Алгебра. Углубленный курс с решениями и указаниями

УГЛУБЛЕННЫЙ КУРС
с решениями и указаниями

Москва
Лаборатория знаний
2021

Учебно-методическое пособие

6-е издание, электронное 

Под редакцией 
М. В. Федотова

АЛГЕБРА

УДК 512
ББК 22.141я729+22.141я721.6
А45

А в т о р с к и й к о л л е к т и в:
Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, В. В. Сазонов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов
Первое издание данного пособия вышло в издательстве Московского университета в 2011 г. (ISBN 978-2-211-05950-4)

А45
Алгебра. Углубленный курс с решениями и указаниями :
учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, В. В. Сазонов [и др.] ; под ред. М. В. Федотова. — 6-е изд.,
электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2021. — 549 с. — (ВМК
МГУ — школе). — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-501-1
Настоящее
пособие
составлено
преподавателями
факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ и задач Единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал, подборку
задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется абитуриентам при подготовке к поступлению как
в МГУ, так и в другие вузы, при подготовке к сдаче Единого
государственного экзамена, а также учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
УДК 512
ББК 22.141я729+22.141я721.6

Деривативное издание на основе печатного аналога: Алгебра.
Углубленный курс с решениями и указаниями : учебно-методическое
пособие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, В. В. Сазонов [и др.] ; под
ред. М. В. Федотова. — 5-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2020. —
544 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе). — ISBN 978-5-00101-238-2.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты
компенсации

ISBN 978-5-93208-501-1

© Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
В. В. Сазонов, Н. Л. Семендяева,
М. В. Федотов, 2020
© Лаборатория знаний, 2015

Оглавление

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Часть I. Теория и задачи
9

1.
Элементы теории чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.1.
Целые числа. Делимость и остатки . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.2.
Уравнения в целых числах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

1.3.
Смешанные задачи на целые числа . . . . . . . . . . . . . . . .
14

1.4.
Рациональные и иррациональные числа . . . . . . . . . . . . .
17

1.5.
Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

2.
Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

2.1.
Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и
арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

2.2.
Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

2.3.
Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

2.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

3.
Полезные преобразования и замены переменных . . . . . . . . . . . .
35

3.1.
Использование формул сокращённого умножения, выделение
полного квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

3.2.
Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

3.3.
Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

3.4.
Замены переменных в показательных и логарифмических
уравнениях, неравенствах и системах
. . . . . . . . . . . . . .
46

3.5.
Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

4.
Нестандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54

4.1.
Недоопределённые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54

4.2.
Неравенства в текстовых задачах . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

4.3.
Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения . .
60

5.
Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

5.1.
Исследование свойств квадратичной функции в зависимости
от значений параметра. Теорема Виета
. . . . . . . . . . . . .
63

5.2.
Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на
числовой оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

5.3.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73

6.
Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

6.1.
Область определения функции, монотонность, периодичность,
чётность и нечётность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

3

Оглавление

6.2.
Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78

6.3.
Функциональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . .
83

6.4.
Использование графических иллюстраций
. . . . . . . . . . .
89

7.
Метод оценок
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95

7.1.
Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . .
95

7.2.
Тригонометрические уравнения и неравенства . . . . . . . . .
98

7.3.
Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.
Задачи на доказательство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.1.
Тригонометрические задачи на доказательство . . . . . . . . . 106

8.2.
Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.3.
Доказательство неравенств и тождеств
. . . . . . . . . . . . . 111

9.
Использование особенностей условия задачи
. . . . . . . . . . . . . . 114

9.1.
Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.2.
Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.3.
Редукция задачи и переформулирование условия
. . . . . . . 123

9.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Часть II. Указания и решения
131

1.
Элементы теории чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.1.
Целые числа. Делимость и остатки . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1.2.
Уравнения в целых числах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

