Основы начертательной геометрии. Перпендикулярность геометрических элементов

С. В. Лобанова 
Н. В. Васина 

ОСНОВЫ 
НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ 
ГЕОМЕТРИИ 
Перпендикулярность 
геометрических элементов 

Учебное пособие 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 514.18(075) 
ББК 22.151.3я7 
Л68 

Лобанова, С. В. 

Л68  
Основы начертательной геометрии. Перпендикулярность 
геометрических элементов : учебное пособие / С. В. Лобанова, 
Н. В. Васина. — Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. — 
69 с. : ил. 

ISBN 978-5-4499-0599-4 

Учебное пособие соответствует образовательным стандартам и рабочим программам технических специальностей средних специальных и 
высших учебных заведений.  
В основу учебного пособия положены принцип четкого и краткого 
изложения учебного материала, иллюстрации излагаемого материала пространственными и наглядными чертежами, а также подкрепления материала задачами различной сложности.  
Пособие предназначено для выполнения графических заданий по 
темам: «Проекция прямой и ее отрезки» и «Комплексная работа на перпендикулярность». 
Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 514.18(075) 
ББК 22.151.3я7 

ISBN 978-5-4499-0599-4
© Лобанова С. В., Васина Н. В., текст, 2020
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение ................................................................................................................. 4 

1. Определение натуральной величины отрезка ................................................ 5 

1.1. Прямые частного положения ................................................................. 5 

1.1.1. Прямые уровня .............................................................................. 5 

1.1.2. Проецирующие прямые. Условие видимости на чертеже ....... 8 

1.2. Прямые общего положения ................................................................. 12 

2. Перпендикулярность геометрических элементов ....................................... 16 

2.1. Перпендикулярность прямой и плоскости ........................................ 16 

2.1.1. Построение прямой, перпендикулярной плоскости ............... 16 

2.1.2. Построение плоскости, перпендикулярной прямой ............... 20 

2.2. Перпендикулярность плоскостей ........................................................ 22 

2.3. Перпендикулярность двух прямых ..................................................... 25 

3. Позиционные задачи ....................................................................................... 28 

3.1. Пересечение плоскостей ...................................................................... 28 

3.2. Пересечение прямой линии с плоскостью ......................................... 32 

4. Задачи по теме «Перпендикулярность геометрических элементов» ........ 36 

4.1. Задачи на построение к плоскости перпендикуляра 
заданной длины ............................................................................................ 36 

4.2. Задачи на определение расстояния от точки до плоскости ............. 41 

4.3. Задачи на определение расстояния от точки до прямой .................. 44 

4.4. Комплексная задача на перпендикулярность .................................... 51 

4.5. Задачи на множество точек, равноудаленных от заданных ............ 54 

Рекомендации по выполнению работ ............................................................... 59 

Литература ............................................................................................................ 66 

Приложение 1. Проекции прямой и ее отрезков ............................................. 67 

Приложение 2. Комплексная задача на перпендикулярность ....................... 68 

3 

 
ВВЕДЕНИЕ 

Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в котором пространственные объекты, представляющие собой 
совокупность точек, линий и поверхностей, изучаются по их проекционным отображениям. Решение задач способами начертательной 
геометрии осуществляется  графическим путем.  
Одной из основных задач начертательной геометрии является 
создание метода отображения пространственных фигур на плоскость 
и разработка способов решения позиционных и метрических задач, 
связанных с этими объектами, по их плоскостным отображениям. 
Позиционными называются задачи на определение взаимного 
расположения фигур. Метрическими называются задачи, направленные на определение метрических характеристик геометрических 
объектов, а также характеристик их взаимного расположения (расстояний и углов между ними). 
Любая метрическая задача на комплексном чертеже может 
быть решена с помощью двух основных (элементарных) метрических задач: 
1. Первая основная метрическая задача — на определение 
натуральной величины отрезка. Один из способов ее решения — метод прямоугольного треугольника. 
2. Вторая основная метрическая задача — на перпендикулярность прямой и плоскости. 
Большинство позиционных и метрических задач решаются на 
двухплоскостном чертеже (горизонтальная и фронтальная плоскости 
проекций). И решения задач на перпендикулярность геометрических 
элементов рассмотрены на двухплоскостном чертеже. 
В пособии решение позиционных задач и определение метрических характеристик геометрических объектов сведено в отдельные 
главы. 

