Обыкновенные дифференциальные уравнения

В. Н. Веретенников 

Обыкновенные 
дифференциальные уравнения 

Учебное пособие 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 519.62(075) 
ББК 22.161.6я73 
В31 

Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ 

Рецензент: 
Вагер Б. Г., – д-р физ.-мат. наук, проф. СПбАСУ 

Веретенников, В. Н. 

В31 
Обыкновенные 
дифференциальные 
уравнения 
: 
учебное 

пособие / В. Н. Веретенников. – Москва ; Берлин : Директ-Медиа,  
2020. – 95 с. 

ISBN 978-5-4499-1583-2 

В учебном пособии предпринята попытка реализовать идею изложения 
дисциплины высшая математика в виде компактного пособия-конспекта, 
содержащего, тем не менее, весь излагаемый на лекциях материал. Уровень 
подробности доказательств рассчитан на студента, активно работающего на 
лекциях. 
После изложения каждой темы выделены базисные понятия, основные 
задачи, базисные методы решения основных задач. Дан перечень умений и 
навыков, которыми должен владеть студент, изучивший курс. 
Пособие, не заменяя собой обстоятельного учебника, может быть 
полезным для текущей работы над курсом для самостоятельной работы и при 
подготовке к экзаменам студентам гидрометеорологического университета. 
Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 519.62(075) 
ББК 22.161.6я73 

ISBN 978-5-4499-1583-2 
© Веретенников Н. Н., текст, 2020 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Переход на двухуровневую систему образования сопровождается 
перестройкой курса высшей математики с целью более экономного и 
эффективного его преподавания. Для этого нужно более четко представлять структуру курса, уметь выделять в каждом разделе основное, чтобы сосредоточить на нем внимание, как преподавателей, так и 
студентов. 
Основу любого курса составляют понятия, среди которых есть 
базисные (основные, фундаментальные). Эти понятия выделены, показаны в развитии, показана их связь с приложениями, чтобы студент 
усваивал курс не фрагментарно, не формально. Поставленные цели 
преподавания сопровождаются конкретным перечнем знаний и умений, наличие которых у студентов можно проверить и оценить с помощью соответствующего контроля. 
Учебная дисциплина отличается от науки, прежде всего, тем, что 
в ней имеется технология преподавания. Поэтому базис дисциплины 
состоит из технологической части (технология изучения дисциплины 
по разделам, контроль усвоения курса, методическое обеспечение) и 
теоретической части (методология дисциплины, цели курса, базисные 
понятия разделов, основные задачи, решаемые в разделах, базисные 
методы решения основных задач, перечень теоретических знаний, 
умений и навыков в решении задач). 
 
 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным 
уравнениям 
В математике дифференциальные уравнения занимают особое 
место. Математическое исследование самых разнообразных явлений, 
происходящих в природе, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчиняется то или иное явление, записываются в виде дифференциальных уравнений. 

Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которые неизвестная функция входит под знак производной. 

 

Основная задача теории дифференциальных уравнений – изучение 
функций, являющихся решениями таких уравнений. 

Дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции 
являются функциями одной переменной, и на дифференциальные 
уравнения в частных производных, в которых неизвестные функции 
являются функциями двух и большего числа переменных. 
Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению. Представим себе водоем, в который втекает вода (или из которого вытекает). Объем воды, находящейся в водоеме, обозначим через V. Этот объем со временем меняется, т.е. V есть функция времени 

t. Каков смысл величины dt
dV ? 

Ясно, что
)
(
)
(
t
V
t
t
V
dV
−
∆
+
=
 есть объем воды, поступающей в 
водоем (при отрицательном значении dV  − ушедший из водоема) за 

время dt. Поэтому
)
(t
q
dt
dV =
 есть скорость изменения количества 

воды в водоеме. Величина
)
(t
q
 носит специальное название потока 
воды. Если
0
>
q
, то вода в водоем поступает, если же
0
<
q
, то вода 
из водоема вытекает, т.е. масса воды в водоеме уменьшается.  
Если зависимость потока воды от времени известна, т.е. известна 
функция
)
(t
q
, то задача нахождения V математически не отличается 
от задачи определения пути по заданной скорости, которая как мы 
знаем, решается с помощью вычисления определенного интеграла. 

