Интегральное исчисление. Определённый интеграл. Задачник- практикум. В 2-х ч. Ч.2

В. Н. Веретенников, Е. А. Бровкина  

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ 

В двух частях 
Часть 2 

Учебно-методическое пособие 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 517.3(075)  
ББК 22.161.1я73 

Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ 

Рецензент: 
Вагер Б. Г. – д-р физ.-мат. наук, проф. СПбАСУ 

Веретенников, В. Н. 
В31   Интегральное исчисление. Определённый интеграл. Задачник- 
     практикум  : учебно-методическое пособие. В 2-х ч. Ч.2 / В. Н. 
Веретен-ников, Е. А. Бровкина. – Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. 
– 66 с.

ISBN 978-5-4499-1660-0  

Пособие является шестым выпуском учебника по всем разделам 
курса математики для бакалавров гидрометеорологических направлений, 
соответствует государственному образовательному стандарту и 
действующим программам. 
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у 
них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы 
может быть достигнута при такой организации учебного процесса, 
когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания 
(ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением 
оценок. 
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и 
предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (
контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ. 
Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 517.3(075) 
ББК 22.161.1я74 

ISBN 978-5-4499-1660-0
© Веретенников Н. Н., Бровкина Е. А., текст, 2020 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего опыта 
чтения лекций и ведения практических занятий по математике в 
РГГМУ. Оно предназначено как для студентов, так и для преподавателей, 
особенно молодых, начинающих вести практические занятия. 
 
Пособие преследует цель помочь активному и неформальному 
усвоению студентами изучаемого предмета. При составлении пособия 
имелось в виду, что им будут пользоваться студенты заочного факультета. 
В связи с этим материал каждой темы разбит, как правило, на четыре 
пункта. 
 
В разделе – «Основные теоретические сведения» – приводятся основные 
теоретические сведения с достаточной полнотой и доказательно 
(заголовок раздела опускается). Иногда после формулировки определения 
или теоремы даются поясняющие примеры или некоторые комментарии, 
чтобы облегчить студентам восприятие новых понятий. Там, где 
это, возможно, дается геометрическая и физическая интерпретация математических 
понятий. 
В разделе – «Опорный конспект» – вводятся и разъясняются все базисные 
понятия и методы. Даются иллюстрирующие примеры, вопросы 
для самопроверки, решаются типовые задачи. Материал располагается 
в той же последовательности, что и на лекциях, но без доказательств. 
Даются только определения, формулировки и пояснения теорем, их физическая 
и геометрическая интерпретация, чертежи, выводы, правила. 
Второстепенные вопросы опущены. 
Опорный конспект целесообразен для первичного, быстрого ознакомления 
с курсом математики, а далее нужно продолжить изучение 
теорию по разделу «Основные теоретически сведения», где все изложено 
с достаточной полнотой и доказательно. Опорный конспект полезен 
и для закрепления изученного материала, для восстановления в памяти 
нужных понятий при изучении последующих разделов курса и других 
дисциплин, опирающихся на математику. 
 
В разделе «Вопросы для самопроверки» – содержатся вопросы по 
теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, 
но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое 
положение. Назначение этого пункта – помочь студенту в самостоятельной 
работе над теоретическим материалом, дать ему возможность 
самому проконтролировать усвоение основных понятий. Многие 
контрольные вопросы направлены на раскрытие этой сути. Из этого 

раздела преподаватель может черпать вопросы для проверки готовности 
студентов к практическому занятию по той или иной теме. 
 
В разделе «Примеры решения задач» – разобраны типичные примеры, 
демонстрирующие применение на практике результатов теории. 
При этом большое внимание уделяется обсуждению не только «технических 
приемов», но и различным «тонким местам», например, условиям 
применимости той или иной теоремы или формулы. 
 
Назначение раздела «Задачи и упражнения для самостоятельной 
работы» – определено его названием. При подборе упражнений были 
использованы различные источники, в том числе широко известные задачники. 
В конце задачи дается ответ и указание. 
 
Начало и конец доказательства теоремы и решений задач отмечаются 
соответственно знаками ▲ и ▼. 
 
В пособии приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми 
должен владеть студент; указана используемая литература. 
 
