Геометрия. Основной курс с решениями и указаниями

ОСНОВНОЙ КУРС
с решениями и указаниями

Москва
Лаборатория знаний
2022

Учебно-методическое пособие

Под редакцией 
М. В. Федотова

ГЕОМЕТРИЯ

Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов

3-е издание, электронное

УДК 373.3:51
ББК 22.1я729
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Геометрия. Основной курс с решениями и указаниями :
учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева,
М. В. Федотов
;
под
редакцией
М. В. Федотова. — 3-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2022. —
307 с. — (ВМК МГУ — школе). — Систем. требования: Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст
:
электронный.
ISBN 978-5-00101-958-9
Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач
Единого государственного экзамена преподавателями факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки)
и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
УДК 373.3:51
ББК 22.1я729

Деривативное издание на основе печатного аналога: Геометрия. Основной курс с решениями и указаниями : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ;
под редакцией М. В. Федотова. — 2-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2021. — 302 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе).
ISBN 978-5-00101-345-7

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-958-9

© Золотарёва Н. Д., Семендяева Н. Л.,
Федотов М. В., 2018

© Лаборатория знаний, 2018

Оглавление

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Часть I. Теория и задачи
7

Планиметрия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.
Треугольники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.1.
Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.2.
Общие треугольники. Теоремы синусов, косинусов . . . . . . .
11

1.3.
Медиана, биссектриса, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

1.4.
Подобие треугольников. Теорема Фалеса
. . . . . . . . . . . .
19

1.5.
Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

2.
Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

2.1.
Углы в окружностях. Касание окружности и прямой . . . . .
28

2.2.
Свойства касательных, хорд, секущих . . . . . . . . . . . . . .
32

2.3.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

3.
Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

3.1.
Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

3.2.
Трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

3.3.
Общие четырехугольники. Правильные многоугольники . . .
47

4.
Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

4.1.
Декартовы координаты и векторы на плоскости . . . . . . . .
51

Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Введение в стереометрию
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

5.
Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

5.1.
Прямая призма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

5.2.
Наклонная призма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

6.
Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

6.1.
Правильная пирамида
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

6.2.
Тетраэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

6.3.
Произвольные пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

7.
Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

7.1.
Цилиндр
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

7.2.
Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

7.3.
Шар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79

8.
Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

8.1.
Декартовы координаты и векторы в пространстве . . . . . . .
83

Часть II. Указания и решения
87

Планиметрия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

1.
Треугольники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

1.1.
Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

1.2.
Общие треугольники. Теоремы синусов, косинусов . . . . . . .
99

1.3.
Медиана, биссектриса, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.4.
Подобие треугольников. Теорема Фалеса
. . . . . . . . . . . . 122

1.5.
Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2.
Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.1.
Углы в окружностях. Касание окружности и прямой . . . . . 150

2.2.
Свойства касательных, хорд, секущих . . . . . . . . . . . . . . 161

2.3.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.
Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.1.
Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

3.2.
Трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

3.3.
Общие четырёхугольники. Правильные многоугольники . . . 206

4.
Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.1.
Декартовы координаты и векторы на плоскости . . . . . . . . 217

Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.
Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.1.
Прямая призма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.2.
Наклонная призма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6.
Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.1.
Правильная пирамида
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.2.
Тетраэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.3.
Произвольные пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.
Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.1.
Цилиндр
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

7.2.
Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

7.3.
Шар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.
Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
8.1.
Декартовы координаты и векторы в пространстве . . . . . . . 280

Задачи ЕГЭ последних лет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Варианты ДВИ МГУ последних лет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

