Олимпиадная математика. Логические задачи с решениями и указаниями. 5-7 классы

ЛОГИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
с решениями и указаниями 

Москва
Лаборатория знаний
2021

Под редакцией
М. В. Федотова

ЭЛЕКТРОННОЕ ИЗДАНИЕ

ОЛИМПИАДНАЯ
МАТЕМАТИКА

Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов

5–7
классы
 

УДК 373.167.1:511
ББК 22.130я721.6
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Олимпиадная математика. Логические задачи с решениями
и
указаниями.
5–7
классы
:
учебнометодическое
пособие
/
Н. Д. Золотарёва,
М. В. Федотов
;
под
редакцией
М. В. Федотова. — Электрон. изд. — М. : Лаборатория знаний, 2021. — 241 с. —
(ВМК
МГУ — школе). — Систем.
требования:
Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-952-7
Настоящее пособие составлено на основе олимпиадных
задач по математике преподавателями факультета ВМК МГУ
имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический
материал,
подборку
задач,
а
также
указания
и
решения
к большинству задач.
Рекомендуется школьникам 5–7 классов, интересующимся олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям кружков и факультативов.
УДК 373.167.1:511
ББК 22.130я721.6

Деривативное издание на основе печатного аналога: Олимпиадная математика. Логические задачи с решениями и указаниями. 5–7 классы : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов ; под редакцией М. В. Федотова. —
М. : Лаборатория знаний, 2021. — 238 с. : ил. — (ВМК МГУ —
школе). — ISBN 978-5-00101-382-2.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-952-7
© Лаборатория знаний, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
5

Предисловие .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
6

Используемые обозначения
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
7

Часть I. Теория и задачи
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
9

1. Сюжетные логические задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
9

2. Истинные
и
ложные
высказывания.
Рыцари,
лжецы, хитрецы .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 16

3. Переправы и задачи на переливание
.. .. .. .. .. .. 25

4. Задачи на взвешивание .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 32
5. Принцип крайнего
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 41

6. Оценка + пример . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 46
7. Принцип Дирихле .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 52
8. Принцип Дирихле и делимость целых чисел . .. 58
9. Принцип Дирихле и дополнительные соображения .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 61

10. Принцип Дирихле в геометрии . .. .. .. .. .. .. .. .. .. 65
11. Принцип Дирихле и окраска плоскости и её
частей. Таблицы .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 69

Часть II. Указания и решения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 73

1. Сюжетные логические задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 73
2. Истинные
и
ложные
высказывания.
Рыцари,
лжецы, хитрецы .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 91

3. Переправы и задачи на переливание
.. .. .. .. .. ..105

4. Задачи на взвешивание .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..122
5. Принцип крайнего
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..145

6. Оценка + пример . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..158
7. Принцип Дирихле .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..187
8. Принцип Дирихле и делимость целых чисел . ..193

Оглавление

9. Принцип Дирихле и дополнительные соображения .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..198

10. Принцип Дирихле в геометрии . .. .. .. .. .. .. .. .. ..207
11. Принцип Дирихле и окраска плоскости и её
частей. Таблицы .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..216

Ответы .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..228

Список литературы
.. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..236

ОТ РЕДАКТОРА

Уважаемые читатели, вы держите в руках одну из книг серии
«ВМК МГУ — школе». Учебно-методические пособия, входящие
в
эту
серию,
являются
результатом
более
чем
пятнадцатилетнего
труда
коллектива
авторов,
работающих
на
подготовительных курсах факультета вычислительной математики
и кибернетики (ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии, информатике и физике для старшеклассников для подготовки к ЕГЭ,
олимпиадам
и
вступительным
экзаменам
в
вузы.
Недавно
вышли пособия по математике для подготовки к ГИА для
девятиклассников.
Но мы не хотим останавливаться только на стандартных задачах, необходимых для сдачи ГИА и ЕГЭ и экзаменов в вузы.
Мы хотим, чтобы школьники с младших классов и до окончания школы могли решать задачи повышенной сложности —
олимпиадные задачи, на которые у учителя обычно не остаётся
времени на обычном уроке математики. Большинство книг по
этой тематике выходят без разбивки по классам либо без разбивки по темам. Многие хорошие книги с олимпиадными задачами вышли давно и с тех пор не переиздавались. Мы собрали
много задач из различных старых и не очень старых сборников
олимпиадных задач и предлагаем их вам.
Настоящее пособие рассчитано на 5–7 классы и является третьим
в
серии
пособий
по
олимпиадным
задачам.
Будет
ещё
несколько книг для 5–7 классов. Параллельно мы уже ведём
работу над сборником задач для 8–9 классов. Завершит серию,
конечно же, пособие для 10–11 классов.
Большинство
олимпиадных
задач,
особенно
для
младшей
и средней школы, не намного сложнее обычных школьных задач
по математике. Поэтому не бойтесь их. Они только все вместе
выглядят страшными, а каждая задача по отдельности вполне
вам по силам. Берите их и решайте. Дорогу осилит идущий.

Заместитель декана по учебной работе
факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов решения задач, примеры применения методов
и набор заданий для решения. Задачи в разделах в основном
расположены по принципу «от простого — к сложному». Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке. Приступать к решению
задач надо после изучения соответствующего теоретического
материала и разбора примеров.
После номера задачи приведены номера классов, для которых эта задача была предложена на олимпиаде. Однако это
разделение на классы довольно условно. Понятно, что если задачу давали в 5 классе, то её можно давать и в 6–7 классах,
и часто, наоборот, задача, которую давали на олимпиаде для
6–7 классов, вполне по силам пятиклассникам. Поэтому, придерживаясь рекомендаций о принадлежности задачи тому или
иному классу, относитесь к этим рекомендациям творчески.
Кстати, распределение задач по разделам тоже не всегда однозначно. Одну и ту же задачу можно было отнести к разным
разделам.
В принципе по этому пособию можно заниматься три года: в 5 классе пройти по всем разделам, выбирая задачи для
5 класса, в 6 классе снова пройти по всем разделам, выбирая
задачи для 6 класса и т. д. А можно пройти и за более короткий срок: за два года, если вы начали заниматься в 6 классе,
или за один год, если вы уже в 7 классе.

