Технические системы в условиях неопределенности: анализ гибкости и оптимизация

Г. М. Островский, Ю. М. Волин

Технические  системы
в  условиях
неопределенности

анализ гибкости и оптимизация

Учебное пособие

Допущено 

по образованию в области 
учебнометодическим объединением

Прикладной математики  и управления качеством 
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся  по направлению подготовки 
230400 «Прикладная математика»
специальности 230401 «Прикладная математика»

Москва
Лаборатория знаний
2020

4е издание, электронное

УДК 517
ББК 22

О-77

Островский Г. М.

О-77
Технические системы в условиях неопределенности: анализ гибкости и оптимизация : учебное пособие / Г. М. Островский, Ю. М. Волин. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 322 с. — Систем. требования: Adobe
Reader XI ; экран 10".— Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-811-7
Рассматриваются методы оптимизации технических систем при
использовании неточных математических моделей. Формулируются
основные понятия теории гибкости, даются формулировки задач
проектирования гибких оптимальных технических систем, описываются методы и алгоритмы решения сформулированных задач, работа алгоритмов иллюстрируется на модельных примерах. Каждая
глава снабжена примерами.
Для студентов, преподавателей и научных работников в области
прикладной математики, системного анализа и управления.
УДК 517
ББК 22

Деривативное
издание
на
основе
печатного
аналога:
Технические
системы
в
условиях
неопределенности:
анализ
гибкости и оптимизация : учебное пособие / Г. М. Островский,
Ю. М. Волин. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 319 с. :
ил. — ISBN 978-5-94774-732-4.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель
вправе
требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-811-7
c○ Лаборатория знаний, 2015

Введение

Компьютерное моделирование стало неотъемлемой частью проектирования технических систем (ТС) — металлургических процессов, химико-технологических, нефтеперерабатывающих и нефтехимических процессов, а также проектирования электротехнических
систем, авиационной техники и др. Целью компьютерного моделирования является определение оптимальной с точки зрения какоголибо критерия конструкции ТС. Обычно это экономический критерий — прибыль, затраты и др. Оптимальная конструкция должна
гарантировать выполнение некоторых проектных требований (ограничений) — условий безопасности, экологических требований, требований по производительности и т. д. Эта задача решается в условиях некоторой неточности исходной физико-химической, технологической и экономической информации. Это приводит к тому, что
проектирование ТС проводится с использованием неточных математических моделей. Кроме того, во время функционирования ТС
часто изменяются ее внутренние характеристики, а также условия
внешней среды. В результате приходится решать задачу создания
гибкой ТС, которая гарантирует

1) оптимальное значение некоторого показателя, оценивающего работу ТС за весь этап функционирования;
2) сохранение работоспособности ТС (выполнение всех проектных
ограничений) на этапе функционирования, несмотря на использование неточных математических моделей и изменение внутренних
и внешних факторов.
Близкая задача возникает при решении задач планирования
в условиях неопределенности. Поэтому в настоящей книге ставятся
следующие цели.

2794633475-11

Введение

1. Формулировка основных понятий теории гибкости ТС.
2. Формулировка задач проектирования гибких оптимальных ТС.
3. Описание методов и алгоритмов решения сформулированных
задач.
4. Иллюстрация алгоритмов на модельных примерах.

Изложение будет вестись на примере химико-технологических процессов. Однако развитый математический аппарат может быть использован для большинства непрерывных технических систем.
Книга состоит из шести глав и приложения. Первые две главы
носят вспомогательный характер. Здесь обсуждаются некоторые
понятия, которые будут использоваться при разработке алгоритмов
анализа гибкости ТС. В гл. 1 «Элементы выпуклого анализа» дается
элементарное введение в выпуклый анализ, вводятся понятия выпуклых (вогнутых) функций, выпуклых областей, приводится теорема
о глобальном минимуме.
В гл. 2 «Глобальная оптимизация» рассматривается проблема
поиска глобального решения в двух классах задач математического программирования — задачах дифференцируемой оптимизации и задачах дискретно-непрерывного программирования. Описываются детерминированные методы решения этих задач, основанные на идеях метода ветвей и границ. Поскольку эффективность
соответствующих алгоритмов зависит в основном от эффективности
процедуры получения нижней оценки, большое внимание уделено
алгоритмам ее получения.
В гл. 3 даются различные формулировки основных задач анализа гибкости ТС и оптимизации технических систем в условиях
неопределенности. Вводятся понятия теста гибкости, индекса гибкости, двухэтапной и одноэтапной задач оптимизации. Формулировки
задач зависят от уровня неопределенности на этапах проектирования и функционирования ТС, а также от характера ограничений.
Вообще говоря, эти задачи принадлежат к классу задач недифференцируемой и глобальной оптимизации.
В гл. 4 и 5 рассматриваются методы решения сформулированных
задач. В гл. 4 для решения задач оценки гибкости ТС описываются
метод перебора и метод смешанного дискретно-непрерывного нелинейного программирования. Кроме того, раскрываются два подхода,
основанные на методе ветвей и границ и методе разбиений и границ. Рассматриваются эффективные алгоритмы вычисления верхних и нижних границ, необходимые для реализации этих методов.

