Высшая математика. Элементы высшей алгебры. Неопределенный интеграл. В 2-х ч. Часть 1

В. Н. Веретенников 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ 
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

Учебное пособие 

В двух частях 
Часть 1 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 517.3(075)  
ББК 22.1я73+22.161.12я73  

Рецензент: 
Вагер Б. Г. – д-р физ.-мат. наук, проф. СПбАСУ 

Веретенников, В. Н. 
В31   Высшая математика. Элементы высшей алгебры. Неопределенный интеграл : учебное пособие. В 2-х ч. Часть 1 / В. Н. Веретенников. 
– Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. – 97 с.

ISBN 978-5-4499-1661-7 

 
В учебном пособии предпринята попытка реализовать идею изложения дисциплины высшая математика в виде компактного пособия-конспекта, содержащего, тем не менее, весь излагаемый на лекциях материал. Уровень подробности доказательств рассчитан на 
студента, активно работающего на лекциях. 
 
После изложения каждой темы выделены базисные понятия, основные задачи, базисные методы решения основных задач. Дан перечень умений и навыков, которыми должен владеть студент, изучивший курс. 
 
Пособие, не заменяя собой обстоятельного учебника, может быть 
полезным для текущей работы над курсом для самостоятельной работы и при подготовке к экзаменам студентам гидрометеорологического университета. 

Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 517.3(075) 
ББК 22.1я73+22.161.12я73 

ISBN 978-5-4499-1661-7 
© Веретенников Н. Н., текст, 2020 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Переход на двухуровневую систему образования сопровождается 
перестройкой курса высшей математики с целью более экономного и 
эффективного его преподавания. Для этого нужно более четко представлять структуру курса, уметь выделять в каждом разделе основное, чтобы сосредоточить на нем внимание, как преподавателей, так и 
студентов. 
Основу любого курса составляют понятия, среди которых есть 
базисные (основные, фундаментальные). Эти понятия выделены, показаны в развитии, показана их связь с приложениями, чтобы студент 
усваивал курс не фрагментарно, не формально. Поставленные цели 
преподавания сопровождаются конкретным перечнем знаний и умений, наличие которых у студентов можно проверить и оценить с помощью соответствующего контроля. 
Учебная дисциплина отличается от науки, прежде всего, тем, что 
в ней имеется технология преподавания. Поэтому базис дисциплины 
состоит из технологической части (технология изучения дисциплины 
по разделам, контроль усвоения курса, методическое обеспечение) и 
теоретической части (методология дисциплины, цели курса, базисные 
понятия разделов, основные задачи, решаемые в разделах, базисные 
методы решения основных задач, перечень теоретических знаний, 
умений и навыков в решении задач). 

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ 
1. Комплексные числа, действия с ними
1.1. Вводные соображения 
Хорошо известно, что в области вещественных чисел извлечение 
корня не всегда выполнимо (квадратный корень из отрицательного 
числа среди вещественных чисел не существует). 
Однако потребности самой алгебры и её приложений требует такого расширения понятия числа, при котором действие извлечения 
квадратного корня из отрицательного числа стало бы осуществимым. 

 
– 


 
 . 
  . 
√– √√ –

0.333 

        -273 
           10 

137 
Натуральные 
числа 

Целые числа 

Рациональные числа 

Алгебраические числа 

числа 

Комплексные числа 

С расширением понятия числа мы уже неоднократно встречались. Для того чтобы сделать возможным деление одного числа на 
другое, пришлось ввести дробные числа, для возможности вычитания 
из меньшего числа большего вводятся отрицательные числа, для того 
чтобы иметь возможность описать результат измерения длины в случае, когда отрезок несоизмерим с выбранной единицей длины, понадобились иррациональные числа. 

Присоединение каждого последующего класса чисел к предыдущему расширяет понятие числа и вместе с тем расширяет сферу применения этого понятия. Естественно при этом потребовать, чтобы 
вновь введенные числа удовлетворяли всем основным законам действий вещественных чисел. 
Такое расширение возможно 
 либо за счет введения "мнимой" единицы i, являющейся корнем 
уравнения 1 0, 
 либо из геометрических соотношений. Символ i введен Эйлером. 

 

Леонард 
Эйлер 
нем. Leonhard 
Euler; 
4 (15) апреля 1707, Базель, Швейцария − 7 
(18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя . 
Швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в 
развитие математики, а также механики, 
физики, астрономии и ряда прикладных 
наук. 
Эйлер − автор более чем 800 работ: по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, 
кораблестроению, теории музыки и др. 

