Геометрия. Углубленный курс с решениями и указаниями

УГЛУБЛЕННЫЙ КУРС
с решениями и указаниями

Москва
Лаборатория знаний
2022

Учебно-методическое пособие

8-е издание, электронное

Под редакцией 
М. В. Федотова

ГЕОМЕТРИЯ

Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов

УДК 514
ББК 22.151.0я721.9
Б90

Будак Б. А.
Б90
Геометрия. Углубленный курс с решениями и указаниями : учебно-методическое пособие / Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов ; под ред. М. В. Федотова. — 8-е изд.,
электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2022. — 601 с. — (ВМК
МГУ — школе). — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-959-6
Настоящее
пособие
составлено
преподавателями
факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ и задач Единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал, подборку
задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
УДК 514
ББК 22.151.0я721.9

Деривативное издание на основе печатного аналога: Геометрия. Углубленный курс с решениями и указаниями : учебно-методическое пособие / Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов ; под
ред. М. В. Федотова. — 7-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2021. —
596 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе). — ISBN 978-5-00101-369-3.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-959-6

© Б. А. Будак,
Н. Д. Золотарёва,
М. В. Федотов, 2015

© Лаборатория знаний, 2015

Оглавление

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Часть I. Теория и задачи
7

1.
Треугольники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.1.
Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.2.
Теоремы синусов и косинусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

1.3.
Биссектриса, медиана, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

1.4.
Подобие треугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

1.5.
Площадь треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

2.
Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64

2.1.
Углы в окружностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64

2.2.
Касательные, хорды, секущие . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

3.
Четырёхугольники и многоугольники
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
86

3.1.
Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86

3.2.
Трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

3.3.
Четырёхугольники и многоугольники общего вида . . . . . . . 106

4.
Задачи на доказательство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.1.
Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.2.
Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.3.
Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.4.
Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.
Задачи на построение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.1.
Алгебраический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.2.
Метод геометрических мест точек
. . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3.
Метод симметрии и спрямления . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.4.
Метод параллельного переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.5.
Метод подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.6.
Метод поворота и смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.
Стереометрия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.1.
Введение в стереометрию
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.2.
Многогранники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.3.
Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.4.
Комбинации тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Часть II. Указания и решения
181

1.
Треугольники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

1.1.
Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

1.2.
Теоремы синусов и косинусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

1.3.
Биссектриса, медиана, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

1.4.
Подобие треугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

1.5.
Площадь треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

2.
Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
2.1.
Углы в окружностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

2.2.
Касательные, хорды, секущие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

3.
Четырёхугольники и многоугольники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

3.1.
Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

3.2.
Трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

3.3.
Четырёхугольники и многоугольники общего вида . . . . . . . 446

4.
Задачи на доказательство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

4.1.
Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

4.2.
Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

4.3.
Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

4.4.
Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

5.
Задачи на построение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
5.1.
Алгебраический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

5.2.
Метод геометрических мест точек
. . . . . . . . . . . . . . . . 503

5.3.
Метод симметрии и спрямления . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

5.4.
Метод параллельного переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

5.5.
Метод подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

5.6.
Метод поворота и смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . 545

6.
Стереометрия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

6.2.
Многогранники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

6.3.
Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

6.4.
Комбинации тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

Задачи ЕГЭ последних лет
578

Варианты ДВИ МГУ последних лет
580

Ответы
587

Список литературы
596

От редактора

Уважаемый читатель, Вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ – школе». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом
более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных курсах факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени М. В. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных подготовительных курсов, затем были разработаны электронные версии учебников,
используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта подготовлена серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее
пособие.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии и физике. По каждому предмету
вышли два пособия: основной курс и углубленный курс, содержащий сложные
задачи единого государственного экзамена и нестандартные задачи вступительных
экзаменов в вузы (в основном это задачи различных факультетов МГУ имени М.В.
Ломоносова). Основной курс содержит все разделы соответствующего предмета,
необходимые для решения задач первой части ЕГЭ и некоторых задач второй
части, а также первой половины задач вариантов вступительных экзаменов в вузы.
Углубленный курс содержит задачи, научившись решать которые, вы сможете
решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи олимпиад и вступительных
экзаменов в вузы (за отведённое время можно просто физически не успеть решить
все задачи).
В серии «ВМК МГУ – школе» вышли два пособия по информатике. Первое
рекомендуется в качестве пособия при подготовке к ЕГЭ по информатике и ИКТ.
Разделы этого пособия соответствуют темам, включенным в ЕГЭ. Второе – пособие по программированию – поможет вам подготовиться к экзамену по информатике, научиться решать задачи по программированию на языке Паскаль.
Отличительной особенностью наших пособий является то, что наряду
с традиционными составляющими (теоретический раздел, примеры с решениями,
задачи для самостоятельного решения) мы предлагаем решения всех предложенных задач с идеями и последовательными подсказками, помогающими решить
задачу оптимальным способом без посторонней помощи. Это позволит ученику
самостоятельно продвигаться в решении задачи так, как если бы за его спиной
стоял учитель и направлял ход его мысли при решении трудных задач. Конечно,
мы понимаем, что настоящего учителя не может заменить никакая книга, но если
учителя рядом нет, то, как показал опыт наших дистанционных подготовительных курсов, наличие грамотных подсказок помогает учащимся самостоятельно
научиться решать задачи. С помощью нашего пособия приобретение такого опыта
учениками будет значительно облегчено. С другой стороны, наши пособия помогут молодым учителям вести занятия. Мы знаем на собственном опыте, что не
всегда легко направлять ученика так, чтобы он сам догадался, как решить задачу. Второй особенностью наших пособий является спиралевидная схема
подачи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, причём каждый раз на более сложном уровне, чем в предыдущий. Это позволяет не забывать
пройденный материал и постепенно подходить к сложным задачам.

