Высшая математика. Неопределенный интеграл : задачник- практикум по математике. В 2-х ч. Часть 2

В. Н. Веретенников, Е. А. Бровкина 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ 

Учебно-методическое пособие 
для выполнения индивидуальных домашних заданий 

В двух частях 
Часть 2 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 517.3(075) 
ББК 22.1я73+22.161.12я73 

Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ 

Рецензент: 
Вагер Б. Г. – д-р физ.-мат. наук, проф. СПбАСУ 

Веретенников, В. Н. 
В31   Высшая математика. Неопределенный интеграл : задачникпрактикум по математике :  учебно-методическое пособие для выполнения индивидуальных домашних заданий. В 2-х ч. Часть 2 / В. Н. Веретенников, Е. А. Бровкина. – Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. – 
145 с. 

ISBN 978-5-4499-1662-4 

Пособие является пятым выпуском учебника по всем разделам 
математики для бакалавров гидрометеорологических направлений, 
соответствует государственному образовательному стандарту и действующим программам. 
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка 
у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние 
задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок. 
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и 
предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ. 
Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 517.3(075) 
ББК 22.1я73+22.161.12я73 

 
ISBN 978-5-4499-1662-4 
© Веретенников Н. Н., Бровкина Е. А., текст, 2020 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего 
опыта чтения лекций и ведения практических занятий по математическому анализу на I курсе РГГМУ. Оно предназначено как для студентов, так и для преподавателей, особенно молодых, начинающих вести 
практические занятия. 
 
Пособие не является сборником задач в обычном смысле слова. 
Как явствует из его структуры, оно преследует цель помочь активному и неформальному усвоению студентами изучаемого предмета. 
При составлении пособия имелось в виду, что им будут пользоваться 
студенты заочного факультета. В связи с этим материал каждой темы 
разбит, как правило, на четыре пункту. 
 
В п. I – «Опорный конспект» – приводятся основные теоретические сведения и формулы (разумеется, без доказательства), необходимые для решения задач. Иногда после формулировки определения 
или теоремы даются поясняющие примеры или некоторые комментарии, чтобы облегчить студентам восприятие новых понятий. Там, где 
это, возможно, дается геометрическая и физическая интерпретация 
математических понятий. 
 
В п. II – «Вопросы для самопроверки» – содержатся вопросы по 
теории и простые задачи, решение которых не связано с большими 
вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение. Назначение этого пункта – помочь студенту в 
самостоятельной работе над теоретическим материалом, дать ему 
возможность самому проконтролировать усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем по учебнику 
или конспектам лекций. Однако для решения задач часто достаточно 
понимания сути теоремы (или формулы). Многие контрольные вопросы направлены на раскрытие этой сути. Из п. II преподаватель 
может черпать вопросы для проверки готовности студентов к практическому занятию по той или иной теме. 
 
В п. III – «Примеры решения задач» – разобраны типичные примеры, демонстрирующие применение на практике результатов теории. При этом большое внимание уделяется обсуждению не только 
«технических приемов», но и различным «тонким местам», например, 
условиям применимости той или иной теоремы или формулы. 

Назначение п. IV – «Задачи и упражнения для самостоятельной 
работы» – определено его названием. При подборе упражнений были 
использованы различные источники, в том числе широко известные 
задачники. В конце задачи дается ответ и указание. 
 
Начало и конец решений задач отмечаются соответственно знаками ▲ и ▼. 
 
В пособии приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература. 
 
Автор надеется, что данное пособие поможет студентам в овладении методами математического анализа, в их самостоятельной работе над предметом. Он также выражает надежду, что пособие будет 
полезным для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью воспримет все критические замечания и пожелания, направленные на улучшение его содержания. 

Опорный конспект  
1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

Основная задача дифференцирования: 
Дана функция . Найти ′. 

Основная задача интегрирования: 
Дана производная функции ′. Найти . 
Интегрирование – операция, обратная дифференцированию. 

Определение. Функция называется первообразной функцией 
или первообразной по отношению к функции на некотором 
промежутке X, если 
 функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и
 ее производная или, что есть то же самое ∀∈ .

Например, функция sin на всей оси – первообразная для cos . 
Таким образом, первая основная задача интегрального исчисления и будет заключаться в нахождении первообразной для заданной 
функции. 
В связи с понятием первообразной сразу же возникают два вопроса: 
1) для каких функций можно гарантировать существование первообразной функции?
2) сколько первообразных функций может иметь одна и та же
функция?
Ответ на первый вопрос дается теоремой 
Теорема 1 (о существовании первообразной функции). Если функция непрерывна на некотором промежутке X, то на этом промежутке у нее существует первообразная. 
Ответ на второй вопрос содержится в следующей теореме. 
Теорема 2. Если – какая-нибудь первообразная функции на 
некотором промежутке, то формула 

C
x
F
x



)
(
)
(
, 
(1) 

где C – любая постоянная, дает общий вид первообразных функций 
для функции . 
Иными словами, здесь утверждается, что всякая функция вида (1)  
– первообразная для функции , и, обратно, всякая первообразная 
для функции имеет вид (1) при надлежащем подборе постоянной. 

Определение. 
Если 
функция – 
первообразная 
для 
ции на промежутке X, то множество функций С, где C – 
произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом 
от функции на этом промежутке. 