От редактора

Уважаемый читатель, Вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ – школе». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом
более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных курсах факультета Вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени М. В. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных подготовительных курсов, затем были разработаны электронные версии учебников,
используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта подготовлена серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее
пособие.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии и физике. По каждому предмету
вышли два пособия: основной курс и углубленный курс, содержащий сложные
задачи единого государственного экзамена и нестандартные задачи вступительных
экзаменов в вузы (в основном это задачи различных факультетов МГУ имени М.В.
Ломоносова). Основной курс содержит все разделы соответствующего предмета,
необходимые для решения задач первой части ЕГЭ и некоторых задач второй
части, а также первой половины задач вариантов вступительных экзаменов в вузы.
Углубленный курс содержит задачи, научившись решать которые, вы сможете
решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи олимпиад и вступительных
экзаменов в вузы (за отведённое время можно просто физически не успеть решить
все задачи).
В серии «ВМК МГУ – школе» вышли два пособия по информатике. Первое
рекомендуется в качестве пособия при подготовке к ЕГЭ по информатике и ИКТ.
Разделы этого пособия соответствуют темам, включенным в ЕГЭ. Второе – пособие по программированию – поможет вам подготовиться к экзамену по информатике, научиться решать задачи по программированию на языке Паскаль.
Отличительной особенностью наших пособий является то, что наряду
с традиционными составляющими (теоретический раздел, примеры с решениями,
задачи для самостоятельного решения) мы предлагаем решения всех предложенных задач с идеями и последовательными подсказками, помогающими решить
задачу оптимальным способом без посторонней помощи. Это позволит ученику
самостоятельно продвигаться в решении задачи так, как если бы за его спиной
стоял учитель и направлял ход его мысли при решении трудных задач. Конечно,
мы понимаем, что настоящего учителя не может заменить никакая книга, но если
учителя рядом нет, то, как показал опыт наших дистанционных подготовительных курсов, наличие грамотных подсказок помогает учащимся самостоятельно
научиться решать задачи. С помощью нашего пособия приобретение такого опыта
учениками будет значительно облегчено. С другой стороны, наши пособия помогут молодым учителям вести занятия. Мы знаем на собственном опыте, что не
всегда легко направлять ученика так, чтобы он сам догадался, как решить задачу. Второй особенностью наших пособий является спиралевидная схема
подачи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, причём каждый раз на более сложном уровне, чем в предыдущий. Это позволяет не забывать
пройденный материал и постепенно подходить к сложным задачам.

Директор учебного центра
факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова
М. В. Федотов

Предисловие

Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени
М. В. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ
и задач единого государственного экзамена. «Основной курс» рассчитан на закрепление школьного материала по геометрии и приобретение навыков, необходимых
для решения задач ЕГЭ и стандартных задач вступительных экзаменов в вуз.
Предлагаемый курс изначально не предполагает знаний, выходящих за рамки базовой школьной программы. Все приёмы, необходимые для решения задач,
демонстрируются по ходу изучения материала.
Задачи в разделах расположены по принципу «от простого – к сложному».
Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке.
Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретического материала и разбора примеров. Если самостоятельное решение задачи вызывает трудности, рекомендуется воспользоваться системой указаний (подсказок).
В случае, если Вам не удалось получить правильный ответ или у Вас возникли
сомнения в правильности Вашего решения, рекомендуется изучить решение, предложенное авторами.
Необходимо отметить, что в реальных экзаменационных заданиях в формулировках задач наряду с математически более корректной терминологией типа
«длина отрезка AB равна 5» и записью |AB| = 5 используется школьная терминология типа «отрезок AB равен 5» и запись AB = 5. По этой причине в
формулировках задач также встречаются оба вида терминологии.

Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и другие
вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Желаем удачи!

Часть I. Теория и задачи

ПЛАНИМЕТРИЯ

1.
Треугольники

1.1.
Прямоугольные треугольники

Теоретический материал

В этом разделе собраны задачи, связанные с прямоугольными треугольниками.
При решении этих задач необходимо знать и уметь применять следующие формулы и теоремы.

Теорема Пифагора: a2 + b2 = c2,
здесь a, b – катеты

прямоугольного треугольника, c – гипотенуза.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника:

sin α = a

c ,
cos α = b

c,
tg α = a

b ,
ctg α = b

a;

здесь α – угол, противолежащий катету a.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

sin2 α + cos2 α = 1,
tg α = sin α

cos α,
ctg α = cos α

sin α ,

tg α · ctg α = 1,
1 + tg2 α =
1

cos2 α,
1 + ctg2 α =
1

sin2 α.

Значения тригонометрических функций основных углов:

sin π

4 = cos π

4 =

√

2
2 ,
tg π

4 = ctg π

4 = 1,

sin π

6 = cos π

3 = 1

2,
sin π

3 = cos π

6 =

√

3
2 ,

tg π

6 = ctg π

3 =

√

3
3 ,
tg π

3 = ctg π

6 =
√

3.

Теория и задачи

Формула длины высоты, проведённой к гипотенузе:

hc = ab

c = √cacb,

где ca и cb – проекции катетов a и b на гипотенузу c.

