Элементы высшей математики

С. А. Осипенко 

ЭЛЕМЕНТЫ 
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 

Учебное пособие 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 51(075) 
ББК 22.1я723 
        О74 

Рецензенты: 

А. С. Кутузов, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики,  
экономики и управления Троицкого филиала ФГБОУ ВО «ЧелГУ»; 
Н. Д. Зюляркина, д-р. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Защита информации» ЮУрГУ 

Осипенко, С. А. 
О74         Элементы высшей математики : учебное пособие / Осипенко С. А. — 
Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. — 201 с. 
ISBN 978-5-4499-0201-6 

Данное пособие содержит теоретический материал, примеры решения типовых задач, 
систему задач для самостоятельной работы студентов и проверки знаний в виде итогового 
тестирования по разделу, а также примерные контрольные работы. Предложенная структура 
пособия помогает выделить главные аспекты изучаемых математических моделей, организовать и конкретизировать учебный процесс. 
Учебное пособие «Элементы высшей математики», подготовлено по дисциплине «Элементы высшей математики» в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования для студентов, обучающихся по 
специальностям 09.02.02 Компьютерные сети, 09.02.04 Информационные системы, 09.02.05 
Прикладная информатика (по отраслям) и др.  

УДК 51(075) 
ББК 22.1я723 

ISBN 978-5-4499-0201-6
© Осипенко С. А., текст, 2020
© Издательство «Директ-Медиа», макет, оформление, 2020

Оглавление 
 

Введение ................................................................................................................... 7 

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра .............................................................. 9 

1.1. Матрицы и определители ............................................................................. 9 

Понятие матрицы. Действия над ними .......................................................... 9 

Определители, свойства и вычисления ........................................................ 13 

Методы вычисления определителя матрицы .............................................. 14 

Обратная матрица ........................................................................................... 18 

Ранг, линейная зависимость/независимость строк и столбцов ................. 19 

Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 20 

Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 23 

1.2. Системы линейных уравнений .................................................................. 24 

Правило Крамера ............................................................................................ 24 

Метод Гаусса................................................................................................... 25 

Метод обратной матрицы .............................................................................. 29 

Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 30 

Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 31 

1.3. Векторная алгебра. Операции над векторами ......................................... 32 

Понятие вектора и линейные операции над векторами ............................. 32 

Понятие линейной зависимости векторов. Базис на плоскости ................ 36 

Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов ....................... 38 

Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 42 

Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 45 

Итоговое тестирование по разделу 1 «Линейная и векторная алгебра» ...... 46 

Раздел. 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве ............. 50 

2.1. Метод координат. Прямая на плоскости и в пространстве .................... 50 

Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольные, 
полярные координаты. Основные задачи метода координат .................... 50 

Уравнение прямой. Угол между двумя прямыми. 
Взаимное расположение двух прямых.  
Расстояние от точки до прямой .................................................................... 55 

Плоскость в пространстве ............................................................................. 59 

3 

Задачи для самостоятельного решения ........................................................ 61 

Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 64 

2.2. Кривые второго порядка ............................................................................ 65 

Эллипс, окружность. Парабола ..................................................................... 65 

Гипербола ........................................................................................................ 72 

Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 75 

Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 77 

Итоговое тестирование по разделу 2 «Аналитическая геометрия 
на плоскости и в пространстве» ....................................................................... 78 

Раздел 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной ......... 81 

3.1. Предел и непрерывность функции ............................................................ 81 

Предел функции. Основные теоремы о пределах ....................................... 81 

Замечательные пределы ................................................................................. 83 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции ................................... 84 

Понятие непрерывности, точки разрыва ...................................................... 92 

Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 95 

Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 95 

3.2. Производная ................................................................................................ 96 

Понятие производной функции .................................................................... 96 

Правила дифференцирования, производные элементарных функций ..... 97 

Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала 
к приближенным вычислениям ................................................................... 100 

Производные высших порядков, логарифмическая производная,  
производная обратной функции, функции,  
заданной параметрически ............................................................................ 101 

Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 104 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 105 

3.3. Применение производной к исследованию функции ........................... 105 

Возрастание и убывание функции. Экстремумы ...................................... 105 

Применение производной при вычислении пределов. 
Правило Лопиталя ........................................................................................ 110 

Асимптоты, выпуклость графика функции, точки перегиба. 
Полное исследование функции ................................................................... 112 

Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 122 

4 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 123 

Итоговое тестирование по разделу 3 
«Дифференциальное исчисление функции одной переменной» ................ 124 

Раздел. 4. Интегральное исчисление функции одной переменной ................ 127 

4.1. Неопределенный интеграл ....................................................................... 127 

Первообразная и неопределенный интеграл ............................................. 127 

Таблица неопределенных интегралов 
основных элементарных функций .............................................................. 128 

Основные методы интегрирования ............................................................ 129 

Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 147 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 149 

4.2. Определенный интеграл ........................................................................... 150 

Определенный интеграл. 
Методы вычисления определенного интеграла ........................................ 150 

Задачи для самостоятельного решения ...................................................... 154 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 155 

4.3. Приложение определенного интеграла .................................................. 156 

Вычисление площади криволинейной трапеции 
с помощью определенного интеграла ........................................................ 156 

Вычисление объема тела вращения ............................................................ 159 

Вычисление длины дуги кривой ................................................................. 161 

Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 162 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 163 

4.4. Дифференциальные уравнения ............................................................... 163 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ......... 165 

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ............... 166 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка .................... 168 

Уравнения Бернулли .................................................................................... 169 

Уравнения в полных дифференциалах ....................................................... 169 

Дифференциальные уравнения высших порядков ................................... 171 