Автор надеется, что данное пособие поможет студентам в овладении 
методами линейной алгебры, в их самостоятельной работе над 
предметом. Он также выражает надежду, что пособие будет полезным 
для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью воспримет 
все критические замечания и пожелания, направленные на 
улучшение его содержания. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

II. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 
Опорный конспект 
1. Понятие определенного интеграла
Определение 1. Разбиением P отрезка ; , , называется конечная 
система точек , , ⋯ , этого отрезка такая, что 

⋯ . 

Отрезки ; 1, 2, ⋯ , называются отрезками разбиения 
P. 
Максимум из длин отрезков ∆разбиения 
называется параметром разбиения P. 
Определение 2. Говорят, что имеется разбиение ; с отмеченными 
точками отрезка ; , если имеется разбиение P отрезка ; и в 
каждом из отрезков ; разбиения P выбрано по точке ∈
 ; 1, 2, ⋯ , . 

Набор ; ; ⋯ , обозначается одним символом c. 
Пусть функция определена на отрезке ; , где . 

Если: 

1) на отрезок ; нанести разбиение ; с отмеченными точками. 


2) Вычислить значения функции в отмеченных точках и
3) Составить сумму

∆∆⋯ ∆∑
∆, 

то она называется интегральной суммой функции на 
ке ; . 

Геометрически сумма представляет собой алгебраическую 
сумму площадей прямоугольников, в основании которых лежат частичные 
отрезки ∆, а высоты равны . 
По-разному деля отрезок ; на n частичных отрезков и по-
разному выбирая в них отмеченные точки, можно для всякой заданной 
функции и всякого заданного отрезка ; составить бесчисленное 
множество различных интегральных сумм. 

При этом оказывается, что все эти различные интегральные суммы при 

неограниченном возрастании n и при стремлении к нулю параметра 
разбиения, имеют один общий предел. 

Определение. 
Число 
J 
называется 
пределом 
интегральных 
сумм ∑
∆функции на отрезке ; , если для любого 
числа 0 найдется число 0 такое, что для любого разбиения P 
отрезка ; на части с длинами ∆для всех 1, 2, ⋯ , (т.е. ), неравенство | ∑
∆| будет выполняться при 
любом выборе точек . 

Для обозначения предела интегральных сумм употребляется запись  

lim→∑
∆. 

Число δ зависит от выбора числа ε, и поэтому иногда пишут . 

Определение. Если при любых разбиениях отрезка ; , на частичные 
отрезки ; и при любом выборе точек в них, интегральные 
суммы ∑
∆при → 0 имеют один и тот же конечный 
предел J, то этот предел называют определенным интегралом 
в смысле Римана от функции по отрезку ; . 

Обозначение . Итак, по определению 

lim→∑
∆. 

 Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пре-
делами интеграла; 
 x называется переменной интегрирования; 
 – подынтегральной функцией, 
 – подынтегральным выражением. 
Так как определенный интеграл определен нами при условии, что 
выполнено условие , то дополним его определение следующими 
соглашениями: будем считать, что 

 Если , то 0. 

 Если , то ‒ . 

2. Условия интегрируемости функций 
Определение. Функция , определенная на отрезке ; называ-
ется интегрируемой на этом отрезке, если для нее существует опреде-
ленный интеграл . 

Теорема (необходимое условие интегрируемости функции). Если 
функция интегрируема на отрезке ; , то она ограничена на 
этом отрезке. 
Теорема 
(достаточное 
условие 
интегрируемости 
функции). 

ция , непрерывная на отрезке ; , интегрируема на этом отрез-
ке. 
3. Свойства определенного интеграла 
Перечислим некоторые свойства определенного интеграла. При 
этом будем считать, что все рассматриваемые функции непрерывны, а, 
следовательно, интегрируемы на отрезке ; . 
1. Определенный интеграл не зависит от обозначений переменной инте-
грирования, т.е. 

⋯. 

Линейность определенного интеграла 
2. Постоянный множитель можно выносить за знак (вносить под 
знак) определенного интеграла: 

∙ ∙ . 

3. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слага-
емых: 

. 