Полученное уравнение является дифференциальным, так как в 

него входит производная dt
dV  искомой функции V. Для того чтобы 

наша задача имела определенное решение, нужно задать объем
0
V  
воды, который находился в водоеме в определенный начальный момент времени
0t . Условие
0
V
V =
 при
0t
t =
 называют начальным 
условием, выделяющим одно определенное решение исходного уравнения. 
Объем (количество) воды, которая втекла в водоем (или вытекла 

из него) за время от
0t  до
1t , есть ∫

1

0
)
(

t

t
dt
t
q
. Поэтому количество воды в 

водоеме в момент
1t  равно 

∫
+
=

1

0
)
(
)
(
0
1

t

t
dt
t
q
V
t
V
. 

Это выражение справедливо для любого момента времени
1t  и, 
следовательно, полностью определяет искомую зависимость V от
1t . 
При значении
0
1
t
t =
 интеграл в последней формуле равен нулю и

0
0)
(
V
t
V
=
. Таким образом, полученное решение действительно удовлетворяет нашему начальному условию. Однако поток воды как 
функция времени известен отнюдь не всегда! Чаще известен физический закон, указывающий зависимость потока от напора воды, т.е. от 
высоты z уровня воды в водоеме. Так, например, можно считать, что

kz
q
=
, где коэффициент k − это некоторое положительное постоянное число, а знак минус означает, что вода вытекает. 
Имеет место совсем другой закон, установленный впервые учеником Галилея Э. Торричелли1
z
a
q
=
. 
Возможна также комбинация постоянного поступления воды𝑞0 и 
вытекания ее по закону
kz
q
=
 или
z
a
q
=
. В каждом из этих случаев, пока интересующая нас задача не решена, зависимость
)
(t
z
z =
 
уровня воды в водоеме от времени неизвестна, а значит, нам неизвестен и поток. 

                                                           

11 Э. Торричелли −  итальянский математик и физик, ученик Галилея. 

Известен как автор концепции атмосферного давления и продолжатель дела Галилея в области разработки новой механики. 

Мы сформулировали здесь задачу в общем случае для произвольной зависимости
)
(z
q
q =
 потока q от уровня z. В уравнение

)
(z
q
dt
dV =
 входят две неизвестные величины: количество (объем) V 

воды и уровень воды z. Очевидно, эти величины не независимы: каждому уровню z соответствует вполне определенный объем V воды, 
так что V есть функция
)
(z
V
 переменной z. Ясно, что вид функции

)
(z
V
 полностью определяется формой водоема. 

2. Дифференциальные уравнения первого порядка 
2.1. Основные понятия 
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется 
уравнение вида
0
)
;
;
;
;
(
)
(
=
′
n
y
y
y
x
F

, связывающее независимую 
переменную x, искомую функцию
)
(x
y
y =
, а также её производные

)
(
,
),
(
),
(
)
(
x
y
x
y
x
y
n

′′
′
 (наличие хотя бы одной производной обязательно). Здесь F − заданная функция своих аргументов. 

Порядком дифференциального уравнения называется порядок 
наивысшей производной, входящей в уравнение. 

Например, 

3
xy
y =
′
 – дифференциальное уравнение 1-го порядка; 

0
cos
=
+
′′
y
y
 – дифференциальное уравнение 2-го порядка; 
0
16
=
′′
−
y
y IV
 – дифференциальным уравнением 4-го порядка. 

 

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале
)
;
(
b
a
 называется всякая функция
)
(x
y
ϕ
=
, имеющая на этом ин
тервале производные до n-го порядка включительно и такая, что 
подстановка функции
)
(x
y
ϕ
=
, а также её производных в диффе
ренциальное уравнение обращает последнее в тождество по x на 
интервале
)
;
(
b
a
. 

