Математика. Сборник задач по основному курсу

Электронное издание

Москва
Лаборатория знаний
2022

СБОРНИК ЗАДАЧ
по основному курсу

Учебно-методическое пособие

Под редакцией 
М. В. Федотова

МАТЕМАТИКА

Н. Д. Золотарёва,  Ю. А. Попов, 
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов

УДК 373.3:51
ББК 22.1я729
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Математика. Сборник задач по основному курсу : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под ред. М. В. Федотова. — Электрон. изд. — М. : Лаборатория знаний, 2022. —
270 с. — (ВМК МГУ — школе). — Систем. требования: Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст
:
электронный.
ISBN 978-5-00101-990-9
Настоящее
пособие
составлено
преподавателями
факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ и задач Единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал, примеры
с решениями и подборку задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
УДК 373.3:51
ББК 22.1я729

Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика. Сборник задач по основному курсу : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под ред. М. В. Федотова. — М. : Лаборатория знаний, 2022. —
265 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе). — ISBN 978-5-93208-253-9.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-990-9

© Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов, 2022

© Лаборатория знаний, 2022

Оглавление

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Часть I. Алгебра
9

1.
Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения
и неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.1.
Формулы сокращенного умножения, преобразование алгебраических выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.2.
Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

1.3.
Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и неравенства с модулем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

1.4.
Квадратный трехчлен, разложение квадратного трехчлена на
множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема
Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

2.
Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простейшие системы уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

2.1.
Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . .
22

2.2.
Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение
переменных при решении систем уравнений . . . . . . . . . . .
26

2.3.
Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равносильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

2.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

3.
Преобразование тригонометрических выражений, стандартные тригонометрические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

3.1.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, формулы двойного и половинного
аргументов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

3.2.
Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на
множители, сведение к квадратному уравнению . . . . . . . .
37

3.3.
Применение тригонометрических формул для сведения уравнений к простейшим
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

3.4.
Различные задачи на отбор корней . . . . . . . . . . . . . . . .
44

4.
Стандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

4.1.
Пропорциональные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

4.2.
Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . .
49

4.3.
Скорость, движение и время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

4.4.
Работа и производительность . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

4.5.
Проценты, формула сложного процента . . . . . . . . . . . . .
59

5.
Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

5.1.
Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических и показательных значений
. . . . . . . . . . .
62

5.2.
Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65

5.3.
Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

5.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

6.
Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы
тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

6.1.
Линейные тригонометрические уравнения,
метод вспомогательного аргумента . . . . . . . . . . . . . . . .
77

6.2.
Однородные тригонометрические уравнения второй степени,
замена тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . .
79

6.3.
Системы тригонометрических уравнений
. . . . . . . . . . . .
83

6.4.
Использование ограниченности тригонометрических функций, оценочные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

7.
Изображение множества точек на координатной плоскости, использование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах
различных типов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92

7.1.
Геометрические места точек, графики функций, правила линейных преобразований графиков
. . . . . . . . . . . . . . . .
92

7.2.
Плоские геометрические фигуры, применение метода координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

7.3.
Использование графических иллюстраций при решении уравнений и неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

8.
Элементы математического анализа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.1.
Производная, ее геометрический и физический смыслы. Производные элементарных функций, основные правила дифференцирования функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.2.
Исследование функций с помощью производной . . . . . . . . 106

8.3.
Первообразные элементарных функций. Основные правила
нахождения первообразных. Вычисление площади плоской
фигуры с помощью первообразной . . . . . . . . . . . . . . . . 110

9.
Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.1.
Скорость, движение и время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.2.
Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . . 117

9.3.
Концентрация, смеси и сплавы,
массовые и объемные доли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.4.
Целые числа, перебор вариантов, отбор решений . . . . . . . . 123

10.
Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 126
10.1.
Различные приемы раскрытия модулей, системы уравнений
и неравенств с модулями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

10.2.
Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях . . . . 131

10.3.
Раскрытие модулей в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

11.
Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравенствах различных видов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.1.
Понятие расщепления. Равносильные преобразования . . . . . 136

11.2.
Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

11.3.
Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах. Модифицированный метод интервалов . . 143

11.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Часть II. Геометрия
151

Планиметрия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1.
Треугольники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1.1.
Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1.2.
Треугольники общего вида.
Теоремы синусов, косинусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

1.3.
Медиана, биссектриса, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

1.4.
Подобие треугольников. Теорема Фалеса
. . . . . . . . . . . . 163

1.5.
Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

2.
Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.1.
Углы в окружностях. Касание окружности и прямой . . . . . 172

2.2.
Свойства касательных, хорд, секущих . . . . . . . . . . . . . . 177

2.3.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

3.
Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.1.
Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

3.2.
Трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.3.
Четырехугольники общего вида. Правильные многоугольники 193

4.
Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.1.
Декартовы координаты и векторы на плоскости . . . . . . . . 197

Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Введение в стереометрию
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.
Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.1.
Прямая призма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.2.
Наклонная призма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.
Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.1.
Правильная пирамида
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.2.
Тетраэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.3.
Произвольные пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.
Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.1.
Цилиндр
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

7.2.
Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.3.
Шар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.
Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.1.
Декартовы координаты и векторы в пространстве . . . . . . . 228

Варианты ДВИ МГУ последних лет
232

Ответы
242

Список литературы
265

От редактора

Уважаемый читатель, вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ — школе». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом
более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных курсах факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени М. В. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных подготовительных курсов, затем были разработаны электронные версии учебников,
используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта подготовлена серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее
пособие.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии и физике. По каждому предмету вышли два пособия: основной курс и углубленный курс, содержащий сложные
задачи Единого государственного экзамена и нестандартные задачи вступительных экзаменов в вузы (в основном это задачи различных факультетов МГУ имени
М. В. Ломоносова). Основной курс содержит все разделы соответствующего предмета, необходимые для решения задач первой части ЕГЭ и некоторых задач второй
части, а также первой половины задач вариантов вступительных экзаменов в вузы. Углубленный курс содержит задачи, научившись решать которые, вы сможете
решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи олимпиад и вступительных экзаменов в вузы (за отведенное время можно просто физически не успеть решить
все задачи).
В серии «ВМК МГУ — школе» вышли также два пособия по информатике.
Первое рекомендуется в качестве пособия при подготовке к ЕГЭ по информатике
и ИКТ. Разделы этого пособия соответствуют темам, включенным в ЕГЭ. Второе — пособие по программированию — поможет вам подготовиться к экзамену по
информатике, научиться решать задачи по программированию на языке Паскаль.
Отличительной особенностью наших пособий является спиралевидная
схема подачи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, причем каждый раз на более сложном уровне, чем в предыдущий. Это позволяет не
забывать пройденный материал и постепенно подходить к сложным задачам.

Заместитель декана по учебной работе
факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

Предисловие

До 2017 г. «основной курс» назывался «базовым курсом», но в связи с разделением
ЕГЭ на базовый и профильный уровни во избежание путаницы наш «базовый
курс» был переименован в «основной курс».
«Основной курс» рассчитан на закрепление школьного материала по математике и приобретение навыков, необходимых для решения задач ЕГЭ и стандартных
задач вступительных экзаменов в вуз.
Данный курс изначально не предполагает знаний, выходящих за рамки базовой
школьной программы. Все приемы, необходимые для решения задач, демонстрируются по ходу изучения материала.
Задачи в разделах расположены по принципу «от простого — к сложному».
Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке.
Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретического материала и разбора примеров.
При составлении пособия авторы придерживались спиралевидного принципа
подачи материала: сначала предлагаются простые задачи по всем основным разделам математики и методы их решения, затем рассматриваются более сложные
задачи, для решения которых требуются более сложные методы или их комбинации. Это позволяет не только закрепить, но и осмыслить на новом уровне уже
пройденный материал. Такая схема обучения с успехом применяется на очных и
дистанционных подготовительных курсах факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова.
Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов
решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения.
Для задач письменного экзамена сначала идет сокращенное название факультета, затем год, в котором была задача (если после года в скобках идет цифра 1
или 2, это значит, что задача была на весенней олимпиаде факультета: на мехмате
и физфаке весной проходили две олимпиады; на ВМК, геологическом, химическом, географическом факультетах и факультете почвоведения — одна олимпиада
весной). После точки идет номер задачи в варианте (обычно, чем больше номер,
тем сложнее задача в данном варианте). Например, (ВМК-98.3) означает, что задача была в 1998 г. летом на вступительных экзаменах на факультете ВМК, третьим
номером в варианте, а (М/м-97(2).1) означает, что задача была в 1997 г. на второй весенней олимпиаде механико-математического факультета первым номером
в варианте.

Сокращения названий факультетов, принятые в данной книге

М/м — механико-математический факультет;
ВМК — факультет вычислительной математики и кибернетики (.Б — отделение бакалавров по прикладной математике, .И — отделение бакалавров по информационным технологиям);
Физ — физический факультет;
Хим — химический факультет;
ВКНМ — Высший колледж наук о материалах;
ФНМ — факультет наук о материалах (до 2000 г. — ВКНМ);
Биол — биологический факультет;

Почв — факультет почвоведения;
Геол — геологический факультет (.ОГ — отделение общей геологии);
Геогр — географический факультет;
Экон — экономический факультет (.М — отделение менеджмента, .К — отделение
экономической кибернетики, .В — вечернее отделение);
ВШБ — Высшая школа бизнеса;
Псих — факультет психологии;
Фил — философский факультет;
Филол — филологический факультет;
Соц — социологический факультет;
ИСАА — Институт стран Азии и Африки;
ФГУ — факультет государственного управления (отделение «Антикризисное управление»);
ЧФ — Черноморский филиал МГУ (г. Севастополь);
МШЭ — Московская школа экономики.

