Олимпиадная математика. Элементы алгебры, комбинаторики и теории вероятностей. 5-7 классы

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ,
КОМБИНАТОРИКИ
И ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Москва
Лаборатория знаний
2022

ОЛИМПИАДНАЯ
МАТЕМАТИКА

Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов

5–7

Под редакцией
М. В. Федотова

Электронное издание

классы

УДК 373.167.1:519
ББК 22.171я721.6
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Олимпиадная математика. Элементы алгебры, комбинаторики
и
теории
вероятностей.
5–7
классы : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов ; под редакцией М. В. Федотова. —
Электрон. изд. — М. : Лаборатория знаний, 2022. —
176 с. — (ВМК
МГУ — школе). — Систем.
требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-989-3
Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе олимпиадных
задач по математике. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки)
и решения.
УДК 373.167.1:519
ББК 22.171я721.6

Деривативное издание на основе печатного аналога: Олимпиадная математика. Элементы алгебры, комбинаторики и теории
вероятностей.
5–7
классы
:
учебно-методическое
пособие
/
Н. Д. Золотарёва,
М. В. Федотов
;
под
редакцией
М. В. Федотова. — М. : Лаборатория знаний, 2022. — 173 с. :
ил. — (ВМК МГУ — школе). — ISBN 978-5-93208-254-6.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-989-3
© Лаборатория знаний, 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Используемые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Часть I. Теория и задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1. Комбинаторика и элементы теории вероятностей . . .
7

1.1. Правило суммы и правило произведения . . . . . . .
7

1.2. Размещения, перестановки, сочетания. . . . . . . . . . .
15

1.3. Элементы теории вероятностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

2. Элементы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

2.1. Числовые неравенства. Сравнение чисел . . . . . . . .
28

2.2. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . .
34

2.3. Доказательство неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

2.4. Последовательности.
Арифметические
прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

2.5. Геометрические прогрессии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

Часть II. Указания и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

1. Комбинаторика и элементы теории вероятностей . . .
55

1.1. Правило суммы и правило произведения . . . . . . .
55

1.2. Размещения, перестановки, сочетания. . . . . . . . . . .
75

1.3. Элементы теории вероятностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

2. Элементы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95

2.1. Числовые неравенства. Сравнение чисел . . . . . . . .
95

2.2. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.3. Доказательство неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.4. Последовательности.
Арифметические
прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.5. Геометрические прогрессии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

ОТ РЕДАКТОРА

Уважаемый читатель, вы держите в руках одну из книг серии
«ВМК МГУ — школе». Учебно-методические пособия, входящие
в
эту
серию,
являются
результатом
более
чем
пятнадцатилетнего
труда
коллектива
авторов,
работающих
на
подготовительных курсах факультета вычислительной математики
и кибернетики (ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии, информатике и физике для старшеклассников для подготовки к ЕГЭ,
олимпиадам
и
вступительным
экзаменам
в
вузы.
Недавно
вышли пособия по математике для подготовки к ГИА для
девятиклассников.
Но мы не хотим останавливаться только на стандартных
задачах,
необходимых
для
сдачи
ГИА
и
ЕГЭ
и
экзаменов
в вузы. Мы хотим, чтобы школьники с младших классов и до
окончания школы могли решать задачи повышенной сложности — олимпиадные задачи, на которые у учителя обычно не
остаётся времени на обычном уроке математики. Большинство
книг по этой тематике выходят без разбивки по классам либо
без разбивки по темам. Многие хорошие книги с олимпиадными задачами вышли давно и с тех пор не переиздавались. Мы
собрали много задач из различных старых и не очень старых
сборников олимпиадных задач и предлагаем их вам.
Настоящее пособие рассчитано на 5–7 классы и является
четвёртым в серии пособий по олимпиадным задачам. Будет
ещё несколько книг для 5–7 классов. Параллельно мы уже
ведём работу над сборником задач для 8–9 классов. Завершит
серию, конечно же, пособие для 10–11 классов.
Большинство
олимпиадных
задач,
особенно
для
младшей
и средней школы, не намного сложнее обычных школьных задач
по математике. Поэтому не бойтесь их. Они только все вместе
выглядят страшными, а каждая задача по отдельности вполне
вам по силам. Берите их и решайте. Дорогу осилит идущий.