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка .................... 173 

Линейные дифференциальные однородные уравнения 
второго порядка  с постоянными коэффициентами ................................. 176 

Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 178 

5 

Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 180 

Итоговое тестирование по разделу 4 
«Интегральное исчисление функции одной переменной» .......................... 182 

Список терминов (глоссарий) ............................................................................ 185 

Библиографический список ................................................................................ 193 

Приложение .......................................................................................................... 195 

Итоговые вопросы по дисциплине ................................................................. 195 

Контрольная работа по разделу 1 ................................................................... 197 

Контрольная работа по разделу 2 ................................................................... 198 

Контрольная работа по разделу 3 ................................................................... 199 

Контрольная работа по разделу 4 ................................................................... 200 

Введение 

Математическое образование следует рассматривать как важнейшую 
составляющую фундаментальной подготовки специалиста любого профиля. 
Обусловлено это тем, что математика является не только мощным средством 
решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры будущего специалиста.  
Изучение математики на базовом уровне среднего (полного) общего 
образования направлено на достижение следующих целей:  
• формирование представлений о математике как универсальном языке
науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;  
• развитие логического мышления, пространственного воображения,
алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом 
для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе;  
• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в
повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;  
• воспитание средствами математики культуры личности, понимания
значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к 
математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.  
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен 
уметь: 
• выполнять операции над матрицами и решать системы линейных
уравнений; 
• применять методы дифференциального и интегрального исчисления;
• решать дифференциальные уравнения.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен 
знать: 
• основы математического анализа;
• основы линейной алгебры и аналитической геометрии;
• основы дифференциального и интегрального исчисления.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование общих 
компетенций (ОК), включающих в себя способность: 
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей 
профессии, проявлять к ней устойчивый интерес 
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые 
методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. 
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и 
нести за них ответственность. 

7 

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой 
для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального 
и личностного развития. 
ОК 5. Использовать информационно-коммуникативные технологии в 
профессиональной деятельности. 
ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями. 
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий. 
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать 
повышение квалификации. 
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности. 
В ходе изучения дисциплины ставиться задача формирования профессиональных компетенций (ПК), соответствующих виду деятельности: 
ПК 1.1. Выполнять проектирование кабельной структуры компьютерной сети. 
ПК 1.2. Осуществлять выбор технологии, инструментальных средств и 
средств вычислительной техники при организации процесса разработки и исследования объектов профессиональной деятельности. 
ПК 1.4. Принимать участие в приемо-сдаточных испытаниях компьютерных сетей и сетевого оборудования различного уровня и в оценке качества и экономической эффективности сетевой топологии. 
ПК 2.3. Обеспечить сбор данных для анализа использования и функционирования программно-технических средств компьютерных сетей. 
ПК 3.5. Организовывать инвентаризацию технических средств сетевой 
инфраструктуры. Осуществлять контроль оборудования после его ремонта. 

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра 

1.1. Матрицы и определители 

Понятие матрицы. Действия над ними 

Термин «матрица» ввел английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр. 
Прямоугольной матрицей размера m×n называется совокупность m×n 
чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n 
столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде:  

𝐴 = ����11
����12
… ����1𝑛
����21
����22
… ����2𝑛
…
…
…
����𝑚1
����𝑚2
… ����𝑚𝑛


или сокращенно в виде A = (a i j) 
 
 
(𝑖 = 1, 𝑚
; 𝑗 = 1, 𝑛
) 

Пример: 𝐴 = 0
−3
1
2
7
−4𝑚 = 2
𝑛 = 3      𝐵 = 3
0
−2
0
4
5
−7
1
1
𝑚 = 3
𝑛 = 3 

Числа a i j, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; 
первый индекс указывает на номер строки, второй — на номер столбца.  
Две матрицы A = (a i j) и B = (b i j) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то 
есть A = B, если a i j = b i j.  
Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом.  
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом.  
Матрица размера mхn, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.  
Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами 
главной диагонали.  
 

 
 
Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, 
называется побочной диагональю матрицы 
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n.  

9 

Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной 
диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:  

����11
0
… 0
0
����22
… 0
…
…
…
0
0
… ����𝑛𝑛

. 

Если все элементы aii диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:  

𝐸 = 1
0 …
0
0
1 …
0
⋯
⋯
⋯
0
0 …
1

. 

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.  

      ����11
����12
����13
0
����22
����23
0
0
����33
                   ����11
0
0
����21
����22
0
����31
����32
����33

              верхняя                                   нижняя        
      треугольная  матрица            треугольная  матрица 
Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.  
Если в матрице переставить строки со столбцами. Получим матрицу: 

𝐴𝑇 = ����11
����21 …
����𝑚1
����12
����22 …
����𝑚2
⋯
⋯
⋯
����𝑛1
����𝑛2 …
����𝑚𝑛

, 

которая будет транспонированной по отношению к матрице А.  

Пример:  𝐴 = 2
−7
4
0
1
1𝐴𝑇 = 2
0
−7
1
4
0
. 

В частности, при транспонировании вектора-столбца получается векторстрока и наоборот.  
Если AT = A то матрица A называется симметрической. Пример: 

𝐶 = 1
2
−3
2
3
0
−3
0
5
⇒ 𝐶𝑇 = 1
2
−3
2
3
0
−3
0
5
= 𝐶. 

 
Кососимметрическая матрица, если AT = -A. Пример: 

𝐴 = 0
−2
−3
2
0
1
3
−1
0
. 

Произведением матрицы А на число k называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на 
число k:  
k∙A = (k∙aij). 

10