Математика. Сборник задач по основному курсу

Электронное издание

Москва
Лаборатория знаний
2022

СБОРНИК ЗАДАЧ
по основному курсу

Учебно-методическое пособие

Под редакцией 
М. В. Федотова

МАТЕМАТИКА

Н. Д. Золотарёва,  Ю. А. Попов, 
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов

УДК 373.3:51
ББК 22.1я729
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Математика. Сборник задач по основному курсу : учеб-
но-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под ред. М. В. Федото-
ва. — Электрон. изд. — М. : Лаборатория знаний, 2022. —
270 с. — (ВМК МГУ — школе). — Систем. требования: Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст
:
электронный.
ISBN 978-5-00101-990-9
Настоящее
пособие
составлено
преподавателями
факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ и задач Единого государственно-
го экзамена. Пособие содержит теоретический материал, примеры
с решениями и подборку задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого го-
сударственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступле-
нию как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репе-
титорам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
УДК 373.3:51
ББК 22.1я729

Деривативное издание на основе печатного аналога: Матема-
тика. Сборник задач по основному курсу : учебно-методическое по-
собие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, Н. Л. Семендяева, М. В. Фе-
дотов ; под ред. М. В. Федотова. — М. : Лаборатория знаний, 2022. —
265 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе). — ISBN 978-5-93208-253-9.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-990-9

© Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов, 2022

© Лаборатория знаний, 2022

Оглавление

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Часть I. Алгебра
9

1.
Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения
и неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.1.
Формулы сокращенного умножения, преобразование алгебра-
ических выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.2.
Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

1.3.
Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и не-
равенства с модулем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

1.4.
Квадратный трехчлен, разложение квадратного трехчлена на
множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема
Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

2.
Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простей-
шие системы уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

2.1.
Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . .
22

2.2.
Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение
переменных при решении систем уравнений . . . . . . . . . . .
26

2.3.
Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равно-
сильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

2.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

3.
Преобразование тригонометрических выражений, стандартные три-
гонометрические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

3.1.
Соотношения между тригонометрическими функциями одно-
го и того же аргумента, формулы двойного и половинного
аргументов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

3.2.
Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на
множители, сведение к квадратному уравнению . . . . . . . .
37

3.3.
Применение тригонометрических формул для сведения урав-
нений к простейшим
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

3.4.
Различные задачи на отбор корней . . . . . . . . . . . . . . . .
44

4.
Стандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

4.1.
Пропорциональные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

4.2.
Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . .
49

4.3.
Скорость, движение и время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

4.4.
Работа и производительность . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

4.5.
Проценты, формула сложного процента . . . . . . . . . . . . .
59

5.
Стандартные показательные и логарифмические уравнения и нера-
венства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

5.1.
Преобразование логарифмических выражений. Сравнение ло-
гарифмических и показательных значений
. . . . . . . . . . .
62

5.2.
Простейшие показательные уравнения и неравенства, равно-
сильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65

5.3.
Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, рав-
носильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

5.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

6.
Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы
тригонометрических уравнений, использование ограниченности три-
гонометрических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

6.1.
Линейные тригонометрические уравнения,
метод вспомогательного аргумента . . . . . . . . . . . . . . . .
77

6.2.
Однородные тригонометрические уравнения второй степени,
замена тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . .
79

6.3.
Системы тригонометрических уравнений
. . . . . . . . . . . .
83

6.4.
Использование ограниченности тригонометрических функ-
ций, оценочные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

7.
Изображение множества точек на координатной плоскости, исполь-
зование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах
различных типов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92

7.1.
Геометрические места точек, графики функций, правила ли-
нейных преобразований графиков
. . . . . . . . . . . . . . . .
92

7.2.
Плоские геометрические фигуры, применение метода коорди-
нат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

7.3.
Использование графических иллюстраций при решении урав-
нений и неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

8.
Элементы математического анализа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.1.
Производная, ее геометрический и физический смыслы. Про-
изводные элементарных функций, основные правила диффе-
ренцирования функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.2.
Исследование функций с помощью производной . . . . . . . . 106

8.3.
Первообразные элементарных функций. Основные правила
нахождения первообразных. Вычисление площади плоской
фигуры с помощью первообразной . . . . . . . . . . . . . . . . 110

9.
Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.1.
Скорость, движение и время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.2.
Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . . 117