Заместитель декана по учебной работе
факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов решения задач, примеры применения методов
и набор заданий для решения. Задачи в разделах в основном
расположены по принципу «от простого — к сложному». Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется
изучать в предложенном порядке. Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретического материала и разбора примеров.
После номера задачи в скобках приведены классы, для которых эта задача была предложена на олимпиаде. Однако это
разделение на классы довольно условно. Понятно, что если задачу давали в 5 классе, то её можно давать и в 6–7 классах,
и часто, наоборот, задача, которую давали на олимпиаде для
6–7 классов, вполне по силам пятиклассникам. Поэтому, придерживаясь рекомендаций в скобках, относитесь к ним творчески. Кстати, распределение задач по темам тоже не всегда
однозначно. Одну и ту же задачу можно было отнести к разным темам.
В принципе, по этому пособию можно заниматься три года: в 5 классе пройти по всем разделам, выбирая задачи для
5 класса, в 6 классе снова пройти по всем разделам, выбирая
задачи для 6 класса, и т. д. А можно пройти и за более короткий срок: за два года, если вы начали заниматься в 6 классе,
или за один год, если вы уже в 7 классе.

Рекомендуется школьникам 5–7 классов, интересующимся
олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям кружков и факультативов.

Желаем удачи!

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

{a}
— множество, состоящее из одного элемента a;
∪
— объединение;
∩
— пересечение;
∅
— пустое множество;
∈
— знак принадлежности;
⊂
— знак включения подмножества;
∀
— для любого;
=⇒
— следовательно;
⇐⇒
— тогда и только тогда;
N
— множество всех натуральных чисел; N0 = N ∪ {0};
Z
— множество всех целых чисел;
Q
— множество всех рациональных чисел;
R
— множество всех действительных чисел;
· · ·
· · ·
— знак системы, означающий, что должны выполняться
все условия, объединённые этим знаком;
· · ·
· · ·
— знак совокупности, означающий, что должно выполняться
хотя бы одно из условий, объединённых этим знаком.

Часть I. ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ

1.
Комбинаторика и элементы теории
вероятностей

Комбинаторикой
называется
раздел
математики,
в
котором
изучаются вопросы о том, сколько комбинаций определённого типа можно составить из заданных объектов (элементов,
предметов).

1.1. Правило суммы и правило произведения

Теоретический материал

При решении задач комбинаторики используются два основных правила — правило суммы
и правило произведения.
Правило суммы: Если объект A можно выбрать m способами, а объект B — n способами, то выбор «либо A, либо B»
можно сделать m + n способами.
Доказательство.
Действительно,
поскольку
всего
объектов
m + n, выбрать из них один можно m + n способами.
Правило произведения: Если объект A можно выбрать m
способами
и
если
после
каждого
такого
выбора
объект
B
можно выбрать n способами, то выбор пары (A; B) в указанном
порядке можно сделать m · n способами.
Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества A мы можем составить n таких различных пар, а всего
в множестве A m элементов.
Рассмотрим несколько примеров.

Примеры решения задач

Пример 1. Сколько всего трёхзначных чисел, делящихся на 5?

Р е ш е н и е. По признаку делимости на 5 последней цифрой
числа может быть 0 или 5, на предпоследнем месте может

Часть I. Теория и задачи

стоять любая из 10 цифр, а на первом месте — любая цифра,
кроме 0, т. е. одна из 9 цифр может стоять на первом месте.
Таким образом, по правилу произведения всего искомых чисел
может быть 9 · 10 · 2 = 180.

О т в е т. 180.

Замечание. При решении этой задачи мы использовали правило произведения.

Пример 2.
Из
города
А
в
город
Б
ведут
две
дороги,
из
А в Г — четыре дороги, из Б в В — три дороги, из Г в В —
пять дорог.
1) Сколько различных дорог ведёт из А в В через Б?
2) Сколько вообще разных дорог из А в В?

