать:
360 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 = 2³ • З² • 5.

   5.    Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. Пусть даны числа 72 и 96. Выпишем все делители числа 72:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,18, 24, 36, 72.
Выпишем все делители числа 96:
1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96.
Среди выписанных чисел есть одинаковые:
1,2,3,4,6,8,12,24.
   Все эти числа называют общими делителями чисел 72 и 96, а наибольшее из них — наибольшим общим делителем.
   Для любых заданных натуральных чисел а и b можно найти наибольший общий делитель. Он обозначается D (а, b) (читается: «D от а, b»). Если числа а и b таковы, что D (а, b) = 1, то они называются взаимно простыми.
   Например, взаимно простыми являются числа 72 и 35 (хотя каждое из них — составное число).
   Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим (из имеющихся) показателем.
   Пример. Найти D (3780, 7056).
   □ Имеем 3780 = 2² • 3³ • 5 • 7, 7056 = 2⁴ • 3² • 7². Тогда D (3780, 7056) = 2² • 3² • 7 = 252; взяты те простые множители, которые входят и в разложение числа 3780, и в разложение числа 7056. ■

9

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

   6. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. Пусть даны числа 12 и 18. Выпишем несколько чисел, кратных числу 12:
12, 24, 36, 48, 60,72,....
Выпишем числа, кратные 18:
18, 36, 54,72, ....
Среди выписанных чисел есть одинаковые:
36, 72,... .
   Такие числа называют общими кратными чисел 12 и 18, а наименьшее из них (число 36) — наименьшим общим кратным.
   Аналогично определяется наименьшее общее кратное произвольных чисел а и b, оно обозначается К (а, b) (читается: «К от а, b»). Любое общее кратное чисел а и b делится на К (а, b).
   Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим (из имеющихся) показателем.
   Пример. Найти К (3780, 7056).
   □ Имеем 3780 = 2² • 3³ • 5 • 7; 7056 2¹ • 3² • 7²
(см. п. 5). Тогда К (3780, 7056) = 2⁴ • 3³ • 5 • 7², т. е. взяты все простые множители, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел 3780 и 7056. Итак, К (3780, 7056) = 2⁴ • 3³ • 5 • 7² = 105 840. ■
   Для любых натуральных чисел а и b справедливо равенство
D (а, b) • К (а, b) = ab.

Если, в частности, числа а и b взаимно простые, т. е. D (а, b) = 1, то К (а, b) = ab. Это значит, что наименьшее общее кратное двух взаимно простых

10