 
Например, функция
x
xe
y
2
=
 является решением дифференциально
го уравнения 2-го порядка
0
4
4
=
+
′
−
′′
y
y
y
 на интервале
)
;
-(
∞
∞
. 

В самом деле, 

)
1(
4
),
2
1(
2
2
x
e
y
x
e
y
x
x
+
=
′′
+
=
′
. 

Подставив в данное уравнение найденные значения
y
y
y
′′
′ и
,
, 

получим –  

).
;
-(
0
)
2
1
1(
4
4
)
2
1(
4
)
1(
4
2
2
2
2

∞
∞
∈
∀
≡
+
−
−
+
=
+
+
−
+
x
x
x
x
e
xe
x
e
x
e
x
x
x
x

 

 

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. 
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. 

2.2. Эквивалентные дифференциальные уравнения 
Задача Коши 

Изучение дифференциальных уравнений начнем с наиболее простого уравнения – уравнения первого порядка. 

Определение. Уравнение вида 

                                                
0
)
,
,
(
=
′y
y
x
F
,  
 
 
 
(2.1) 

где x − независимая переменная; y − искомая функция; − её производная, называется дифференциальным уравнением 1-го порядка. 

Если в уравнении (2.1) удается выразить производную y′ через x 
и y, то получаем уравнение в нормальной форме 

)
,
(
y
x
f
y =
′
  
 
 
 
 
(2.2) 

Уравнение (2.2) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Будем рассматривать именно 
такие уравнения. 
В некоторых случаях уравнение (2.2) удобно записывать в виде 

)
,
(
y
x
f
dx
dy =
 

или в эквивалентном (2.2) виде 

0
)
,
(
=
− dy
dx
y
x
f
. 

Последнее уравнение является частным случаем общего уравнения в дифференциальной форме 

0
)
,
(
)
,
(
=
+
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
, 
 
 
 
(2.3) 

где
)
,
(
и
)
,
(
y
x
Q
y
x
P
 - известные функции. 
Уравнение в симметричной форме (2.3) удобно 
тем, что переменные x и y в нем равноправны, т.е. каждую из них 
можно рассматривать как функцию другой переменной 

Два дифференциальных уравнения 

0
)
;
;
(
,0
)
;
;
(
2
1
=
′
=
′
y
y
x
F
y
y
x
F
 

называются эквивалентными в некоторой области G изменения 
величин
y
y
x
′
,
,
, если всякое решение
G
x
y
∈
)
(
 одного из этих урав
нений является решением другого уравнения и наоборот. 

При преобразовании дифференциальных уравнений надо следить 
за тем, чтобы преобразованное уравнение было эквивалентно исходному уравнению. 
Если дифференциальное уравнение имеет решение, то, как правило, множество его решений оказывается бесконечным. Впрочем, 
дифференциальное уравнение может иметь только одно решение или 
вообще не иметь вещественных решений. 
Чтобы выделить определенное решение уравнения (2.2), надо задать начальное условие, которое заключается в том, что при некотором значении
0x  независимой переменной x заранее дано значение
0y  
искомой функции
)
(x
y
: 

0
0)
(
y
x
y
=
 или
0
0
y
y
x
x
=
=
. 
 
 
 
(2.4) 

Геометрически это означает, что задается точка
)
;
(
0
0
0
y
x
M
, через 
которую должна проходить искомая интегральная кривая. 

Задачу отыскания решения
)
(x
y
 уравнения (2.2), удовлетворяюще
го начальному условию (2.4), называют задачей Коши (начальной 
задачей) для уравнения (2.2). 