1.3.
Смешанные задачи на целые числа . . . . . . . . . . . . . . . . 146

1.4.
Рациональные и иррациональные числа . . . . . . . . . . . . . 154

1.5.
Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2.
Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.1.
Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и
арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.2.
Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

2.3.
Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

2.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

3.
Полезные преобразования и замены переменных . . . . . . . . . . . . 218
3.1.
Использование формул сокращённого умножения, выделение
полного квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

3.2.
Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

3.3.
Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

3.4.
Замены переменных в показательных и логарифмических
уравнениях, неравенствах и системах
. . . . . . . . . . . . . . 259

3.5.
Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

4.
Нестандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
4.1.
Недоопределённые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

4.2.
Неравенства в текстовых задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

4.3.
Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения . . 300

5.
Использование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
5.1.
Исследование свойств квадратичной функции в зависимости
от значений параметра. Теорема Виета
. . . . . . . . . . . . . 312

5.2.
Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на
числовой оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

5.3.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

6.
Использование различных свойств функций и графических иллюстраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
6.1.
Область определения функции, монотонность, периодичность,
чётность и нечётность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

6.2.
Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

6.3.
Функциональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . 376

6.4.
Использование графических иллюстраций
. . . . . . . . . . . 392

7.
Метод оценок
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.1.
Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . . 414

7.2.
Тригонометрические уравнения и неравенства . . . . . . . . . 422

7.3.
Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

8.
Задачи на доказательство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

8.1.
Тригонометрические задачи на доказательство . . . . . . . . . 458

8.2.
Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

8.3.
Доказательство неравенств и тождеств
. . . . . . . . . . . . . 477

9.
Использование особенностей условия задачи
. . . . . . . . . . . . . . 491

9.1.
Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

9.2.
Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

9.3.
Редукция задачи и переформулирование условия
. . . . . . . 512

9.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Варианты ДВИ МГУ последних лет
528

Ответы
534

Список литературы
544

От редактора

Уважаемый читатель, вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ – школе». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом
более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных курсах факультета Вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени М. В. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных подготовительных курсов, затем были разработаны электронные версии учебников,
используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта подготовлена серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее
пособие.
Сейчас изданы пособия для 11-х классов по алгебре, геометрии, физике и информатике для подготовки к ЕГЭ, олимпиадам и экзаменам в вузы. В дальнейшем
предполагается продолжить эту серию пособиями для 9-х классов для подготовки
к ГИА.
По математике и физике вышли пособия двух уровней: базовый курс и курс,
содержащий сложные задачи части С единого государственного экзамена и нестандартные задачи вступительных экзаменов в вузы (в основном это задачи различных факультетов МГУ имени М. В. Ломоносова). Базовый курс содержит все
разделы соответствующего предмета, необходимые для решения задач ЕГЭ частей А, В и некоторых задач части С, а также первой половины задач вариантов
вступительных экзаменов в вузы. Второе пособие содержит задачи, научившись
решать которые, вы сможете решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи
олимпиад и вступительных экзаменов в вузы (за отведённое время можно просто
физически не успеть решить все задачи).
Отличительной особенностью наших пособий является то, что наряду
с традиционными составляющими (теоретический раздел, примеры с решениями,
задачи для самостоятельного решения) мы предлагаем решения всех предложенных задач с идеями и последовательными подсказками, помогающими решить
задачу оптимальным способом без посторонней помощи. Это позволит ученику
самостоятельно продвигаться в решении задачи так, как если бы за его спиной
стоял учитель и направлял ход его мысли при решении трудных задач. Конечно,
мы понимаем, что настоящего учителя не может заменить никакая книга, но если
учителя рядом нет, то, как показал опыт наших дистанционных подготовительных курсов, наличие грамотных подсказок помогает учащимся самостоятельно
научиться решать задачи. С помощью нашего пособия приобретение такого опыта
учениками будет значительно облегчено. С другой стороны, наши пособия помогут
молодым учителям вести занятия. Мы знаем на собственном опыте, что не всегда легко направлять ученика так, чтобы он сам догадался, как решить задачу.
Второй особенностью наших пособий является спиралевидная схема подачи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, причём каждый
раз на более сложном уровне. Это позволяет не забывать пройденный материал и
постепенно подходить к сложным задачам.