9.3.
Концентрация, смеси и сплавы,
массовые и объемные доли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.4.
Целые числа, перебор вариантов, отбор решений . . . . . . . . 123

10.
Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 126
10.1.
Различные приемы раскрытия модулей, системы уравнений
и неравенств с модулями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

10.2.
Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях . . . . 131

10.3.
Раскрытие модулей в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

11.
Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравен-
ствах различных видов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.1.
Понятие расщепления. Равносильные преобразования . . . . . 136

11.2.
Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
140

11.3.
Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях 
и неравенствах. Модифицированный метод интервалов . . 143

11.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Часть II. Геометрия
151

Планиметрия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1.
Треугольники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1.1.
Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1.2.
Треугольники общего вида.
Теоремы синусов, косинусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

1.3.
Медиана, биссектриса, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

1.4.
Подобие треугольников. Теорема Фалеса
. . . . . . . . . . . . 163

1.5.
Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

2.
Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.1.
Углы в окружностях. Касание окружности и прямой . . . . . 172

2.2.
Свойства касательных, хорд, секущих . . . . . . . . . . . . . . 177

2.3.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

3.
Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.1.
Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

3.2.
Трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.3.
Четырехугольники общего вида. Правильные многоугольники 193

4.
Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.1.
Декартовы координаты и векторы на плоскости . . . . . . . . 197

Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Введение в стереометрию
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.
Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.1.
Прямая призма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.2.
Наклонная призма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.
Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.1.
Правильная пирамида
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.2.
Тетраэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.3.
Произвольные пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.
Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.1.
Цилиндр
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

7.2.
Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.3.
Шар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.
Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.1.
Декартовы координаты и векторы в пространстве . . . . . . . 228

Варианты ДВИ МГУ последних лет
232

Ответы
242

Список литературы
265

От редактора

Уважаемый читатель, вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ — шко-
ле». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом
более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на подготови-
тельных курсах факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени М. В. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных под-
готовительных курсов, затем были разработаны электронные версии учебников,
используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта подготовле-
на серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее
пособие.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии и физике. По каждому предме-
ту вышли два пособия: основной курс и углубленный курс, содержащий сложные
задачи Единого государственного экзамена и нестандартные задачи вступитель-
ных экзаменов в вузы (в основном это задачи различных факультетов МГУ имени
М. В. Ломоносова). Основной курс содержит все разделы соответствующего пред-
мета, необходимые для решения задач первой части ЕГЭ и некоторых задач второй
части, а также первой половины задач вариантов вступительных экзаменов в ву-
зы. Углубленный курс содержит задачи, научившись решать которые, вы сможете
решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи олимпиад и вступительных эк-
заменов в вузы (за отведенное время можно просто физически не успеть решить
все задачи).
В серии «ВМК МГУ — школе» вышли также два пособия по информатике.
Первое рекомендуется в качестве пособия при подготовке к ЕГЭ по информатике
и ИКТ. Разделы этого пособия соответствуют темам, включенным в ЕГЭ. Вто-
рое — пособие по программированию — поможет вам подготовиться к экзамену по
информатике, научиться решать задачи по программированию на языке Паскаль.
Отличительной особенностью наших пособий является спиралевидная
схема подачи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, при-
чем каждый раз на более сложном уровне, чем в предыдущий. Это позволяет не
забывать пройденный материал и постепенно подходить к сложным задачам.

Заместитель декана по учебной работе
факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