Для доказательства первого равенства достаточно записать площадь треугольника ABC двумя способами:

SΔABC = 1

2hcc = 1

2ab
=⇒
hc = ab

c .

Справедливость второго равенства следует из подобия треугольников, на которые высота, проведённая из вершины прямого угла, разбивает исходный треугольник:

ΔACH ∼ ΔCBH
=⇒
hc
cb
= ca

hc
=⇒
hc = √cacb.

Заметим также, что оба треугольника подобны исходному треугольнику ABC по
двум углам:

ΔACH ∼ ΔABC
(∠AHC = ∠ACB = 90◦, угол A общий),

ΔCBH ∼ ΔABC
(∠CHB = ∠ACB = 90◦, угол B общий).

Напомним основные факты, связанные с произвольными треугольниками.

• Сумма углов треугольника равна 180◦.

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

• Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

• Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка есть
центр вписанной окружности. При этом радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен соответствующей стороне треугольника, а отрезки
касательных, проведённых из одной вершины – равны.1

• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной
точке, и эта точка есть центр описанной окружности.

1Более подробно свойства окружностей будут рассмотрены в соответствующем разделе.

1.1.
Прямоугольные треугольники
9

З а м е ч а н и е. Центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный, и вне треугольника, если он тупоугольный. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. В этом случае радиус описанной окружности
равен медиане, проведённой к гипотенузе, и половине гипотенузы.

Примеры решения задач

П р и м е р 1.
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Р е ш е н и е. Пусть катет BC = 15, а проекция катета AC на гипотенузу AB
равна 16.
Поскольку диаметр окружности, опи
санной около прямоугольного треугольника, равен гипотенузе, нам надо найти проекцию катета BC на гипотенузу.
Обозначим высоту CH через h, а проекцию катета BC на гипотенузу через
x. По свойству высоты, проведённой к
гипотенузе, и теореме Пифагора, применённой к ΔBCH , получим
h2 = 16x,
h2 + x2 = 152;
=⇒
x2 + 16x − 152 = 0
=⇒
x = 9,

откуда диаметр d = AB = 25.

О т в е т. 25.

П р и м е р 2.
Окружность с центром O вписана в прямоугольный треугольник
ABC . Она касается гипотенузы AB в точке M , причём AM = 12 и BM = 8.
Найдите площадь треугольника AOB.

Р е ш е н и е. Для того, чтобы найти площадь треугольника AOB, нам надо найти его высоту OM , которая равна радиусу вписанной окружности. Его и будем
искать.
Пусть P и Q – точки касания вписанной окружности с катетами AC и
BC . Четырёхугольник PCQO является прямоугольником, поскольку у него
∠C = 90◦ по условию, а OP ⊥ PC и
OQ ⊥ QC как радиусы в точках касания. Кроме того, он является квадратом, так как OP = OQ = r, где r – радиус
вписанной окружности.

Теория и задачи

По свойству касательных, проведённых из одной точки, AP = AM = 12 и
BQ = BM = 8.
Применив теорему Пифагора к треугольнику ABC , получим:

(12 + 8)2 = (12 + r)2 + (8 + r)2
=⇒
r = 4
=⇒
SΔAOB = 1

2AB · r = 40.

О т в е т. 40.

П р и м е р 3.
Определить отношение длин медианы PO и высоты PE , проведённых из вершины P к гипотенузе QR в прямоугольном треугольнике PQR,
если QO : QE = 5 : 1.

Р е ш е н и е. Пусть QE = x, тогда QO = 5x и, следовательно, EO = 4x. Выразим
через x высоту PE .

Так как в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы, то

PO = 1

2QR = QO = 5x.

Применив теорему Пифагора к ΔPOE , получим:

PE =
(5x)2 − (4x)2 = 3x
=⇒
PO
PE = 5x

3x = 5

3.

О т в е т. 5 : 3.

Задачи

1. В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 10◦. Найдите острые углы треугольника.

2. Катеты прямоугольного треугольника имеют длину 12 и 5. Найдите длину
медианы, проведённой к гипотенузе.

3. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1 : 2, а больший
катет равен 4
√

3. Найти радиус окружности, описанной около треугольника.

4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если длина гипотенузы равна 2
√

13 см, а длина медианы большего острого угла равна 5 см.

5. Средние линии прямоугольного треугольника, параллельные катетам, равны 5 см и 12 см. Найдите высоту треугольника h, опущенную из вершины
прямого угла. В ответе запишите 13h.