Удивительный мир чисел и фигур. Загадки и шарады, фокусы, ребусы, головоломки, танграм, кросснамберы и чайннамбер

g=г=д*, , ш=!=д/, -%*3“/, 
!еK3“/, г%л%"%л%м*,,  2=…г!=м,
*!%““…=мKе!/ , ч=L……=мKе!

ÓÄÈÂÈÒÅËÜÍÛÉ ÌÈÐ
×ÈÑÅË È ÔÈÃÓÐ

Áîðèñ Êîðäåìñêèé

Москва
Мир и Образование

УДК 51
ББК 22.1я9
К66

Кордемский, Борис Анастасьевич.
Удивительный мир чисел и фигур. Загадки и шарады, 
фокусы, ребусы, головоломки, танграм, кросснамберы и 
чайннамбер / Б. А. Кордемский. — Москва : Мир и Об ра зо вание, 2022. — 352 с.: ил.

ISBN 978594666884-2

Две стихии господствуют в математике — числа и фигуры с их 
бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. 
В книгу вошли два издания мэтра отечественной научно-популярной литературы Б. А. Кордемского: «Удивительный мир чисел» и 
«Удивительный квадрат». Это дополненное и обновленное современное переиздание. Первая часть книги содержит более 200 задач, 
загадок, шарад и ребусов. Во второй части предлагаются задачиголоволомки на составление разнообразных фигур из частей квадрата. В конце книги приводятся ответы и подробные решения ко всем 
задачам. 
Эта книга для всех, кто увлекается математикой, — независимо 
от возраста. Она нацелена на проникновение разумом в удивительный мир чисел и фигур, на раскопку его богатств, на возбуждение 
математической любознательности и собственной инициативы. 

УДК 51
ББК 22.1я9

ISBN 978594666884-2

© Луковцева А. К., Фохт О. Б., 2019
© ООО «Издательство «Мир и Образование», 2022

К66

Все права защищены. Перепечатка отдельных глав 
и произведения в целом без письменного разрешения 
владельцев прав запрещена.

Торопись, ведь дни проходят,
Ты у времени в гостях.
Не рассчитывай на помощь, 
Помни: всё в твоих руках. 
Юстас Палецкис

Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Задача – это 
почти всегда поиск, раскрытие каких-то свойств и отношений, а 
средства её решения – это интуиция и догадка, эрудиция и владение методами математики. Эти же качества человеческого ума воспитываются, укрепляются, обогащаются у каждого, кто регулярно 
отдает часть своего досуга умственной гимнастике, и лучшим видом которой является решение математических головоломок, ребусов, задач с интригующим содержанием.
В первой части книги предпочтение отдано стихии чисел. Такая 
одноплановость состава задач не уменьшает ни удовольствия, ни 
пользы от самостоятельного поиска их решения и даже от ознакомления с решениями, приведенными в книге: какое-либо из них может оказаться более изящным, чем свое.
Само возникновение понятия числа – одно из гениальнейших 
проявлений человеческого разума. Действительно, числа не только 
что-то измеряют, сравнивают, вычисляют, но даже рисуют, проектируют, сочиняют, играют, делают умозаключения, выводы.

1. Самые древние по происхождению числа – натуральные. «Ручейки» натуральных чисел, сливаясь, порождают безбрежный океан 
вещественных и разного рода особых специальных чисел. 
Внутренняя красота разнообразных свойств первых обитателей 
этого океана – вещественных чисел – привлекла к ним внимание 
автора предлагаемых умственно-гимнастических упражнений. Искомое тут почти всегда число или какое-либо свойство чисел определенного вида. Некоторое пристрастие автора к большим числам 
вполне созвучно космической эре цивилизации. Работа с такими 
числами потребует обращения к справочникам, таблицам и калькуляторам, а этот навык необходим в наше время каждому.
Некоторые из предлагаемых задач близки по форме и содержанию 
задачам школьных учебников. Другие – по трудности – на ступеньку выше, оставаясь все же в границах доступности для учащихся 
9–11 классов и всех, окончивших школу. Но и те, и другие задачи 
нацелены на проникновение разумом в удивительный мир чисел, 
на раскопку его богатств, на возбуждение математической любознательности и собственной инициативы. Упражняйтесь! 

1.1
1.1


Зеленый огонек светофора, открывающего доступ к математике, 
зажигается для нас еще в раннем детстве вместе с таблицей умножения. И не только потому, что с помощью таблицы умножения мы 
начинаем учиться вычислять и преобразовывать математические 
выражения. Таблица умножения является одной из форм проявления закономерностей, правильностей, управляющих жизнью и направляющих нашу умственную деятельность.
Вот выучил мальчик таблицу умножения. Радость познания и жажда исследований побудили его выписать в свою тетрадь последние 
цифры произведения чисел 0, 1, 2, ... , 9 на 7:
 
0, 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3.  
(*)

1. Вычитая из каждого последующего числа предыдущее, он обнаруживает ритмичную последовательность разностей:
7, –3‚ –3‚ опять 7, –3, –3 и опять 7, –3, –3.
Простое действие вычитания сотворило гармонию чисел!
Продолжая наблюдения, мальчик устанавливает дополнительно, что, 
переписав последовательность (*) в обратном порядке, он получает 
строку последних цифр результатов в таблице умножения на 3.