Предисловие

До 2017 г. «основной курс» назывался «базовым курсом», но в связи с разделением
ЕГЭ на базовый и профильный уровни во избежание путаницы наш «базовый
курс» был переименован в «основной курс».
«Основной курс» рассчитан на закрепление школьного материала по математи-
ке и приобретение навыков, необходимых для решения задач ЕГЭ и стандартных
задач вступительных экзаменов в вуз.
Данный курс изначально не предполагает знаний, выходящих за рамки базовой
школьной программы. Все приемы, необходимые для решения задач, демонстри-
руются по ходу изучения материала.
Задачи в разделах расположены по принципу «от простого — к сложному».
Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому са-
ми разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке.
Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретиче-
ского материала и разбора примеров.
При составлении пособия авторы придерживались спиралевидного принципа
подачи материала: сначала предлагаются простые задачи по всем основным раз-
делам математики и методы их решения, затем рассматриваются более сложные
задачи, для решения которых требуются более сложные методы или их комбина-
ции. Это позволяет не только закрепить, но и осмыслить на новом уровне уже
пройденный материал. Такая схема обучения с успехом применяется на очных и
дистанционных подготовительных курсах факультета ВМК МГУ имени М. В. Ло-
моносова.
Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов
решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения.
Для задач письменного экзамена сначала идет сокращенное название факуль-
тета, затем год, в котором была задача (если после года в скобках идет цифра 1
или 2, это значит, что задача была на весенней олимпиаде факультета: на мехмате
и физфаке весной проходили две олимпиады; на ВМК, геологическом, химиче-
ском, географическом факультетах и факультете почвоведения — одна олимпиада
весной). После точки идет номер задачи в варианте (обычно, чем больше номер,
тем сложнее задача в данном варианте). Например, (ВМК-98.3) означает, что зада-
ча была в 1998 г. летом на вступительных экзаменах на факультете ВМК, третьим
номером в варианте, а (М/м-97(2).1) означает, что задача была в 1997 г. на вто-
рой весенней олимпиаде механико-математического факультета первым номером
в варианте.

Сокращения названий факультетов, принятые в данной книге

М/м — механико-математический факультет;
ВМК — факультет вычислительной математики и кибернетики (.Б — отделение ба-
калавров по прикладной математике, .И — отделение бакалавров по информаци-
онным технологиям);
Физ — физический факультет;
Хим — химический факультет;
ВКНМ — Высший колледж наук о материалах;
ФНМ — факультет наук о материалах (до 2000 г. — ВКНМ);
Биол — биологический факультет;

Почв — факультет почвоведения;
Геол — геологический факультет (.ОГ — отделение общей геологии);
Геогр — географический факультет;
Экон — экономический факультет (.М — отделение менеджмента, .К — отделение
экономической кибернетики, .В — вечернее отделение);
ВШБ — Высшая школа бизнеса;
Псих — факультет психологии;
Фил — философский факультет;
Филол — филологический факультет;
Соц — социологический факультет;
ИСАА — Институт стран Азии и Африки;
ФГУ — факультет государственного управления (отделение «Антикризисное управ-
ление»);
ЧФ — Черноморский филиал МГУ (г. Севастополь);
МШЭ — Московская школа экономики.

Используемые обозначения

{a} — множество, состоящее из одного элемента a;
∪ — объединение;
∩ — пересечение;
∅ — пустое множество;
∈ — знак принадлежности;
⊂ — знак включения подмножества;
∀ — для любого;
A\B — разность множеств A и B;
=⇒ — следовательно;
⇐⇒ — тогда и только тогда;
N — множество всех натуральных чисел;
N0 = N ∪ {0};
Z — множество всех целых чисел;
Q — множество всех рациональных чисел;
R — множество всех действительных чисел;
ОДЗ — область допустимых значений;
...
– знак системы, означающий, что должны выполняться все
...
условия, объединенные этим знаком;
...
– знак совокупности, означающий, что должно выполняться
...
хотя бы одно из условий, объединенных этим знаком.

Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие
вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факульта-
тивов, преподавателям подготовительных курсов.

Желаем удачи!

Часть I. Алгебра

1.
Преобразование алгебраических выражений,
простейшие уравнения и неравенства

1.1.
Формулы сокращенного умножения,
преобразование алгебраических выражений

Теоретический материал

В этом разделе собраны задачи, при решении которых используются различные
полезные формулы и преобразования: формулы сокращенного умножения, выде-
ление полного квадрата, домножение на сопряженное выражение.
Необходимо знать и уметь применять следующие формулы:

a2 − b2 = (a − b)(a + b);
(1)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(2)

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2;
(3)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2);
(4)

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2);
(5)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
(6)

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3;
(7)

причем все формулы нужно узнавать не только слева направо, но и справа налево.
Применение формул сокращенного умножения является одним из самых про-
стых способов разложения алгебраического выражения на множители. Все фор-
мулы справедливы при любых вещественных a и b, которые сами могут являться
числами, функциями или другими выражениями.
Помимо основных формул сокращенного умножения полезно знать и формулы
для большего числа слагаемых, например:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.

В общем случае: квадрат суммы нескольких чисел есть сумма квадратов этих чи-
сел плюс сумма всевозможных попарных произведений. Так, в формуле (2) сумма
всевозможных попарных произведений равна ab + ba = 2ab.