Заместитель декана по учебной работе
факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова
М. В. Федотов

Предисловие

Предлагаемый «Углублённый курс» является естественным продолжением «Основного курса» по геометрии и предполагает свободное владение методами и приёмами из «Основного курса».
Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения. Задачи
в разделах расположены по принципу «от простого – к сложному». Аналогичная
ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами разделы и
задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке. Приступать
к решению задач надо после изучения соответствующего теоретического материала и разбора примеров. Если самостоятельное решение задачи вызывает трудности, рекомендуется воспользоваться системой указаний (подсказок). В случае,
если Вам не удалось получить правильный ответ или у Вас возникли сомнения
в правильности Вашего решения, рекомендуется изучить решение, предложенное
авторами.
Необходимо отметить, что в формулировках задач параллельно с математически более корректной терминологией типа «длина отрезка AB равна 5» и записью
|AB| = 5 используется школьная терминология типа «отрезок AB равен 5» и запись AB = 5.

Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и другие
вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Желаем удачи!

Часть I. Теория и задачи

1.
Треугольники

1.1.
Прямоугольные треугольники

Теоретический материал

Этот раздел всецело посвящен прямоугольным треугольникам. Для успешного
решения задач, относящихся к этой теме, необходимо знать и уметь обосновывать
все факты, перечисленные ниже по тексту.

1. Соотношения между длинами сторон и величинами углов в прямоугольном треугольнике

A

B
C
a

b
c

|BC| = a

|AC| = b

|AB| = c

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC , будем считать, что его угол C прямой (то есть его величина равна π/2), длины отрезков AB, AC и BC (которые везде
в пособии будут обозначены как |AB|, |AC|,
|BC|) равны c, b и a соответственно. Тогда

a = b · tg A = b · ctg B = c · sin A = c · cos B,

b = a · tg B = a · ctg A = c · sin B = c · cos A,

c =
a

sin A
=
a

cos B
=
b

sin B
=
b

cos A
.

З а м е ч а н и е. Полезно знать, что эти формулы на самом деле есть не что иное,
как переписанные утверждения, вытекающие из определений тригонометрических
функций величин острых углов, а именно:
Синус величины острого угла прямоугольного треугольника равен отношению
длины катета, противолежащего этому углу, к длине гипотенузы;
Косинус величины острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины катета, прилежащего к этому углу, к длине гипотенузы;
Тангенс величины острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины катета, противолежащего этому углу, к длине катета, прилежащего к этому углу;
Котангенс величины острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины катета, прилежащего к этому углу, к длине катета, противолежащего этому углу.

Теория и задачи

2. Соотношения между длинами сторон и величинами углов в равнобедренном треугольнике

A

B

C
H

Пользуясь вышеизложенными фактами, получим непосредственно вытекающие из них важные
соотношения между длинами сторон, длиной высоты, проведенной к основанию, и величинами углов в равнобедренном треугольнике. Как показывает практика, при решении задач очень часто возникают различные конфигурации, в которые входят
равнобедренные треугольники, и, как следствие,
возникает необходимость применять нижеприведённые формулы. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC , в котором |AB| = |BC|, BH —
высота, проведенная к основанию AC . Справедливы следующие утверждения:

I. Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна частному длины его основания и удвоенного косинуса величины угла при основании этого треугольника:

|AB| = |BC| =
|AC|

2 cos BAC
,
|AC| = 2 · |AB| · cos BAC.

II. Длина высоты равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию,
равна частному длины этого основания и удвоенного котангенса величины угла
при основании этого треугольника:

|BH| =
|AC|

2 ctg BAC
,
|AC| = 2 · |BH| · ctg BAC.

Доказательство этих фактов несложно: ясно, что прямоугольные треугольники
ABH и CBH равны по гипотенузе и катету. Из этого равенства вытекает, что
|AH| = |HC|, а, с другой стороны, из прямоугольного треугольника ABH следует,
что |AH| = |AB| · cos BAC , |AH| = |BH| · ctg BAC . Поэтому

|AC| = 2 · |AH| = 2 · |AB| · cos BAC
⇐⇒
|AB| = |BC| =
|AC|

2 cos BAC
;

|AC| = 2 · |AH| = 2 · |BH| · ctg BAC
⇐⇒
|BH| =
|AC|

2 ctg BAC
.

Утверждение доказано.