2794633475-11

Введение
5

В гл. 5 описываются два подхода к решению двухэтапной задачи
оптимизации — метод внешней аппроксимации и метод разбиений
и границ. Метод внешней аппроксимации требует оценки теста
гибкости на каждой итерации. Метод разбиений и границ требует
вычисления на каждой итерации верхней и нижней оценок оптимального значения целевой функции двухэтапной задачи оптимизации. Даются эффективные методы их вычисления.
В гл. 6 рассматривается проблема многокритериальной оптимизации в условиях неопределенности. Здесь описываются обобщения
ряда хорошо известных методов многокритериальной оптимизации
на случай учета неопределенности.
В приложении приводятся некоторые математические сведения,
используемые при конструировании алгоритмов решения задач оптимизации в условиях неопределенности. Для формул, теорем и
рисунков из приложения используется нумерация с буквой П.
В книге дается решение ряда модельных задач, иллюстрирующих
работу описанных алгоритмов.

2794633475-11

Глава 1

Элементы
выпуклого анализа

Здесь мы рассмотрим некоторые элементы выпуклого анализа,
которые будут необходимы при описании методов анализа гибкости ТС. Детальное описание этого вопроса можно найти в книге
(Базара и Шетти [88]).

1.1.
Выпуклые области, выпуклые функции
и их свойства

1.1.1.
Определения

Рассмотрим некоторую область D. Если для любой пары точек
x1, x2 ∈ D (рис. 1.1) отрезок [x1, x2], включающий конечные точки
x1, x2, принадлежит области D, то область называется выпуклой,
в противном случае она называется невыпуклой. На рис. 1.1 область D1 — невыпуклая, а область D2 — выпуклая. Дадим теперь
определение выпуклой функции. Рассмотрим некоторую одномерную функцию f(x) в интервале [xL, xU]. Выберем любые две точки
x1, x2 ∈ [xL, xU]. Проведем прямую линию через точки A1 = (x1, f1)
и A2 = (x2, f2) такие, что f1 = f(x1) и f2 = f(x2) (рис. 1.2).

•
•

•

•
x1

x1

x2
x2

D1
D2

Рис. 1.1. Невыпуклые и выпуклые области

2794633475-11

1.1. Выпуклые области, выпуклые функции и их свойства
7

•

•

A1

A2
f

f1

f2

x1
x2
x

Рис. 1.2. Выпуклая функция

Уравнение этой прямой имеет вид

¯f = f1 + f2 − f1

x2 − x1 (x − x1).

Представим точку внутри отрезка [x1, x2] в виде

x = (1 − α)x1 + αx2,
0 ⩽ α ⩽ 1.
(1.1)

Это соотношение эквивалентно следующему:

x = λ1x1 + λ2x2,
λ1 + λ2 = 1,
λ1 ⩾ 0,
λ2 ⩾ 0.
(1.2)

С использованием выражения (1.1) уравнение прямой A1A2 может
быть преобразовано следующим образом:

¯f[(1 − α)x1 + αx2] = f1 + f2 − f1

x2 − x1 ((1 − α)x1 + αx2 − x1) =

= f1 +
f2 − f1
(x2 − x1) α(x2 − x1) =

= f1 + (f2 − f1)α = (1 − α)f1 + αf2,

0 ⩽ α ⩽ 1.

(1.3)

Это параметрическая форма прямой.

Определение. Функция, определенная на отрезке [xL, xU], называется выпуклой, если для любой пары x1, x2 ∈ [xL, xU] выполняется
следующее условие:

f(x) ⩽ ¯f(x)
для всех
x ∈ [x1, x2].
(1.4)

Другими словами, график функции f(x) должен лежать ниже
прямой, соединяющей точки (x1, f1) и (x2, f2).

2794633475-11

Глава 1. Элементы выпуклого анализа

Подставляя в неравенство (1.4) выражения для x и ¯f из (1.1)
и (1.3), мы получим другую форму условия выпуклости:

f[(1 − α)x1 + αx2] ⩽ (1 − α)f(x1) + αf(x2),
0 ⩽ α ⩽ 1.
(1.5)

Функция f(x) называется строго выпуклой, если в (1.5) выполняется строгое неравенство (за исключением концевых точек)

f[(1 − α)x1 + αx2] < (1 − α)f(x1) + αf(x2),
0 < α < 1.
(1.6)

Вогнутая функция удовлетворяет следующему условию:

f[(1 − α)x1 + αx2] ⩾ (1 − α)f(x1) + αf(x2),

0 ⩽ α ⩽ 1,
для всех
x1, x2 ∈ [xL, xU].
(1.7)

Функция f(x) называется квазивыпуклой, если выполняется
неравенство

f[(1 − α)x1 + αx2] ⩽ max[f(x1), f(x2)],

0 ⩽ α ⩽ 1,
для всех
x1, x2 ∈ [xL, xU].
(1.8)

Функция f(x) называется квазивогнутой, если выполняется неравенство
f[(1 − α)x1 + αx2] ⩾ min[f(x1), f(x2)],