Мы можем сказать теперь, что этот мальчик вышел на одну из тропинок к математике, тропинку находок и маленьких открытий, 
объявившихся при помощи наблюдений незнакомых для себя соотношений и связей между числами или фигурами. Математика, 
в сущности, и занимается изучением и классификацией всевозможных закономерностей.
Что же касается искусства вычислений и преобразований, то оно 
всего лишь рабочее орудие математика. Впрочем, владеть им надо 
в совершенстве. Гаусс – «король математиков» – никогда не избегал вычислений, даже любил вычислять. Многие из его ранних открытий являются результатом наблюдений и изучения своих кропотливых вычислений.
От наблюдений над разностями чисел одного из столбиков таблицы умножения естествен шаг к испытаниям «на разность» какоголибо набора произвольно взятых чисел.
Возьмем наугад четыре натуральных числа а1, а2, а3, а4 и вычислим 
абсолютные значения четырех разностей «по кругу»:
|а1 – а2|,   |а2 – а3|,   |а3 – а4|,   |а4 – а1|.
С получившимися разностями произведем аналогичные вычисления и, повторив эту процедуру несколько раз – совсем не так уж 
много, – доберемся, к удивлению, всегда до четырех нулей!

1.1. ... 
9

Можно нарочно взять числа с контрастными разностями, например такие: 5, 1012, 98, 96, но процедура вычислений никогда не получается длительной. В данном случае

5 
1012 
98 
96
1007 
914 
2 
91
93 
912 
89 
916
819 
823 
827 
823
4 
4 
4 
4
0 
0 
0 
0 – всего 
пять шагов.

Мы брали много других исходных «квартетов» чисел, и ни разу нам 
не потребовалось более 12 шагов!
Но ведь все множество натуральных чисел не испытаешь! Поэтому 
экспериментально обнаруженный феномен еще нельзя считать закономерным, пока не убедишься в его всеобщности. Попытайтесь!
Если самостоятельный поиск обоснования закономерного, а не 
случайного превращения четверок разностей в нули не приведет 
вас к успеху, загляните в решение задачи «Безошибочный прогноз» 
(с. 241).
Иной результат наблюдается для серии разностей в случае комплекта из трех произвольных натуральных чисел: в финале всегда 
получаются две единицы и нуль в том или ином чередовании.
П р и м е р.  Пусть исходная тройка чисел R0 = (7‚ 12, 1).

1. Тогда последовательность разностей будет:
R1 = (5‚ 11, 6),  R2 = (6‚ 5, 1),  R3 = (1, 4, 5),      R4 = (3‚ 1, 4),
R5 = (2, 3, 1),  R6 = (1, 2, 1),  R7 = (1, 1, 0),      … .
Много интересных, красивых, полезных числовых соотношений, 
связей, результатов таится на тропинке наблюдений над простыми 
числами, т. е. имеющими только два делителя: единицу и самого 
себя (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...).
Наблюдаем: из цифр 1, 3, 6, 9 формируются 24 различных четырехзначных числа; из них только два – простые: 3169 и 3691 – хотите 
верьте, хотите проверьте!
Заменим цифру 6 цифрой 8, и никакая расстановка цифр 1, 3, 8, 9 
не дает простого четырехзначного числа. Догадываетесь почему?
Не может не восхитить результат еще одного наблюдения. 
Будем делить произведение n первых натуральных чисел (1 · 2 · … ×
× (n – 1) · n = n! – читается «эн факториал») на их сумму (1 + 2 + ... +

+ (n – 1) + n), краткая запись: 
n

n

n

=∑
1

.

Наблюдаем: n = 3 – простое число: 

1 2 3
6
⋅ ⋅
 (делится, n + 1 = 4 – составное число); 

1 2 3 4
10
⋅ ⋅ ⋅
 (не делится, n + 1 = 5 – простое число); 

1 2 3 4 5
15
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 (делится, n + 1 = 6 – составное число); 

1 2 3 4 5 6
21
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 (не делится, n + 1 = 7 – простое число); 

1 2 3 4 5 6 7
28
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 (делится, n + 1 = 8 – составное число);

1 2 3 4 5 6 7 8
36
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 (делится) и т. д.

Замечания в скобках подсказывают вывод-гипотезу: n! (n > 2) 

не делится на 
n

n

n

=∑
1

 только в том случае, когда n + 1 – простое число.