4 

 
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ 
ВЕЛИЧИНЫ ОТРЕЗКА 

Всякую линию можно рассматривать как геометрическое место точки, движущейся по некоторому направлению.  
Прямую в пространстве можно задать двумя способами: 
1) точкой и направлением; 
2) двумя точками. 
Проекция прямой на плоскость (в общем случае) есть прямая.  
Прямые в пространстве могут занимать частное и общее положение. 
Положение прямой в пространстве вполне определяется двумя 
ее проекциями на две взаимно перпендикулярные плоскости. Это 
правило имеет исключение, когда две проекции искомой прямой лежат на одном перпендикуляре к оси X (см. задачу 1.3). В этом случае 
для определения положения такой прямой в пространстве необходимы три ее проекции. 
При решении позиционных и метрических задач вводятся следующие обозначения углов: 
α — угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций (Н); 
β — угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (V); 
γ — угол наклона прямой к профильной плоскости проекций (W). 
Чтобы показать на чертеже натуральную величину, будем использовать следующее изображение 
. 

1.1. Прямые частного положения 

Прямыми частного положения называются прямые, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций. 

1.1.1. Прямые уровня 

Прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, называются прямыми уровня. На эту плоскость прямые проецируются в 
натуральную величину. 
Горизонталь — прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций. 

5 

 
Фронталь — прямая, параллельная фронтальной плоскости 
проекций. 
Профильная прямая — прямая, параллельная профильной 
плоскости проекций. 

ЗАДАЧА 1.1. Определить натуральную величину отрезка AB, 
его углы наклона к плоскостям H, V, W. Построить точку C, принадлежащую заданному отрезку при условии, что длина отрезка AC 
равна 30 мм (рис. 1).  

Решение: 
Выясним, какое положение в пространстве занимает заданный 
объект.  
Так как проекция A''B''||OX, делаем вывод, что отрезок AB является прямой уровня, а именно — горизонталью. Следовательно, 
положение проекции отрезка A'B' даст нам возможность без дополнительных построений определить натуральную длину объекта и его 
углы β и γ, а угол α в данном случае равен нулю. 
Далее на проекции A'B', так как это натуральная величина отрезка, от точки A' откладываем расстояние 30 мм и определяем горизонтальную проекцию точки C,затем по линиям связи — фронтальную и профильную проекции точки. 

 
Рис. 1 

ЗАДАЧА 1.2. Определить натуральную величину отрезка EF, 
его углы наклона к плоскостям H, V, W. Построить точку D, принадлежащую заданному отрезку при условии, что длина отрезка ED 
равна 25 мм (рис. 2). 

6 

 
Решение: 
Выясним, какое положение в пространстве занимает заданный 
объект.  

 
Рис. 2 

Так как проекция E'F'||OX, делаем вывод, что отрезок EF является прямой уровня, а именно — фронталью. Следовательно, положение проекции отрезка E''F'' даст нам возможность без дополнительных построений определить натуральную длину объекта и его 
углы α и γ, а угол β в данном случае будет равен нулю. 
Далее на проекции E''F'', так как это натуральная величина, от 
точки E'' откладываем расстояние 25 мм и определяем фронтальную 
проекцию точки D, а затем по линии связи определяем горизонтальную и профильную проекции точки, принадлежащей отрезку EF. 

ЗАДАЧА 1.3: Определить натуральную величину отрезка LM, 
его углы наклона к плоскостям H, V, W. Построить точку N, принадлежащую заданному отрезку при условии, что длина отрезка MN 
равна 25 мм (рис. 3). 
Решение: 
Выясним, какое положение в пространстве занимает заданный 
объект.  
Так как проекция L'M'||OY, а L''M''||OZ (т.е. координата x постоянна), делаем вывод, что отрезок LM является профильной прямой уровня. Следовательно, положение проекции отрезка L'''M''' 
даст нам возможность определить натуральную длину объекта и его 
углы наклона к плоскостям α и β, а угол γ равен нулю. 

7