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской 
науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург, куда переехал годом 
позже. С 1731 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук (в 
1741 − 1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) 
публиковал на русском. 
 
1.2. Основные определения 
Сначала рассмотрим первый путь. Вводим новое число i −  
мнимую единицу, такое, что – 1. 
Взаимодействие i с вещественными числами состоит в том, что 
 можно умножать i на число ∈ , т.е. необходимо появляются 
числа вида , 
 и складывать такие числа с вещественными числами, т.е. появляются числа вида , где , ∈ . 

Определение. Множество объектов (выражений) вида называются комплексными числами, 
 где x и y – вещественные числа, 
 i – Формальный символ (буква). 

Если мы хотим, чтобы на множестве комплексных чисел были 

определены привычные простейшие операции, то необходимо положить по определению, что: 

1. 
2
2
1
1
y
i
x
y
i
x



  в том и только в том случае, если 

2
1
2
1
и
y
y
x
x


. 

2. Сложение определяется правилом 

)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
1
1
y
y
i
x
x
y
i
x
y
i
x







. 

3. Умножение определяется правилом 

)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
y
x
y
x
i
y
y
x
x
y
i
x
y
i
x







. 

4. 
x
i
x


0
. 

Правило 1 показывает, что два комплексных числа считаются равными, если они неразличимы по записи. 
Правило 2 означает, что сложение производится по обычному правилу сложения многочленов с приведением подобных членов. 
Правило 3 означает, что умножение комплексных чисел осуществляется по обычному правилу умножения многочленов, только произведение ∙ меняется на число -1. 
Правило 4 позволяет считать вещественные числа частным случаем 
комплексных чисел, когда коэффициент при i равен нулю. 
Вещественные числа x и y, из которых составляется комплексное 
число , называются компонентами этого числа. 
 Первая компонента x называется вещественной частью числа 

 , 
 вторая компонента y − мнимой частью. 

Обозначения Re, 
   Im. 
Комплексное число 0 с вещественной частью, равной нулю, 
носит название чисто мнимого числа. 
Квадрат чисто мнимого числа, т.е. произведение его на себя, равен вещественному отрицательному числу ∙ – . 

 Роль нуля во множестве комплексных чисел, как видно из правила 2, играет число 0 ∙ 0 0 ∈ , 
 роль единицы, как видно из правила 3, − число 1 ∙ 0 1 ∈ . 
Из свойств вещественных чисел и определений (правил 1-4) следует, что множество комплексных чисел является множеством, содержащим R в качестве подмножества. 
Множество комплексных чисел будем обозначать символом C, а 
его элементы чаще всего буквами z и w. 
 
Рассмотрим второй путь. 
Правила 1-4, входящие в содержание определения комплексного числа, фактически связаны с вещественными числами – компонентами комплексного числа. 
Их можно изложить, не пользуясь символом i. 
Для этого достаточно писать вместо просто пару вещественных чисел ; , и в этой записи правила 1-4 имеют следующий вид: 
1. 
)
;
(
)
;
(
2
2
1
1
y
x
y
x

 в том и только в том случае, если 

2
1
2
1
и
y
y
x
x


. 

2. 
)
;
(
)
;
(
)
;
(
2
1
2
1
2
2
1
1
y
y
x
x
y
x
y
x




. 

3. 
)
;
(
)
;
(
)
;
(
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
y
x
y
x
y
y
x
x
y
x
y
x




. 

4. 
x
x

)
0
;
(
. 

В такой форме записи комплексных чисел и правил действий над 
ними не может возникнуть сомнений в непротиворечивости этого понятия – речь идет просто о парах упорядоченных вещественных чисел, над которыми совершаются действия по правилам 1-4. 
От записи комплексных чисел в виде упорядоченной пары легко 
перейти к обычной записи. Именно, согласно правилам 1-4 

).
1
;0
(
}
4
правилу 
 
по
{
)1
;0
(
)
0
;
(
)
0
;
(
}
3
правилу 
 
по
{
)
;0
(
)
0
;
(
2}
правилу 
по
{
)
;
(












y
x
y
x
y
x
y
x
 

Обозначим пару 0; 1буквой i. 
Получим ; , причем 0; 1∙ 0; 1– 1; 0– 1. 
 

