Элементы высшей математики

С. А. Осипенко 
ЭЛЕМЕНТЫ 
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 
Учебное пособие 
Москва 
Берлин 
2020 

УДК 51(075) 
ББК 22.1я723 
        О74 
Рецензенты: 
А. С. Кутузов, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики,  
экономики и управления Троицкого филиала ФГБОУ ВО «ЧелГУ»; 
Н. Д. Зюляркина, д-р. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Защита информации» ЮУрГУ 
Осипенко, С. А. 
О74         Элементы высшей математики : учебное пособие / Осипенко С. А. — 
Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. — 201 с. 
ISBN 978-5-4499-0201-6 
Данное пособие содержит теоретический материал, примеры решения типовых задач, 
систему задач для самостоятельной работы студентов и проверки знаний в виде итогового 
тестирования по разделу, а также примерные контрольные работы. Предложенная структура 
пособия помогает выделить главные аспекты изучаемых математических моделей, организовать и конкретизировать учебный процесс. 
Учебное пособие «Элементы высшей математики», подготовлено по дисциплине «Элементы высшей математики» в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования для студентов, обучающихся по 
специальностям 09.02.02 Компьютерные сети, 09.02.04 Информационные системы, 09.02.05 
Прикладная информатика (по отраслям) и др.  
УДК 51(075) 
ББК 22.1я723 
ISBN 978-5-4499-0201-6 
© Осипенко С. А., текст, 2020 
© Издательство «Директ-Медиа», макет, оформление, 2020 

Оглавление 
 
Введение ................................................................................................................... 7 
Раздел 1. Линейная и векторная алгебра .............................................................. 9 
1.1. Матрицы и определители ............................................................................. 9 
Понятие матрицы. Действия над ними .......................................................... 9 
Определители, свойства и вычисления ........................................................ 13 
Методы вычисления определителя матрицы .............................................. 14 
Обратная матрица ........................................................................................... 18 
Ранг, линейная зависимость/независимость строк и столбцов ................. 19 
Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 20 
Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 23 
1.2. Системы линейных уравнений .................................................................. 24 
Правило Крамера ............................................................................................ 24 
Метод Гаусса................................................................................................... 25 
Метод обратной матрицы .............................................................................. 29 
Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 30 
Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 31 
1.3. Векторная алгебра. Операции над векторами ......................................... 32 
Понятие вектора и линейные операции над векторами ............................. 32 
Понятие линейной зависимости векторов. Базис на плоскости ................ 36 
Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов ....................... 38 
Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 42 
Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 45 
Итоговое тестирование по разделу 1 «Линейная и векторная алгебра» ...... 46 
Раздел. 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве ............. 50 
2.1. Метод координат. Прямая на плоскости и в пространстве .................... 50 
Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольные, 
полярные координаты. Основные задачи метода координат .................... 50 
Уравнение прямой. Угол между двумя прямыми. 
Взаимное расположение двух прямых.  
Расстояние от точки до прямой .................................................................... 55 
Плоскость в пространстве ............................................................................. 59 
3 