0 ⩽ α ⩽ 1,
для всех
x1, x2 ∈ [xL, xU].
(1.9)

Функция f(x) называется строго квазивыпуклой, если в условии (1.8) выполняется строгое неравенство (за исключением концевых точек). Аналогично, функция f(x) называется строго квазивогнутой, если в условии (1.9) выполняется строгое неравенство
(за исключением концевых точек). Соотношения (1.5)–(1.9) легко
обобщаются на случай n-мерного пространства. При этом в этих
соотношениях отрезок [xL, xU] должен быть заменен на выпуклую
область. Например, функция f(x) будет выпуклой в некоторой
непустой выпуклой области D, если выполняется неравенство (1.5)
для любых точек x1, x2, принадлежащих D. Аналогично могут быть
преобразованы остальные соотношения (1.6)–(1.9).
Покажем, что любая выпуклая функция является квазивыпуклой функцией (однако, обратное неверно). Пусть функция f(x)
выпукла. Предположим, что

f(x2) ⩾ f(x1).

2794633475-11

1.1. Выпуклые области, выпуклые функции и их свойства
9

f

x

f(¯x)

f(x)

¯x

y

Рис. 1.3. Геометрическая интерпретация условия (1.10)

Для любых двух точек x1, x2 условие (1.4) выполняется, поэтому

f

(1 − α)x1 + αx2

⩽ (1 − α)f(x1) + αf(x2) ⩽

⩽ (1 − α)f(x2) + αf(x2) =

= f(x2) = max[f(x1), f(x2)].

Это и есть условие того, что функция f(x) квазивыпукла. Вогнутая функция может быть квазивыпуклой функцией. Капитальные
затраты технического оборудования часто выражаются с помощью
функции xα (где α < 1). Легко проверить, что эта функция вогнута.
Рассмотрим теперь второе определение выпуклой функции.

Определение. Дифференцируемая функция f(x) является выпуклой в непустой выпуклой области D, если выполняется следующее
условие:

f(x) ⩾ f(¯x) + (grad f(¯x))T(x − ¯x)
для всех
x, ¯x ∈ D.
(1.10)

На рис. 1.3 приведена геометрическая интерпретация этого условия на примере функции одной переменной. На этом рисунке прямая

y = f(¯x) + df(¯x)

dx
(x − ¯x)

есть касательная к графику функции f(x) в точке ¯x. Условие (1.10)
означает, что в точке x график функции f(x) должен лежать выше
этой касательной.
Докажем, что если условие (1.10) для одномерной функции f(x)
выполняется, то эта функция выпукла.
В этом случае условие (1.10) примет вид

f(x) ⩾ f(¯x) + df(¯x)

dx
(x − ¯x)
для всех
x, ¯x ∈ [xL, xU],
(1.11)

где [xL, xU] — интервал, на котором определена функция f(x).

2794633475-11

Глава 1. Элементы выпуклого анализа

Предположим противное, что функция f(x) не является выпуклой. Это значит, что найдутся точки в интервале [xL, xU], в которых
значение функции f(x) будет выше прямой A1A2 (см. рис. 1.2).
Выберем среди них точку ¯¯x, в которой значение функции f(x)
находится на наибольшем расстоянии от прямой A1A2. В этой
точке касательная к функции f(x) будет параллельна прямой A1A2.
Уравнение этой касательной имеет вид

f(¯¯x) + df(¯¯x)

dx
(x − ¯¯x) = y.

В некоторой окрестности D точки ¯¯x все значения функции f(x)
находятся ниже этой касательной, т. е. выполняется условие

f(¯¯x) + df(¯¯x)

dx
(x − ¯¯x) ⩾ f(x)
для всех
x ∈ D.

Но это условие противоречит условию (1.11). Следовательно, не
может существовать точка выше прямой A1A2.

Определение. Дважды дифференцируемая функция f(x) является
выпуклой в непустой выпуклой области D, если гессиан ∇2f является положительной полуопределенной матрицей во всех точках этой
области (Базара и Шетти [88]).

Теорема 1.1. Пусть функция ϕ(x) является квазивыпуклой в непустой выпуклой области D. Тогда область

R = {x: x ∈ D, ϕ(x) ⩽ 0}

является выпуклой.

Доказательство. Возьмем две точки x1, x2 ∈ R. В этих точках
выполняются условия ϕ(x1) ⩽ 0 и ϕ(x2) ⩽ 0. В соответствии
с определением квазивыпуклой функции для любой точки отрезка
[x1, x2] удовлетворяется условие

ϕ(x) ⩽ max[ϕ(x1), ϕ(x2)] ⩽ 0.

Таким образом, в любой точке отрезка [x1, x2] выполняется условие ϕ(x) ⩽ 0. Поскольку x1, x2 ∈ R , то любая точка отрезка [x1, x2]
принадлежит области D. Таким образом, в любой точке отрезка
[x1, x2] выполняются условия ϕ(x) ⩽ 0 и x ∈ D. Поэтому область R
является выпуклой.
■

Теорема 1.2. Локальный минимум выпуклой или строго квазивыпуклой функции f(x) в выпуклой ограниченной области R является
глобальным минимумом в этой области.

2794633475-11