Используемые обозначения

{a} — множество, состоящее из одного элемента a;
∪ — объединение;
∩ — пересечение;
∅ — пустое множество;
∈ — знак принадлежности;
⊂ — знак включения подмножества;
∀ — для любого;
A\B — разность множеств A и B;
=⇒ — следовательно;
⇐⇒ — тогда и только тогда;
N — множество всех натуральных чисел;
N0 = N ∪ {0};
Z — множество всех целых чисел;
Q — множество всех рациональных чисел;
R — множество всех действительных чисел;
ОДЗ — область допустимых значений;
...
– знак системы, означающий, что должны выполняться все
...
условия, объединенные этим знаком;
...
– знак совокупности, означающий, что должно выполняться
...
хотя бы одно из условий, объединенных этим знаком.

Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие
вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Желаем удачи!

Часть I. Алгебра

1.
Преобразование алгебраических выражений,
простейшие уравнения и неравенства

1.1.
Формулы сокращенного умножения,
преобразование алгебраических выражений

Теоретический материал

В этом разделе собраны задачи, при решении которых используются различные
полезные формулы и преобразования: формулы сокращенного умножения, выделение полного квадрата, домножение на сопряженное выражение.
Необходимо знать и уметь применять следующие формулы:

a2 − b2 = (a − b)(a + b);
(1)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(2)

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2;
(3)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2);
(4)

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2);
(5)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
(6)

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3;
(7)

причем все формулы нужно узнавать не только слева направо, но и справа налево.
Применение формул сокращенного умножения является одним из самых простых способов разложения алгебраического выражения на множители. Все формулы справедливы при любых вещественных a и b, которые сами могут являться
числами, функциями или другими выражениями.
Помимо основных формул сокращенного умножения полезно знать и формулы
для большего числа слагаемых, например:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.

В общем случае: квадрат суммы нескольких чисел есть сумма квадратов этих чисел плюс сумма всевозможных попарных произведений. Так, в формуле (2) сумма
всевозможных попарных произведений равна ab + ba = 2ab.

Часть I. Алгебра

Полезно знать также две следующие формулы, верные ∀n ∈ N:

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + an−3b2 + ... + abn−2 + bn−1);

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n − a2n−1b + a2n−2b2 − ... − ab2n−1 + b2n).

Примеры решения задач

П р и м е р 1. (Геол-98.1)
Найти численное значение выражения
9a2 − 16b2

4b + 3a
− a2b − 3ab2

ab

2
:
6ab − 8a3 − b3

2a − b

.

Р е ш е н и е. Согласно формулам (1) и (5)

9a2 − 16b2 = (3a − 4b)(3a + 4b),
8a3 − b3 = (2a − b)(4a2 + 2ab + b2).

Последовательно преобразуем исходное выражение:
(3a − 4b)(3a + 4b)

4b + 3a
− ab(a − 3b)

ab

2
:
6ab − (2a − b)(4a2 + 2ab + b2)

2a − b

=

= (3a−4b−a+3b)2 :(6ab−4a2−2ab−b2)= (2a−b)2 :(4a2−4ab+b2)·(−1)= −1.

Отметим, что выражение имеет смысл только при 4b + 3a ̸= 0, ab ̸= 0, 2a ̸= b.

О т в е т. −1 при 4b + 3a ̸= 0, ab ̸= 0, 2a ̸= b.

П р и м е р 2. (М/м-78.1)
Выражение
40
√

2 − 57
−
40
√

2 + 57 является целым числом. Найти это целое число.

Р е ш е н и е. Первый способ. Выделим полные квадраты в подкоренных выражениях:
40
√

2 − 57
−
40
√

2 + 57 =
57 − 40
√

2 −
40
√

2 + 57 =

=
32 − 2 · 4
√

2 · 5 + 25 −
32 + 2 · 4
√

2 · 5 + 25 =

4
√

2 − 5
2
−

4
√

2 + 5
2
=

=
4
√

2 − 5
−
4
√

2 + 5
= 4
√

2 − 5 − 4
√

2 − 5 = −10.

З а м е ч а н и е. Коэффициенты полных квадратов можно найти методом неопределенных коэффициентов (ищем a, b ∈ N):

57 + 40
√

2 =
a + b
√

2
2
=
a2 + 2b2+ 2ab
√

2.

Получаем систему уравнений

a2 + 2b2 = 57,
ab = 20;
значит, b ∈ {1; 2; 4; 5}, число a —

нечетное. Подходит пара a = 5, b = 4; следовательно, 57 + 40
√

2 =
5 + 4
√

2
2.

Аналогично 57 − 40
√

2 =
5 − 4
√

2
2.