Задачи для самостоятельного решения ........................................................ 61 
Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 64 
2.2. Кривые второго порядка ............................................................................ 65 
Эллипс, окружность. Парабола ..................................................................... 65 
Гипербола ........................................................................................................ 72 
Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 75 
Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 77 
Итоговое тестирование по разделу 2 «Аналитическая геометрия 
на плоскости и в пространстве» ....................................................................... 78 
Раздел 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной ......... 81 
3.1. Предел и непрерывность функции ............................................................ 81 
Предел функции. Основные теоремы о пределах ....................................... 81 
Замечательные пределы ................................................................................. 83 
Бесконечно малые и бесконечно большие функции ................................... 84 
Понятие непрерывности, точки разрыва ...................................................... 92 
Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 95 
Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 95 
3.2. Производная ................................................................................................ 96 
Понятие производной функции .................................................................... 96 
Правила дифференцирования, производные элементарных функций ..... 97 
Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала 
к приближенным вычислениям ................................................................... 100 
Производные высших порядков, логарифмическая производная,  
производная обратной функции, функции,  
заданной параметрически ............................................................................ 101 
Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 104 
Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 105 
3.3. Применение производной к исследованию функции ........................... 105 
Возрастание и убывание функции. Экстремумы ...................................... 105 
Применение производной при вычислении пределов. 
Правило Лопиталя ........................................................................................ 110 
Асимптоты, выпуклость графика функции, точки перегиба. 
Полное исследование функции ................................................................... 112 
Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 122 
4 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 123 
Итоговое тестирование по разделу 3 
«Дифференциальное исчисление функции одной переменной» ................ 124 
Раздел. 4. Интегральное исчисление функции одной переменной ................ 127 
4.1. Неопределенный интеграл ....................................................................... 127 
Первообразная и неопределенный интеграл ............................................. 127 
Таблица неопределенных интегралов 
основных элементарных функций .............................................................. 128 
Основные методы интегрирования ............................................................ 129 
Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 147 
Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 149 
4.2. Определенный интеграл ........................................................................... 150 
Определенный интеграл. 
Методы вычисления определенного интеграла ........................................ 150 
Задачи для самостоятельного решения ...................................................... 154 
Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 155 
4.3. Приложение определенного интеграла .................................................. 156 
Вычисление площади криволинейной трапеции 
с помощью определенного интеграла ........................................................ 156 
Вычисление объема тела вращения ............................................................ 159 
Вычисление длины дуги кривой ................................................................. 161 
Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 162 
Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 163 
4.4. Дифференциальные уравнения ............................................................... 163 
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ......... 165 
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ............... 166 
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка .................... 168 
Уравнения Бернулли .................................................................................... 169 
Уравнения в полных дифференциалах ....................................................... 169 
Дифференциальные уравнения высших порядков ................................... 171 
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка .................... 173 
Линейные дифференциальные однородные уравнения 
второго порядка  с постоянными коэффициентами ................................. 176 
Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 178 
5 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 180 
Итоговое тестирование по разделу 4 
«Интегральное исчисление функции одной переменной» .......................... 182 
Список терминов (глоссарий) ............................................................................ 185 
Библиографический список ................................................................................ 193 
Приложение .......................................................................................................... 195 
Итоговые вопросы по дисциплине ................................................................. 195 
Контрольная работа по разделу 1 ................................................................... 197 
Контрольная работа по разделу 2 ................................................................... 198 
Контрольная работа по разделу 3 ................................................................... 199 
Контрольная работа по разделу 4 ................................................................... 200 

Введение 
Математическое образование следует рассматривать как важнейшую 
составляющую фундаментальной подготовки специалиста любого профиля. 
Обусловлено это тем, что математика является не только мощным средством 
решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры будущего специалиста.  
Изучение математики на базовом уровне среднего (полного) общего 
образования направлено на достижение следующих целей:  
• формирование представлений о математике как универсальном языке
науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;  
• развитие логического мышления, пространственного воображения,
алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом 
для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе;  
• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в
повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;  
• воспитание средствами математики культуры личности, понимания
значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к 
математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.  
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен 
уметь: 
• выполнять операции над матрицами и решать системы линейных
уравнений; 
• применять методы дифференциального и интегрального исчисления;
• решать дифференциальные уравнения.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен 
знать: 
• основы математического анализа;
• основы линейной алгебры и аналитической геометрии;
• основы дифференциального и интегрального исчисления.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование общих 
компетенций (ОК), включающих в себя способность: 
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей 
профессии, проявлять к ней устойчивый интерес 
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые 
методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. 
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и 
нести за них ответственность. 
7 

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой 
для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального 
и личностного развития. 
ОК 5. Использовать информационно-коммуникативные технологии в 
профессиональной деятельности. 
ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями. 
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий. 
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать 
повышение квалификации. 
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности. 
В ходе изучения дисциплины ставиться задача формирования профессиональных компетенций (ПК), соответствующих виду деятельности: 
ПК 1.1. Выполнять проектирование кабельной структуры компьютерной сети. 
ПК 1.2. Осуществлять выбор технологии, инструментальных средств и 
средств вычислительной техники при организации процесса разработки и исследования объектов профессиональной деятельности. 
ПК 1.4. Принимать участие в приемо-сдаточных испытаниях компьютерных сетей и сетевого оборудования различного уровня и в оценке качества и экономической эффективности сетевой топологии. 
ПК 2.3. Обеспечить сбор данных для анализа использования и функционирования программно-технических средств компьютерных сетей. 
ПК 3.5. Организовывать инвентаризацию технических средств сетевой 
инфраструктуры. Осуществлять контроль оборудования после его ремонта. 

