Интегральное исчисление. Определённый интеграл. В 2-х ч. Ч. 1

В. Н. Веретенников 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

В двух частях 
Часть 1 

Учебное пособие 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 517.3(075)  
ББК 22.161.1я73 

Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ 

Рецензент: 
Вагер Б. Г. – д-р физ.-мат. наук, проф. СПбАСУ 

Веретенников, В. Н. 
В31   Интегральное исчисление. Определённый интеграл: учебное        
пособие. В 2-х ч. Ч. 1 / В. Н. Веретенников. – Москва ;         Берлин : 
Директ-Медиа, 2020. – 60 с. 

ISBN 978-5-4499-1659-4 

Пособие является шестым выпуском учебника по всем разделам 
курса математики для бакалавров гидрометеорологических направлений, соответствует государственному образовательному стандарту и 
действующим программам. 
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у 
них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, 
когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания 
(ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок. 
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и 
предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ. 

Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 517.3(075) 
ББК 22.161.1я73 

ISBN 978-5-4499-1659-4 
© Веретенников Н. Н., текст, 2020 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения практических занятий по математике в 
РГГМУ. Оно предназначено как для студентов, так и для преподавателей, особенно молодых, начинающих вести практические занятия. 
 
Пособие преследует цель помочь активному и неформальному 
усвоению студентами изучаемого предмета. При составлении пособия 
имелось в виду, что им будут пользоваться студенты заочного факультета. В связи с этим материал каждой темы разбит, как правило, на четыре пункта. 
 
Начало и конец доказательства теоремы и решений задач отмечаются соответственно знаками ▲ и ▼. 
 
В пособии приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми 
должен владеть студент; указана используемая литература. 
 
Автор надеется, что данное пособие поможет студентам в овладении методами линейной алгебры, в их самостоятельной работе над 
предметом. Он также выражает надежду, что пособие будет полезным 
для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью воспримет все критические замечания и пожелания, направленные на 
улучшение его содержания. 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 
Речь идет о важнейшем понятии математики; о мощном методе решения многих задач естествознания, а также о способе представления 
многих величин, встречающихся в физике, химии, математике и других 
науках. 
1. Задачи, приводящие к понятию 
определенного интеграла 
1.1. Задача о площади криволинейной трапеции 
Пусть функция определена, непрерывна и положительна в 
промежутке ; . 
Рассмотрим плоскую фигуру , ограниченную 
 сверху графиком функции , 
 слева и справа – отрезками и прямых и , 
 снизу – осью Ox (рис. 1.1). 
 Такие фигуры называются криволинейными трапециями. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции и вместе с 
тем уточнить смысл самого понятия площади фигуры . 
▲ Отрезок ; точками ⋯ разобьем на n элементарных (частичных) отрезков 

; , ; , ⋯ , ;  . 

Длины частичных отрезков обозначим через 

∆1, 2, ⋯ , . 
 
 
 
 
 y  
                                        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
n
A  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
          
 
 
 
 
 
 
 
           
0
A  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
         1c       
2
c              
3c   
 
 
 
 
n
c  
 
 
 
O       
0x
a 
   
1x  
     
2
x           
3x      
4
x  
 
 
 
1

nx
    
b
xn 
         x  
Рис. 1.1 
Проводя из точек 1, 2, ⋯ , перпендикуляры до пересечения с кривой, получим значения функции в этих точках: 

)
(x
f
y 

, , , ⋯ , , . 

В результате этого площадь криволинейной трапеции окажется 
разбитой на сумму площадей элементарных криволинейных трапеций. 
 
В каждом из элементарных отрезков ; выберем произвольную точку . И из точек , , ⋯ , проведем перпендикуляры до 
пересечения с кривой . Вычислим в точках значения данной 
функции и получим , , ⋯ , . 
Далее построим ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников, имеющих своим основанием отрезки ∆, ∆, ⋯ , ∆, а 
высотой – ординаты , , ⋯ , . 
Произведение ∆выражает площадь прямоугольника с основанием ∆и высотой . Составим сумму всех таких произведений 

∙ ∆∙ ∆⋯ ∙ ∆∑
∙ ∆. 

 
Будем теперь делить отрезок ; на все более мелкие части так, 
чтобы число частичных отрезков увеличивалось, а их длины уменьшались. Тогда ступенчатая фигура будет все меньше и меньше отклоняться от криволинейной трапеции . 
Пусть max∆является длиной наибольшего из частичных отрезков ; , 1, 2, ⋯ , . 
Число частичных отрезков будет неограниченно увеличиваться 
при → 0, а длины ∆всех этих отрезков будут стремиться к нулю, 
так как 0 для всех 1, 2, ⋯ , . 
Если существует конечный предел S площади ступенчатой фигуры при 

max∆→ 0, 

то он принимается за площадь криволинейной трапеции , т.е. 

lim
→lim
→∆

Этот предел, если он существует, не должен зависеть от способа 
разбиения отрезка ; на частичные отрезки ; и от выбора 
точек на них. 
Таким образом, задача о площади криволинейной трапеции привела нас к вычислению предела вида 

lim∆→∑
∆.▼  
 

(1.1) 

1.2. Задача Архимеда 
Попробуем, например, следуя Архимеду, найти площадь под параболой над отрезком 0; 1(рис. 1.2). Как и Архимед, будем действовать методом исчерпания фигуры посредством простейших фигур – прямоугольников, площади которых мы вычислять умеем. 
Отрезок 0; 1разобьем на n равных частей длиной ∆ми ∙
. Возьмем , тогда 

y

  1  

 O
1

kx
 
kx
  1
x

 Рис. 1.2 

∙
и ∑
∙
∑
. 
Поскольку 
∑
1+2⋯ 121, 
то 
1 2 , lim→. 

Это и есть результат Архимеда, полученный прямым вычислением 
предела. 
2. Понятие определенного интеграла
Определение 1. Разбиением P отрезка ; , , называется конечная система точек , , ⋯ , этого отрезка такая, что 

⋯ . 

Отрезки ; , 1, 2, ⋯ , называются отрезками разбиения P. 
Максимум из длин отрезков разбиения называется параметром разбиения P. 
Определение 2. Говорят, что имеется разбиение , с отмеченными точками отрезка ; , если имеется разбиение P отрезка ; и в 
каждом из отрезков ; разбиения P выбрано по точке ∈
; , 1, 2, ⋯ , . 
Набор , , ⋯ , обозначается одним символом c. 

2
x
y 