3. Формула площади прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена как половина

произведения длин его катетов
S = ab

2

.

Доказательство этого факта практически очевидно – ясно, что если в прямоугольнике, длины сторон которого равны a и b, провести диагональ, то он будет
разделён на два равных прямоугольных треугольника, длины катетов которых

1.1.
Прямоугольные треугольники
9

равны a и b. Осталось лишь вспомнить, что площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон, то есть ab.

4. Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы; длина радиуса этой окружности равна половине
длины гипотенузы
R = c

2

.

A
B

C

K

O
m

Для доказательства этого утверждения воспользуемся тем, что центр окружности, описанной около произвольного треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол
C прямой), обозначим буквой K середину его стороны BC , проведем через точку K прямую m, перпендикулярную BC (она как раз и будет серединным
перпендикуляром к отрезку BC ) и обозначим буквой
O точку пересечения m и AB.
Рассматривая прямоугольные треугольники ABC
и OBK , имеем cos B = |BK| : |OB| = |BC| : |AB|, из
чего следует |OB| : |AB| = |BK| : |BC|. Но поскольку
|BK| : |BC| = 1 : 2, точка O – середина отрезка AB. Наконец, в силу того,
что серединный перпендикуляр к AB тоже проходит через точку O, точка O
есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
ABC , то есть она является центром окружности, описанной около треугольника
ABC . Длина радиуса этой окружности, очевидно, равна длине отрезка OA, то
есть половине длины гипотенузы AB.

З а м е ч а н и е. Верно и обратное утверждение: если у некоторого треугольника
центр описанной около него окружности находится на середине одной из его сторон (что эквивалентно тому, что длина радиуса этой окружности равна половине
длины одной из его сторон), то этот треугольник прямоугольный.

5. Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы (a2 + b2 = c2 ).

A

B

C

D

P
Q

R
S

Приведем доказательство этого факта. Рассмотрим четыре равных между собой прямоугольных
треугольника ABP , BCQ, CDR и DAS , будем
считать, что

|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = c,

|AP| = |BQ| = |CR| = |DS| = a,

|BP| = |CQ| = |DR| = |AS| = b,

и расположим их так, как показано на рисунке. Заметим, что |PQ| = |QR| = |RS| = |SP| = a + b,
углы P, Q, R и S прямые, поэтому PQRS – квадрат. С другой стороны, из теоремы о сумме величин
углов треугольника вытекает, что сумма величин острых углов прямоугольного

Теория и задачи

треугольника равна π/2. Но тогда величины углов ABC , BCD, CDA и DAB
тоже равны π/2. Это следует из того, что, например, ABC + ABP + CBQ = π,
ABP + CBQ = π/2. Пользуясь этим фактом и равенством длин отрезков AB,
BC , CD и DA, мы получаем, что ABCD тоже является квадратом.
Наконец, очевидно, что площадь квадрата PQRS равна сумме площади квадрата ABCD и учетверённой площади треугольника ABP . Пользуясь формулами
площади квадрата и прямоугольного треугольника, находим

(a + b)2 = c2 + 4 · ab

2
⇐⇒
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
⇐⇒
a2 + b2 = c2.

З а м е ч а н и е. Верна и обратная теорема: если в некотором треугольнике сумма
квадратов длин двух его сторон равна квадрату длины его третьей стороны, то
он прямоугольный.

6. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Длина радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равна

полуразности суммы длин его катетов и длины его гипотенузы
r = a + b − c

2

.

A
L
C

M

B

K

O

Доказательство этого факта чуть более сложно, чем
предыдущие доказательства. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол C прямой), обозначим
центр вписанной в него окружности буквой O, точки
её касания со сторонами AB, BC и AC – буквами K ,
M и L соответственно, а длину её радиуса – буквой r.
Ясно, что OK ⊥ AB, OM ⊥ BC и OL ⊥ AC . Из
этого следует, что OLCM – квадрат (у четырёхугольника OLCM три прямых угла, поэтому он прямоугольник, и равны длины смежных сторон OL и OM , поэтому он квадрат), стало быть, |CM| = |CL| = |OL| = r.
Также заметим, что равны пары прямоугольных треугольников AOL и AOK ,
BOM и BOK (по гипотенузе и катету), из чего вытекает, что |AL| = |AK|,
|BM| = |BK|. Наконец, запишем цепочку соотношений

|AB| = |AK| + |BK| = |AL| + |BM| =

= (|AC| − |CL|) + (|BC| − |CM|) = |AC| + |BC| − 2r,
откуда и следует требуемая формула.

З а м е ч а н и е. Обратное утверждение опять-таки верно: если длина радиуса
окружности, вписанной в некоторый треугольник, может быть вычислена как полуразность суммы длин двух его сторон и длины его третьей стороны, то этот
треугольник прямоугольный.

7. Медианы прямоугольного треугольника

Длина медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы, длина медианы, проведённой к катету, равна корню из суммы четверти квадрата длины этого катета и квадрата длины другого
катета:

mc = c

2, ma =

b2 + a2

4 , mb =

a2 + b2

4 .