2.3. Теорема существования и единственности решения 
задачи Коши для уравнения
)
;
(
y
x
f
y =
′
 

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (2.2) имеет 
решение, дает теорема Коши, которая является основной в теории 
дифференциальных уравнений. 
Теорема 3.1 (существования и единственности решения). Если 
функция 
)
;
(
y
x
f
определена в некоторой области G плоскости Oxy, 

1. непрерывна в точке
)
;
(
0
0
0
y
x
M
 и в её окрестности Ω, то существует решение
)
(x
y
y =
 уравнения (2.2), такое, что
0
0)
(
y
x
y
=
. 
 2. Если ограничена частная производная
y
f ∂
∂
 данной функции, то 
найдется интервал
)
;
(
0
0
ε
ε
+
−
x
x
 оси Ox, на котором это решение 
единственно.  
Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального 
уравнения (2.2) решать вопрос о существовании и единственности его 
решения. 
Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку
)
;
(
0
0
0
y
x
M
 проходит единственная интегральная кривая. 
Очевидно, в области G уравнение (2.2) имеет бесконечное число различных решений. 
Теорема 3.1 имеет локальный характер: она гарантирует существование единственного решения
)
(x
y
ϕ
=
 уравнения (2.2) лишь в 
достаточно малой окрестности точки
0x . 
Из теоремы 3.1 вытекает, что уравнение (2.2) имеет бесконечное 
множество различных решений (например, одно решение, график которого проходит через точку
)
;
(
0
0 y
x
; другое решение, когда график 
проходит через точку
)
;
(
1
0 y
x
 и т.д.). 

Пример 3.1. В уравнении
y
x
y
+
=
′
 функция
y
x
y
x
f
+
=
)
;
(
 опреде
лена и непрерывна во всех точках плоскости Oxy и имеет всюду

1
=
∂
∂
y
f
. В силу теоремы 3.1 через каждую точку
)
;
(
0
0 y
x
 плоско
сти Oxy проходит единственная интегральная кривая этого уравнения. 

Теорема 3.1 дает достаточные условия существования единственного решения уравнения (2.2). Это означает, что может существовать единственное решение
)
(x
y
y =
 уравнения (2.2), удовлетворяющее условию (2.4), хотя в точке
)
;
(
0
0 y
x
 не выполняются условия 
1) или 2) или оба вместе. 

Пример 3.2. Для уравнения
2
1 y
y =
′
 имеем
2
1
)
;
(
y
y
x
f
=
. В точках 

оси Ox функции
y
f
f
∂
∂
и
 разрывны, причем
∞
→
=
∂
∂
→0

3
2
y
y
y
f
. 

Но через каждую точку оси Ox проходит единственная интегральная 
кривая
3
0)
(
3
x
x
y
−
=
. 

 

Замечание. Если отказаться от ограниченности
y
f ∂
∂
, то получа
ется следующая теорема существования решения. 

 
Теорема 3.2. Если функция
)
;
(
y
x
f
непрерывна в некоторой 
окрестности точки
)
;
(
0
0 y
x
, то уравнение (2.2) имеет в этой 
окрестности, по крайней мере, одно решение
)
(x
y
ϕ
=
, принимающее при
0x
x =
 значение
0y . 

Общее и частное решения уравнения 

Дадим два основных определения. 

Определение. Общим решением дифференциального уравнения 
(2.2) в некоторой области Ω существования и единственности решения задачи Коши называется функция
)
;
(
C
x
y
ϕ
=
, обладающая сле
дующими свойствами: 
1) при любых значениях произвольной постоянной C она обращает 

уравнение (2.2) в тождество, 

2) значения постоянной величины C можно подобрать так, чтобы 

она удовлетворяла условиям (2.4). 

 
Общее решение, полученное в неявном виде: 

0
)
;
;
(
=
Φ
C
y
x
 

называется общим интегралом дифференциального уравнения. 

 

Определение. Частным решением уравнения (2.2) называется 
функция
)
;
(
0
C
x
y
ϕ
=
, которая получается из общего решения

)
;
(
C
x
y
ϕ
=
 при определенном значении постоянной
0
C
C =
. 

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (2.2) 
можно определить, как множество всех частных решений уравнения. 
Уравнение 

0
)
;
;
(
0 =
Φ
C
y
x
, 

где
−
0
C
 некоторое конкретное значение постоянной C, называется 
частным интегралом.