Пособие рекомендуется школьникам 5–7 классов, интересующимся олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям кружков и факультативов.

Желаем удачи!

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

{a}
— множество, состоящее из одного элемента a;
∪
— объединение;
∩
— пересечение;
∅
— пустое множество;
∈
— знак принадлежности;
⊂
— знак включения подмножества;
∀
— для любого;
A\B — разность множеств A и B;
=⇒
— следовательно;
⇐⇒ — тогда и только тогда;
N
— множество всех натуральных чисел; N0 = N ∪ {0};
Z
— множество всех целых чисел;
Q
— множество всех рациональных чисел;
R
— множество всех действительных чисел;
ОДЗ — область допустимых значений;
· · ·
· · ·
— знак системы, означающий, что должны выполняться
все условия, объединённые этим знаком;
· · ·
· · ·
— знак совокупности, означающий, что должно выполняться
хотя бы одно из условий, объединённых этим знаком.

Необходимо отметить, что в формулировках задач параллельно
с математически более корректной терминологией типа «длина
отрезка
AB
равна
5»
и
записью
|AB| = 5
используется
школьная терминология типа «отрезок AB равен 5» и запись
AB = 5.

Часть I. ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ

Логические задачи встречаются на олимпиадах всех уровней.
Они требуют умения логически мыслить, перебирать все возможные варианты и быть очень внимательным.

1. Сюжетные логические задачи

Теоретический материал

В этом разделе собраны сюжетные логические задачи. Чтобы
решать такие задачи, необходимо уметь рассуждать, выделять
из текста причину и следствие. Многие задачи этого раздела
могут быть решены перебором вариантов. Однако использование рисунков и таблиц значительно упрощает решение.

Примеры решения задач

Пример 1. До царя дошла весть, что кто-то из трёх богатырей
убил Змея Горыныча. Приказал царь им явиться ко двору.
Молвили богатыри:
Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».
Добрыня Никитич: «Змея убил Алёша Попович».
Алёша Попович: «Я убил Змея».
Известно, что только один богатырь сказал правду, а двое
других слукавили. Кто убил Змея?

Р е ш е н и е. Поскольку Добрыня Никитич и Алёша Попович
утверждают одно и то же, а правду сказал только один богатырь, они оба лукавят. Значит, правду сказал Илья Муромец
и Змея убил Добрыня Никитич.
О т в е т. Змея Горыныча убил Добрыня Никитич.

Пример 2. Гриша, Люда, Зина и Петя родились 12 февраля,
6 апреля, 12 июня, 26 июня. Интересно, что Петя и Люда
родились в одном месяце, а Зина и Петя родились в один
и тот же день разных месяцев. Когда родился Гриша?

Часть I. Теория и задачи

Р е ш е н и е. Решаем
задачу
с
помощью
таблицы.
По
вертикали пишем имена, а по горизонтали — даты. Будем ставить
минусы в те клетки таблицы, которые точно не подходят,
т. е. будем отбрасывать заведомо неподходящие варианты. Из
условия следует, что Петя и Люда родились в одном месяце,
т. е. в июне. Поэтому в таблице напротив их имён ставим
минусы в первых двух колонках.
Так
как
Зина
и
Петя
родились
в
один
и
тот
же
день
разных месяцев, т. е. 12 числа, то Пете ставим минус в последнюю колонку. Получается, что Петя мог родиться только
12
июня
(ставим
ему
плюс
в
третью
колонку
таблицы).
Поэтому Зина родилась 12 февраля (ставим ей плюс в первую
колонку таблицы).

12 февраля
6 апреля
12 июня
26 июня

Гриша
+

Люда
−
−
+

Зина
+

Петя
−
−
+
−

Тогда
Люда
могла
родиться
только
26
июня
(ставим
ей
плюс
в
четвёртую
колонку
таблицы).
Поэтому
Гриша
мог
родиться только 6 апреля.
О т в е т. 6 апреля.

Пример 3.
В
одном
из
городов
Казахстана
часть
жителей
умеет говорить только по-казахски, часть — только по-русски.
По-казахски
говорят
90%
всех
жителей,
по-русски — 80%.
Сколько процентов всех жителей говорит на обоих языках?

Р е ш е н и е. Приведём два способа решения.
ПЕРВЫЙ СПОСОБ . Из условия следует, что 20% всех жителей
не говорят по-русски. Очевидно, что все они среди тех жителей, которые говорят по-казахски. Значит, 90 − 20 = 70% всех
жителей говорят на обоих языках.
ВТОРОЙ СПОСОБ . Из условия следует, что 10% всех жителей не
говорят по-казахски, а 20%— по-русски. Значит, 10+20 = 30%
всех жителей говорят только на одном языке, а остальные
70% говорят на обоих языках.
О т в е т. 70%.

Пример 4.
В
клетках
прямоугольника
11 Ч 15
расставлены
крестики и нолики. Известно, что в каждой строке прямоугольника
крестиков
больше,
чем
ноликов.
Докажите,
что
обязательно найдётся столбец, в котором крестиков тоже больше, чем ноликов.