Обозначение . 
Таким образом, если f   – некоторая функция, а F – ее первообразная функция (на каком-то промежутке), то пишут 

, 

где C – произвольная постоянная величина. 
Таким образом, обозначение интеграла ∫ используется для того, 
чтобы записать общий вид первообразных функций. 
 Функция называется подынтегральной функцией, 
 выражение – подынтегральным выражением. 

Например, cos sin 
 
Сама операция нахождения первообразной называется интегрированием функции. 
 
Геометрически, в системе координат Oxy, график всех первообразных функций от данной функции представляют семейство 
кривых, зависящее от одного параметра C, которые получаются одна 
из другой путем параллельного сдвига вдоль оси Oy. 
Основные свойства неопределенного интеграла 

1. . 

2. . 

3.. 

Л и н е й н о с т ь  и н т е г р а л а  
4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного 
интеграла или вносить под знак интеграла 

∙ ∙ , , 0. 

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций
равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих  
функций 
gg. 

Следствие. Неопределенный интеграл от линейной комбинации конечного числа функций равен линейной комбинации неопределенных 
интегралов от этих функций 

∑
∑
, 

где ∈ . 
Вышеизложенные свойства позволяют сформулировать следующие два правила. 

1.
Для 
получения 
неопределенного 
интеграла 
от 
данной

ции надо найти какую-либо первообразную функцию этой 
функции и прибавить к ней произвольную постоянную. 
2. Признаком правильности результата интегрирования является
выполнение условия – производная от результата интегрирования 
должна быть равна подынтегральной функции. 

2. Непосредственное интегрирование
Будем рассматривать непосредственное интегрирование как совокупность простейших приемов интегрирования, владение которыми – необходимое условие умения интегрировать. 
2.1. Таблица основных интегралов 
 
Используя таблицу производных от простейших элементарных 
функций, мы можем составить таблицу некоторых простейших интегралов (в таблицу включены свойства). Все формулы из таблицы 
можно проверить путем дифференцирования согласно свойству 1, т.е. 
производная от правой части формулы всегда равна подынтегральной 
функции в левой части. 

Правила интегрирования  

 A 1. 





dx
x
f
c
dx
x
f
c
)
(
)
(
 

      2. 







dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
. 

      3. 




















du
u
f
dt
t
u
t
u
f
dt
t
u
dx
t
u
x
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
. 

      4. 
)
(
),
(
где
,
x
v
v
x
u
u
du
v
v
u
dv
u







. 

 
Во всех формулах под u понимается независимая переменная, 
или произвольная функция любой независимой переменной, дифференцируемая в некотором промежутке. 
Интегралы, помещенные в таблице, называются табличными. 
 
Каждая из формул этой таблицы справедлива в любом промежутке, содержащемся в области определения соответствующей подынтегральной функции. 

Интегралы, определяющие степенную функцию, 
логарифмическую и показательную функции 

 B 1.
0
,1
,
1

1









u
C
u
du
u





 

     2.
0
,
|
|
ln




u
C
u
u
du
. 

     3.
1
0
,
ln





a
C
a
a
du
a

u
u
.  4.
C
e
du
e
u
u



. 
 

В ссылках на таблицу будет указана буква, соответствующая 
группе формул и номер формулы в ней. 

Например, 
 → . 

Отметим некоторые частные случаи формулы : 

C
x
dx



 
);
0
(


 

означает интеграл с подынтегральной функцией, тождественно 
равной единице; 

1; 

√2√. 

 
Упомянем еще и такую очевидную формулу: 

C
dx 

0
. 

Вместо интеграла пишут и, вообще, 

означает . 

Интегралы, определяющие тригонометрические функции 

 C 1. 
C
u
du
u




cos
sin
 

      2. 
C
u
du
u



sin
cos
. 

      3. tg , 0, 1, 2, ⋯ . 

      4.– ctg , 0, 1, 2, ⋯ . 

Интегралы, определяющие обратные тригонометрические 
функции и логарифм сложного вида 

 D 1. √arcsin
, || || 

 √arcsin , ‒ 1 1. 

    2. arctg
,  
 
 
 
 arctg . 

    3.ln 
 (для знака «–» должно быть || ||) 

    4.ln , || . 

 

ЗАПОМНИТЬ ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И 
 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 
     

3. Интегрирование заменой переменной
Одним из основных приемов интегрирования функций является 

замена переменной (метод подстановки), который состоит в том, 
что в интеграле , нахождение которого затруднительно, вводят новую переменную t, связанную с переменной x соотношением 

g, 
где g– непрерывная строго монотонная функция, имеющая непрерывную производную g′на некотором интервале изменения t, после чего получают 
gg′. 

 
Отметим, что при замене gдолжно осуществляться взаимно 
однозначное 
соответствие 
между 
областями 
определения 
ций gи , такое, чтобы функция gпринимала все значения x. 

Два способа замены переменной 
Переменную интегрирования в неопределенном интеграле можно 
заменить любой непрерывной функцией: 
















dt
t
g
t
g
f
dt
t
g
dx

t
g
x
dx
x
f
)
(
))
(
(
)
(

)
(
)
(
. 
 
(I) 

Формула (I) определяет собой два способа замены переменной. 
При чтении формулы слева направо получается способ I:  
dt
t
g
dx
t
g
x
)
(
),
(



. 

Если gg′будет проще, чем интеграл , то эта 
замена переменной целесообразна. В результате интегрирования получится функция независимой переменной t. 
При чтении справа налево получается способ II: 


















dx
x
f
dx
dt
t
g

x
t
g
dt
t
g
g
f
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
. 

Если последний интеграл проще первого, то замена переменной 
целесообразна.