Часть I. Алгебра

Полезно знать также две следующие формулы, верные ∀n ∈ N:

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + an−3b2 + ... + abn−2 + bn−1);

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n − a2n−1b + a2n−2b2 − ... − ab2n−1 + b2n).

Примеры решения задач

П р и м е р 1. (Геол-98.1)
Найти численное значение выражения
9a2 − 16b2

4b + 3a
− a2b − 3ab2

ab

2
:
6ab − 8a3 − b3

2a − b

.

Р е ш е н и е. Согласно формулам (1) и (5)

9a2 − 16b2 = (3a − 4b)(3a + 4b),
8a3 − b3 = (2a − b)(4a2 + 2ab + b2).

Последовательно преобразуем исходное выражение:
(3a − 4b)(3a + 4b)

4b + 3a
− ab(a − 3b)

ab

2
:
6ab − (2a − b)(4a2 + 2ab + b2)

2a − b

=

= (3a−4b−a+3b)2 :(6ab−4a2−2ab−b2)= (2a−b)2 :(4a2−4ab+b2)·(−1)= −1.

Отметим, что выражение имеет смысл только при 4b + 3a ̸= 0, ab ̸= 0, 2a ̸= b.

О т в е т. −1 при 4b + 3a ̸= 0, ab ̸= 0, 2a ̸= b.

П р и м е р 2. (М/м-78.1)
Выражение
40
√

2 − 57
−
40
√

2 + 57 является це-
лым числом. Найти это целое число.

Р е ш е н и е. Первый способ. Выделим полные квадраты в подкоренных выраже-
ниях:
40
√

2 − 57
−
40
√

2 + 57 =
57 − 40
√

2 −
40
√

2 + 57 =

=
32 − 2 · 4
√

2 · 5 + 25 −
32 + 2 · 4
√

2 · 5 + 25 =

4
√

2 − 5
2
−

4
√

2 + 5
2
=

=
4
√

2 − 5
−
4
√

2 + 5
= 4
√

2 − 5 − 4
√

2 − 5 = −10.

З а м е ч а н и е. Коэффициенты полных квадратов можно найти методом неопре-
деленных коэффициентов (ищем a, b ∈ N):

57 + 40
√

2 =
a + b
√

2
2
=
a2 + 2b2+ 2ab
√

2.

Получаем систему уравнений

a2 + 2b2 = 57,
ab = 20;
значит, b ∈ {1; 2; 4; 5}, число a —

нечетное. Подходит пара a = 5, b = 4; следовательно, 57 + 40
√

2 =
5 + 4
√

2
2.

Аналогично 57 − 40
√

2 =
5 − 4
√

2
2.

1.1.
Формулы сокращенного умножения...
11

Второй способ. Примем числовое значение выражения за параметр и решим соответствующее 
уравнение.

Обозначим буквой A выражение
40
√

2 − 57
−
40
√

2 + 57; тогда A < 0, так
как первый радикал меньше второго.
Возведем обе части в квадрат:

A2 = 57 − 40
√

2 + 57 + 40
√

2 − 2

57 − 40
√

2
·
57 + 40
√

2
⇐⇒

⇐⇒
A2 = 114 − 2
572 − 1600 · 2
⇐⇒
A2 = 100
⇐⇒
A = ±10.

Значит, A = −10.

О т в е т. −10.

Задачи

1. Найти значение выражения
a
√

a2 + ab −
√a
√

a + b

:
a

a + b
при a = 4,

b = 5.

2. Найти значение выражения
2
√p − √q − 2√p

p − q
при p = 8, q = 9.

3. Сократить дробь
a − 81b
√a − 9
√

b
.

4. а) Сократить дробь
a + 27b

3√a + 3
3√

b
.

б) (ЧФ-04.1) Сократить дробь 64x3 − 27y6

9y4 − 16x2 .

5. (Геол-93.1) Найти численное значение выражения
8a√a + b
√

b

4√a + 2
√

b
−
√

ab

·

4√a + 2
√

b

4a − b

2
.

6. (Почв-98(1).1) Упростить выражение
√

2a −
√

b
√

2a +
√

b
−

√

2a +
√

b
√

2a −
√

b

·

b
4a −
a

b

.