  Следствие. Если функции и интегрируемы на отрезке ; , 
то их линейная комбинация также является интегри-
руемой на этом отрезке, причем 

. 

4. Если функции и интегрируемы на отрезке ; , то 
функция также интегрируемы на отрезке ; . 

5. Если функция интегрируема на отрезке ; , то она также 
интегрируема на любом отрезке ; ⊂ ; . 
6. Аддитивность определенного интеграла 
Если функция интегрируема на наибольшем из отрезков ; , 
; , ; , то она интегрируема на двух других отрезках, причем 

. 

при любом расположении a, b, c. 
7. Оценка интеграла 

Если 0, , то 0. 

8. Монотонность интеграла 
Если g, ∈ ; , , то  

g. 

9. Общая оценка интеграла 
Если 
функция интегрируема 
на 
отрезке ; , , 
то 
ция || также интегрируема на отрезке ; причем 

||. 

10. Если min∈;, max∈;и , то 

. 

11. Теорема о среднем 
Если функция непрерывна на отрезке ; , то на этом отрезке 
существует хотя бы одна точка , , такая, что верно 
равенство 

. 

Определение. Число 

. 

называется средним значением функции на отрезке ; . 
 
Если функция непрерывна на отрезке ; , то найдется 
ка ∈ ; такая, что. 
 

Интегрирование четных и нечетных функций в пределах 
симметричных относительно начала координат 

1. Если функция – четная, то 2 ‒. 

2. Если же функция – нечетная, то 0
‒. 

4. Вычисление определенного интеграла 
Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-
Лейбница: 

, 

где одна из первообразных подынтегральной функции . 
Вычислить – значит найти, пользуясь известными мето-
дами интегрирования, одну из первообразных для функции и вы-
числить разность ее значений на концах промежутка. 
4.2. Интегрирование по частям определенного интеграла 

Для интегралов вида , где – многочлен, а 
– основная элементарная функция, применяется формула интегри-
рования по частям. 
Теорема. Если функции и имеют непрерывные производные 
на отрезке ; , то 

. 

Отличие от аналогичной формулы для неопределенного интеграла 
только в расстановке пределов. 
Если тригонометрическая или показательная функция, то 

, . 

 
Во всех остальных случаях наоборот, 

, . 

 
Формула интегрирования по частям применима и для других инте-
гралов, если интеграл справа проще интеграла слева. 
 

4.3. Замена переменной в определенном интеграле 
Пусть: 
1. функция определена и непрерывна на отрезке ; ; 
2. функция gопределена и непрерывна вместе с производной 
на отрезке ; , где g, g, и g. Тогда 

gg′. 

 
Замена переменной в определенном интеграле требует осторожно-
сти и обязательного выполнения всех перечисленных условий, налага-
емых на функцию g. При соблюдении этих требований важно 
отметить, что замена переменной в определенном интеграле приводит в 
общем случае к интегралу с новыми пределами интегрирования. 
Эти пределы находятся так: 
1) в функцию gподставляется сначала нижний предел a за-
данного интервала и решается уравнение g. Значение t, 
найденное из него, и будет новым нижним пределом . Если этому 
уравнению удовлетворяет не одно, а несколько значений t, то за зна-
чение можно принять любое из них. 
2) Затем для определения нового предела в функцию gпод-
ставляется верхний предел b заданного интеграла и решается уравне-
ние g. Найденное из этого уравнения значение t будет новым 
верхним пределом . Если это уравнение имеет несколько корней, то 
за значение можно принять любое из них. 
3) Однако, свобода выбора чисел и ограничивается требованием, 
чтобы значения функции gне выходили из отрезка ; , в кото-
ром определена и непрерывна подынтегральная функция . 
Сделав замену переменной, изменив пределы интегрирования, после 
вычисления преобразованного определенного интеграла нет необходи-
мости переходить к старой переменной, как это мы делали при вычисле-
нии неопределенного интеграла с помощью замены переменной. 
Во многих случаях приходится вместо подстановки g, кото-
рая переменную интегрирования x заменяет функцией новой перемен-
ной, вводить новую переменную t как функцию старой переменной x, 
т.е. полагать . 
В этом случае новые пределы интегрирования , . 
Если соотношение разрешить относительно x, то окажется,