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра 
1.1. Матрицы и определители 
Понятие матрицы. Действия над ними 
Термин «матрица» ввел английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр. 
Прямоугольной матрицей размера m×n называется совокупность m×n 
чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n 
столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде:  
𝐴= ቌ
𝑎𝑎11
𝑎𝑎12
… 𝑎𝑎1𝑛
𝑎𝑎21
𝑎𝑎22
… 𝑎𝑎2𝑛
…
…
…
𝑎𝑎𝑚1
𝑎𝑎𝑚2
… 𝑎𝑎𝑚𝑛
ቍ 
или сокращенно в виде A = (a i j) 
 
 
(𝑖= 1, 𝑚
തതതതതത; 𝑗= 1, 𝑛
തതതതത) 
Пример: 𝐴= ቀ0
−3
1
2
7
−4ቁ 𝑚= 2
𝑛= 3      𝐵= ൭
3
0
−2
0
4
5
−7
1
1
൱ 𝑚= 3
𝑛= 3 
Числа a i j, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; 
первый индекс указывает на номер строки, второй — на номер столбца.  
Две матрицы A = (a i j) и B = (b i j) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то 
есть A = B, если a i j = b i j.  
Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом.  
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом.  
Матрица размера mхn, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.  
Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами 
главной диагонали.  
 
 
 
Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, 
называется побочной диагональю матрицы 
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n.  
9 

Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной 
диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:  
൮
𝑎𝑎11
0
… 0
0
𝑎𝑎22
… 0
…
…
…
0
0
… 𝑎𝑎𝑛𝑛
൲. 
Если все элементы aii диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:  
𝐸= ቌ
1
0 …
0
0
1 …
0
⋯
⋯
⋯
0
0 …
1
ቍ. 
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.  
      ൭
𝑎𝑎11
𝑎𝑎12
𝑎𝑎13
0
𝑎𝑎22
𝑎𝑎23
0
0
𝑎𝑎33
൱                     ൭
𝑎𝑎11
0
0
𝑎𝑎21
𝑎𝑎22
0
𝑎𝑎31
𝑎𝑎32
𝑎𝑎33
൱ 
              верхняя                                   нижняя        
      треугольная  матрица            треугольная  матрица 
Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.  
Если в матрице переставить строки со столбцами. Получим матрицу: 
𝐴𝑇= ቌ
𝑎𝑎11
𝑎𝑎21 …
𝑎𝑎𝑚1
𝑎𝑎12
𝑎𝑎22 …
𝑎𝑎𝑚2
⋯
⋯
⋯
𝑎𝑎𝑛1
𝑎𝑎𝑛2 …
𝑎𝑎𝑚𝑛
ቍ, 
которая будет транспонированной по отношению к матрице А.  
Пример:  𝐴= ቀ2
−7
4
0
1
1ቁ  𝐴𝑇= ൭
2
0
−7
1
4
0
൱. 
В частности, при транспонировании вектора-столбца получается векторстрока и наоборот.  
Если AT = A то матрица A называется симметрической. Пример: 
𝐶= ൭
1
2
−3
2
3
0
−3
0
5
൱⇒𝐶𝑇= ൭
1
2
−3
2
3
0
−3
0
5
൱= 𝐶. 
 
Кососимметрическая матрица, если AT = -A. Пример: 
𝐴= ൭
0
−2
−3
2
0
1
3
−1
0
൱. 
Произведением матрицы А на число k называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на 
число k:  
k∙A = (k∙aij). 
10