Р е ш е н и е.
1) Поскольку из города А в город Б ведут две
дороги, а из Б в В — три дороги, по правилу произведения
получаем, что из А в В через Б ведёт 2 · 3 = 6 дорог.
2) Поскольку из А в В можно добраться не только через Б,
но и через город Г, получаем два типа маршрутов из А в В:
первый — через Б, второй — через Г. По первому маршруту всего 6 дорог. Посчитаем, сколько дорог ведёт из А в В через Г.
По правилу произведения получаем 4 · 5 = 20. Окончательно по
правилу суммы получаем 6 + 20 = 26 дорог.

О т в е т. а) 6; б) 26.

Замечание.
При
решении
этой
задачи
мы
использовали
и правило произведения, и правило суммы.

Пример 3.
В 1996 г. каждый из президентов 15 республик
бывшего Советского Союза послал в подарок на день рождения
каждому из остальных президентов торт с таким количеством
свечек, сколько лет исполнилось имениннику. Могло ли так
случиться, что всего было послано 1997 свечек?

Р е ш е н и е. Каждый президент послал в подарок 14 тортов.
Значит, всего было послано 15 · 14 = 210 тортов. Если бы эти
210 тортов были украшены всего лишь 1997 свечками, то на
торте с наименьшим количеством свечек их было бы меньше 10 (потому что если бы на каждом торте было не менее

1. Комбинаторика и элементы теории вероятностей
9

10 свечек, то всего свечек было бы не менее 210 · 10 = 2100).
Но президент не может быть моложе 10 лет.

О т в е т. Не могло.

Задачи

1.

5-6 Имеется 5 закрытых чемоданов и 5 ключей к ним.
При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой
ключ. Какое наименьшее число попыток надо сделать, чтобы наверняка определить, какой ключ подходит к какому
чемодану?

2.

5-6 а) Сколько существует двузначных чисел, в записи которых не употребляется цифра 1?
б) Из
двух
спортивных
обществ,
насчитывающих
по
100
фехтовальщиков
каждое,
надо
выделить
по
одному
фехтовальщику для участия в соревновании. Сколькими
способами может быть сделан этот выбор?
в) Бросают игральную кость с шестью гранями и запускают волчок, имеющий 8 граней1). Сколькими различными
способами они могут упасть?
г) Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова
1) камзол;
2) здание?

3.

5-6 а) На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с неё?
А если спуск и подъём происходят по разным путям?
б) В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно
сделать?
в) На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если
такой выбор уже сделан, сколькими способами его можно
сделать ещё раз?

4.

5-6 а) Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего надо выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими
способами может быть сделан этот выбор?

1)На гранях игральной кости нарисованы цифры от 1 до 6, а на
гранях волчка — от 1 до 8.

Часть I. Теория и задачи

б) Есть 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с одной маркой для посылки письма? А с двумя
марками?
в) Из трёх экземпляров учебника алгебры, семи экземпляров учебника геометрии и семи экземпляров учебника тригонометрии надо выбрать по одному экземпляру каждого
учебника. Сколькими способами это можно сделать?
г) Имеются три волчка с 6, 8 и 10 гранями соответственно. Сколькими различными способами могут они упасть?
Та же задача, если известно, что по крайней мере два
волчка упали на сторону, помеченную цифрой 1.

5.

5-6 а) Сколькими способами можно указать на шахматной
доске два квадрата — белый и чёрный? А если нет ограничений на цвет выбранных квадратов (порядок выбора
важен)?
б) Сколькими
способами
можно
выбрать
на
шахматной
доске белый и чёрный квадраты, не лежащие на одной
и той же горизонтали и вертикали?
в) Имеется 6 пар перчаток разных размеров. Сколькими
способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну на правую руку так, чтобы эти перчатки
были разных размеров?
г) Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?

6.

5-6 а) У двух начинающих коллекционеров по 20 марок
и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной
марки
на
одну
марку
или
одного
значка
на
один
значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?
б) В корзине 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает из
неё яблоко или апельсин, после чего Надя берёт и яблоко,
и апельсин. Когда Надя имеет б´ольшую свободу выбора:
когда Ваня взял яблоко или когда Ваня взял апельсин?

7.

5-6 а) Сколько всего пятизначных чисел можно составить
из цифр 0 и 1?
б) Монету
бросают
трижды.
Сколько
разных
последовательностей орлов и решек можно при этом получить?