1.3. Действия над комплексными числами 
Действия над комплексными числами обладают известными 
свойствами, которыми обладают одноименные действия над вещественными числами. Пусть 

 ; ; ; . 
Сложение. Непосредственно проверяются (из правил 1-4) основные 
законы сложения –  
коммутативный (перестановочный) закон 

  , 

ассоциативный (сочетательный) закон 

. 

Сложение допускает обратную операцию – вычитание: для любых двух комплексных чисел и можно найти такое число z что 

. 

Это комплексное число z называется разностью комплексных 
чисел и и обозначается символом . 
Покажем, что вычитание комплексных чисел, как и сложение, 
проводится покомпонентно 

.
,
,
}
1
правилу 
 
по
{

)
(
)
(

2}
правилу 
 
по
{
)
(
)
(

2
1
2
1
1
2
1
2

1
1
2
2

1
1
2
2

y
y
y
x
x
x
y
y
y
x
x
x

y
i
x
y
y
i
x
x

y
i
x
y
i
x
y
i
x

























)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
y
y
i
x
x
z
z
z






. 
(3.1) 

Произведение любого комплексного числа на нуль 

0
0
0



i
 
равно, очевидно, нулю. 
Умножение 
комплексного 
числа на 
вещественное 
ло ∙ 0 равно, согласно правилу 3 , т.е. умножение комплексного числа на вещественное производится покомпонентно. 
Отсюда немедленно следует, что деление на вещественное 
ло 0 осуществляется тоже покомпонентно, ибо деление на m 
равносильно умножению на 1 .
⁄
 

Покажем, что для любого комплексного числа z существует противоположное ему число – , т.е. такое число, что 

0
)
-(


z
z
. 

Действительно, по правилам 2 и 4 имеем 

0
0
0
)
(
)
(
)
-(
)
(











i
y
y
i
x
x
y
i
x
y
i
x
, 
так что – – . 
Заметим, что – можно воспринимать как – 1∙ . 
Действительно, по правилу умножения имеем 

y
i
x
y
i
x




)
(
)1
-(
. 

Умножение. Несложно проверить, что сохраняются основные законы 
умножения – 
 коммутативный (перестановочный) закон 

∙ ∙ , 

 ассоциативный (сочетательный) закон 

, 

 дистрибутивный закон (распределительный закон относительно 
сложения) 

=+. 

Умножение допускает обратную операцию – деление: для любых 
двух комплексных чисел и 0можно найти такое комплексное число z, что 

. 

Комплексное число z называется частным от деления на и обозначается через 

. 

Укажем формулу для вычисления частного. Из правила 3 вытекает, что 
)
(
2
2
2
2
1
1
xy
y
x
i
y
y
x
x
y
i
x





. 
Далее согласно правилу 1 имеем 










.

,

1
2
2

1
2
2
y
y
x
x
y

x
y
y
x
x
  
 
 
 
 
(3.2) 

Полученная система (3.2) при 0 всегда разрешима относительно x и y, так как её определитель 0. 

Решая систему, получим 

2
2
2
2

2
1
1
2
2
2
2
2

2
1
2
1
1
y
x
y
x
y
x
i
y
x
y
y
x
x
y
i
x
z
z
z









.  
 
(3.3) 

Комплексное число называется сопряженным комплексному числу и обозначается символом ̅. Если 0, то 

0
0
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2












y
x
i
y
x
y
i
x
y
i
x
z
z
 
 есть положительное вещественное число. 
Укажем некоторые свойства операции сопряжения. 

, , ,  
(3.4) 

Замечание. Вместо того чтобы запоминать формулу (3.3), следует 
запомнить, что результат для частного 

2
2

1
1

2

1
y
i
x
y
i
x
z
z



, 

получается, посредством умножения числителя и знаменателя на 
комплексное число , сопряженное со знаменателем. 

Для любого комплексного числа 0 существует обратное 
комплексное число –, т.е. такое, что ∙ –1. 
Легко видеть, что для комплексного числа обратным 
является . 

Действительно, 

1
1
)
(
1
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2








y
x
y
x
y
x
y
i
x
y
i
x
. 

Возведение в целую степень. Произведение n равных комплексных 
чисел z называется n-ой степенью комплексного числа z и обозначается : 
∙ ∙ ⋯ ∙ раз
. 

Обратная операция – извлечение корня – определяется следую
щим образом: комплексное число w называется корнем n-ой степени 
из комплексного числа z, если . 
Обозначение √(причем для 2 пишут просто √).