7. (Псих-84.1) Вычислить, не используя калькулятор:
3
17

90 − 0, 125 : 1 1

8
: 480
7 : 1, 8 − 2 1

3 : 1, 5
: 2 2

3

−1

:
679 · 10−2

0, 7
+ 0, 3
.

8. Вычислить
4 + 2
√

3 −
4 − 2
√

3.

9. Выражение
3 −
√

8 −
√

2
является целым числом. Найти его.

Часть I. Алгебра

10. а) (Почв-96.1) Доказать, что число
4√

3 −
4√

27
2 + 7
·
4√

3 +
4√

27
2 − 7
целое, и найти его.

б) (Геол-10.1) Доказать, что при a =
3√

2 +
3√

4 число 6a − a3 целое, и найти
это число.

11. Упростить до целого числа выражение
310 + 6
√

3 −
√

3.

12. (МГУ-48.3) Выражение
35
√

2 + 7−
35
√

2 − 7 является целым числом. Найти 
это целое число.

13. (МГУ-48.2) Выражение
320 + 14
√

2+
320 − 14
√

2 является целым числом.
Найти это целое число.

14. а) (ИСАА-99.2) Упростив выражение

A = 3ab − b
√

ab + a
√

ab − 3b2

2−2 (ab−1 + a−1b) − 0, 5
− 2ab − 6a
1
2 b
3
2 ,

где a > b > 0 — действительные числа, выяснить, что больше: A или 0, 01.

б) (ВМК-09.1) Вычислить значение выражения

27x3 − y3

9x2 + 3xy + y2 +
y2 − 2xy + x2 − 2x

при x = 1, 33...3
10
2, y = 1, 33...3
10
1.

1.2.
Сравнение чисел

Теоретический материал

В этом разделе собраны простейшие задачи на сравнение чисел. В большинстве
случаев достаточно сгруппировать подходящим образом слагаемые и возвести обе
части неравенства в нужную степень. При этом в четную степень можно возводить
только неотрицательные величины.

Примеры решения задач

П р и м е р 1.
Доказать, что
√

2 +
√

3 <
√

10.

Р е ш е н и е. Для того чтобы избавиться от квадратных корней, будем возводить
в квадрат. Так как обе части исходного неравенства неотрицательны, то можем
возвести их в квадрат:

5 + 2
√

6 < 10
⇐⇒
2
√

6 < 5.

Возведя обе части последнего неравенства в квадрат, получим очевидное неравен-
ство 24 < 25. Следовательно, исходное неравенство также справедливо.

1.2.
Сравнение чисел
13

П р и м е р 2.
Выяснить, что больше:
3√

3 или
5√

5.

Р е ш е н и е. Составим формальное неравенство

3√

3 ∨
5√

5

и будем сводить его к очевидному неравенству с помощью алгебраических пре-
образований. Для того чтобы избавиться от радикалов, надо возвести обе части
неравенства в пятнадцатую степень:

3√

3
15
5√

5
15

35
∨
53

243
>
125.

Поскольку не было преобразований, меняющих знак неравенства, полученный
знак соответствует исходному, т. е.
3√

3 >
5√

5.

О т в е т.
3√

3 >
5√

5.

П р и м е р 3. (Экон-88.1)
Какое из двух чисел больше:
3√

4 +
√

2 или 3?

Р е ш е н и е. Составим формальное неравенство

3√

4 +
√

2 ∨ 3

и будем работать с ним как с обычным, исключив преобразования, меняющие его
знак. Возведем обе части неравенства
3√

4 ∨ 3 −
√

2
в куб:

4
∨
(3 −
√

2)3 = 45 − 29
√

2

29
√

2
∨
41.

Теперь возведем обе части неравенства в квадрат и получим 1682 > 1681; так как
не было преобразований, меняющих знак неравенства, полученный знак соответ-
ствует исходному, т. е.
3√

4 +
√

2 > 3.

О т в е т. Первое число больше.

Задачи

1. (ВМК-92.1) Какое из двух чисел
больше:
3
1990
1991 или
3
1991
1992 ?

2. (Геол-94(1).1) Какое из двух чисел меньше:
3√

47 или
√

13?

3. (Геол-82.1) Какое из следующих чисел больше:

ctg π

4 − 2 sin 3π

2
или
3√

5?

4. Сравнить числа 3400 и 4300.

5. Сравнить числа
√

7 +
√

10
и
√

3 +
√

19.