Директор учебного центра
факультета Вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

6

Предисловие

Предлагаемый «Углублённый курс» является естественным продолжением «Базового курса» по алгебре и предполагает свободное владение методами и приёмами
из «Базового курса».
Задачи в разделах расположены по принципу «от простого – к сложному».
Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому
сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке. Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретического материала и разбора примеров. Если самостоятельное решение задачи
вызывает трудности, рекомендуется воспользоваться системой указаний (подсказок). В случае, если вам не удалось получить правильный ответ или у вас возникли
сомнения в правильности вашего решения, рекомендуется изучить решение, предложенное авторами.
При составлении пособия авторы придерживались спиралевидного принципа
подачи материала: сначала предлагаются простые задачи по всем основным разделам математики и методы их решения, затем рассматриваются более сложные
задачи, для решения которых требуются более сложные методы или их комбинации. Это позволяет не только закрепить, но и осмыслить на новом уровне уже
пройденный материал. Такая схема обучения с успехом применяется на очных и
дистанционных подготовительных курсах факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова.
Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов
решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения.
Запись (У) после номера задачи означает, что задача предлагалась на устном
экзамене по математике в МГУ. Особо сложные задачи помечены звёздочкой.
Для задач письменного экзамена сначала идет сокращённое название факультета, затем – год, в котором была задача (если после года в скобках идет цифра
1 или 2, это значит, что эта задача была на весенней олимпиаде факультета – на
мехмате и физфаке весной проходили две олимпиады; на ВМК, геологическом, химическом, географическом факультетах и факультете почвоведения – одна олимпиада весной). После точки идет номер задачи в варианте (обычно, чем больше
номер, тем сложнее задача в данном варианте). Например, (ВМК-98.3) означает,
что задача была в 1998 году летом на вступительных экзаменах на факультете
ВМК, третьим номером в варианте, а (М/м-97(2).1) означает, что задача была в
1997 году на второй весенней олимпиаде механико-математического факультета
первым номером в варианте.

7

Сокращения названий факультетов, принятые в данной книге

М/м
– механико-математический факультет,
ВМК
– факультет Вычислительной математики и кибернетики (.Б – отделение
Бакалавров по прикладной математики, .И – отделение Бакалавров по
Информационным технологиям),
Физ
– физический факультет,
Хим
– химический факультет,
ВКНМ – Высший колледж наук о материалах,
ФНМ
– факультет наук о материалах (до 2000 года – ВКНМ),
Биол
– биологический факультет,
Почв
– факультет почвоведения,
Геол
– геологический факультет (.ОГ – отделение общей геологии),
Геогр
– географический факультет,
Экон
– экономический факультет (.М – отделение менеджмента, .К – отделение
экономической кибернетики, .В – вечернее отделение),
ВШБ
– Высшая школа бизнеса,
Псих
– факультет психологии,
Фил
– философский факультет,
Филол – филологический факультет,
Соц
– социологический факультет,
ИСАА – Институт стран Азии и Африки,
ФГУ
– факультет государственного управления (отделение «Антикризисное
управление»),
ЧФ
– Черноморский филиал МГУ (г.Севастополь).

Используемые обозначения

{a}
– множество, состоящее из одного элемента a;
N
– множество всех натуральных чисел; N0 = N ∪ {0};
Z
– множество всех целых чисел;
Q
– множество всех рациональных чисел;
R
– множество всех действительных чисел;
∪
– объединение;
∩ – пересечение;
∅ – пустое множество;
∈
– знак принадлежности;
⊂ – знак включения подмножества;
∀
– для любого;
A\B – разность множеств A и B;
=⇒
– следовательно;
⇐⇒ – тогда и только тогда;
ОДЗ – область допустимых значений;
... – знак системы, означающий, что должны выполняться все
...
условия, объединённые этим знаком;
...
– знак совокупности, означающий, что должно выполняться
...
хотя бы одно из условий, объединённых этим знаком.

Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие
вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Желаем удачи!

Часть I. Теория и задачи

1.
Элементы теории чисел

1.1.
Целые числа. Делимость и остатки

Теоретический материал

При решении задач на целые числа необходимо знать следующие факты:

• любое натуральное число единственным образом (с точностью до перестановки сомножителей) может быть представлено в виде произведения простых
чисел;

• при делении натурального числа p на натуральное число q возможны1 q
различных остатков: 0, 1, 2, . . ., (q − 1).

Полезно также помнить признаки делимости натуральных чисел:

• при делении на 5 и на 10 число даёт такой же остаток, как и последняя его
цифра;

• при делении на 4, 25, 50 и на 100 число даёт такой же остаток, как и число,
записанное двумя его последними цифрами;

• при делении на 3 и на 9 число даёт такой же остаток, как и сумма его цифр.
Поэтому, если сумма цифр делится на 3 или на 9, то и само число делится
на 3 или на 9.

Заметим, что при изучении делимости чисел достаточно работать не с самими
числами, а с остатками от деления этих чисел. Все арифметические действия с
остатками, кроме деления, повторяют действия с числами, а именно: при сложении
чисел складываются остатки, при возведении в степень в эту степень возводятся
остатки и т.д.
В задачах, где требуется установить, что какое-то выражение, зависящее от
натурального числа n, делится или не делится при всех n на заданное натуральное
число, часто используется следующий факт: произведение k последовательных
натуральных чисел делится на k.

1Иногда бывает удобно рассматривать отрицательные остатки. Например, в качестве остатка
при делении числа 15 на 8 можно использовать 7, а можно (−1).

Теория и задачи

Примеры решения задач

П р и м е р 1.
Остатки от деления на 3 чисел m и n равны 1 и 2 соответственно.
Каковы остатки от деления на 3:
а) суммы m + n;
б) произведения m · n?

Р е ш е н и е. Так как m = 3k + 1, а n = 3l + 2, то

m + n = 3k + 3l + 3 = 3 · (k + l + 1).

Следовательно, m + n делится на 3 нацело. Рассмотрим теперь произведение

mn = (3k + 1) · (3l + 2) = 9kl + 3l + 6k + 2 = 3(3kl + l + 2l) + 2,

то есть при делении на 3 произведения mn остаток равен 2.

О т в е т. а) 0,
б) 2.

П р и м е р 2.
Доказать, что для всех натуральных n выражение (n3 + 3n2 + 2n)
делится на 6.

Р е ш е н и е. Так как n3 + 3n2 + 2n = n(n + 1)(n + 2) – есть произведение трёх
последовательных чисел, которое всегда делится и на 2, и на 3, то n3 + 3n2 + 2n
делится на 6.

П р и м е р 3.
Дано число 21995 . Найти
а) последнюю цифру этого числа,
б) остаток от деления на 7.

Р е ш е н и е. а) Представим исходное число в виде

21995 = 24·498+3 = 16498 · 8.

Поскольку 16 в любой натуральной степени оканчивается на 6, а 6 · 8 = 48, последняя цифра числа 21995 равна 8.

б) Рассмотрим остатки степеней двойки от деления на 7:

• 21 при делении на 7 даёт остаток 2,

• 22 при делении на 7 даёт остаток 4,

• 23 при делении на 7 даёт остаток 1.

Эти остатки повторяются с периодом T = 3. Так как 1995 = 3 · 665, то 21995 при
делении на 7 даёт остаток 1.

О т в е т. а) 8,
б) 1.