Технические системы в условиях неопределенности: анализ гибкости и оптимизация
Покупка
Издательство:
Лаборатория знаний
Год издания: 2020
Кол-во страниц: 322
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-00101-811-7
Артикул: 801806.01.99
Рассматриваются методы оптимизации технических систем при использовании неточных математических моделей. Формулируются основные понятия теории гибкости, даются формулировки задач проектирования гибких оптимальных технических систем, описываются методы и алгоритмы решения сформулированных задач, работа алгоритмов иллюстрируется на модельных примерах. Каждая глава снабжена примерами. Для студентов, преподавателей и научных работников в области прикладной математики, системного анализа и управления.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.04: Прикладная математика
- 02.03.02: Фундаментальная информатика и информационные технологии
- 03.03.02: Прикладная математика и информатика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Г. М. Островский, Ю. М. Волин Технические системы в условиях неопределенности анализ гибкости и оптимизация Учебное пособие Допущено по образованию в области учебнометодическим объединением Прикладной математики и управления качеством в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 230400 «Прикладная математика» специальности 230401 «Прикладная математика» Москва Лаборатория знаний 2020 4е издание, электронное
УДК 517 ББК 22 О-77 Островский Г. М. О-77 Технические системы в условиях неопределенности: ана- лиз гибкости и оптимизация : учебное пособие / Г. М. Ост- ровский, Ю. М. Волин. — 4-е изд., электрон. — М. : Лабо- ратория знаний, 2020. — 322 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10".— Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный. ISBN 978-5-00101-811-7 Рассматриваются методы оптимизации технических систем при использовании неточных математических моделей. Формулируются основные понятия теории гибкости, даются формулировки задач проектирования гибких оптимальных технических систем, описыва- ются методы и алгоритмы решения сформулированных задач, ра- бота алгоритмов иллюстрируется на модельных примерах. Каждая глава снабжена примерами. Для студентов, преподавателей и научных работников в области прикладной математики, системного анализа и управления. УДК 517 ББК 22 Деривативное издание на основе печатного аналога: Технические системы в условиях неопределенности: анализ гибкости и оптимизация : учебное пособие / Г. М. Островский, Ю. М. Волин. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 319 с. : ил. — ISBN 978-5-94774-732-4. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-00101-811-7 c○ Лаборатория знаний, 2015
Введение Компьютерное моделирование стало неотъемлемой частью про- ектирования технических систем (ТС) — металлургических процес- сов, химико-технологических, нефтеперерабатывающих и нефтехи- мических процессов, а также проектирования электротехнических систем, авиационной техники и др. Целью компьютерного модели- рования является определение оптимальной с точки зрения какого- либо критерия конструкции ТС. Обычно это экономический кри- терий — прибыль, затраты и др. Оптимальная конструкция должна гарантировать выполнение некоторых проектных требований (огра- ничений) — условий безопасности, экологических требований, требо- ваний по производительности и т. д. Эта задача решается в усло- виях некоторой неточности исходной физико-химической, техноло- гической и экономической информации. Это приводит к тому, что проектирование ТС проводится с использованием неточных мате- матических моделей. Кроме того, во время функционирования ТС часто изменяются ее внутренние характеристики, а также условия внешней среды. В результате приходится решать задачу создания гибкой ТС, которая гарантирует 1) оптимальное значение некоторого показателя, оценивающего ра- боту ТС за весь этап функционирования; 2) сохранение работоспособности ТС (выполнение всех проектных ограничений) на этапе функционирования, несмотря на использо- вание неточных математических моделей и изменение внутренних и внешних факторов. Близкая задача возникает при решении задач планирования в условиях неопределенности. Поэтому в настоящей книге ставятся следующие цели. 2794633475-11
Введение 1. Формулировка основных понятий теории гибкости ТС. 2. Формулировка задач проектирования гибких оптимальных ТС. 3. Описание методов и алгоритмов решения сформулированных задач. 4. Иллюстрация алгоритмов на модельных примерах. Изложение будет вестись на примере химико-технологических про- цессов. Однако развитый математический аппарат может быть ис- пользован для большинства непрерывных технических систем. Книга состоит из шести глав и приложения. Первые две главы носят вспомогательный характер. Здесь обсуждаются некоторые понятия, которые будут использоваться при разработке алгоритмов анализа гибкости ТС. В гл. 1 «Элементы выпуклого анализа» дается элементарное введение в выпуклый анализ, вводятся понятия выпук- лых (вогнутых) функций, выпуклых областей, приводится теорема о глобальном минимуме. В гл. 2 «Глобальная оптимизация» рассматривается проблема поиска глобального решения в двух классах задач математиче- ского программирования — задачах дифференцируемой оптимиза- ции и задачах дискретно-непрерывного программирования. Описы- ваются детерминированные методы решения этих задач, основан- ные на идеях метода ветвей и границ. Поскольку эффективность соответствующих алгоритмов зависит в основном от эффективности процедуры получения нижней оценки, большое внимание уделено алгоритмам ее получения. В гл. 3 даются различные формулировки основных задач ана- лиза гибкости ТС и оптимизации технических систем в условиях неопределенности. Вводятся понятия теста гибкости, индекса гибко- сти, двухэтапной и одноэтапной задач оптимизации. Формулировки задач зависят от уровня неопределенности на этапах проектирова- ния и функционирования ТС, а также от характера ограничений. Вообще говоря, эти задачи принадлежат к классу задач недиффе- ренцируемой и глобальной оптимизации. В гл. 4 и 5 рассматриваются методы решения сформулированных задач. В гл. 4 для решения задач оценки гибкости ТС описываются метод перебора и метод смешанного дискретно-непрерывного нели- нейного программирования. Кроме того, раскрываются два подхода, основанные на методе ветвей и границ и методе разбиений и гра- ниц. Рассматриваются эффективные алгоритмы вычисления верх- них и нижних границ, необходимые для реализации этих методов. 2794633475-11
Введение 5 В гл. 5 описываются два подхода к решению двухэтапной задачи оптимизации — метод внешней аппроксимации и метод разбиений и границ. Метод внешней аппроксимации требует оценки теста гибкости на каждой итерации. Метод разбиений и границ требует вычисления на каждой итерации верхней и нижней оценок опти- мального значения целевой функции двухэтапной задачи оптимиза- ции. Даются эффективные методы их вычисления. В гл. 6 рассматривается проблема многокритериальной оптими- зации в условиях неопределенности. Здесь описываются обобщения ряда хорошо известных методов многокритериальной оптимизации на случай учета неопределенности. В приложении приводятся некоторые математические сведения, используемые при конструировании алгоритмов решения задач оп- тимизации в условиях неопределенности. Для формул, теорем и рисунков из приложения используется нумерация с буквой П. В книге дается решение ряда модельных задач, иллюстрирующих работу описанных алгоритмов. 2794633475-11
Глава 1 Элементы выпуклого анализа Здесь мы рассмотрим некоторые элементы выпуклого анализа, которые будут необходимы при описании методов анализа гибко- сти ТС. Детальное описание этого вопроса можно найти в книге (Базара и Шетти [88]). 1.1. Выпуклые области, выпуклые функции и их свойства 1.1.1. Определения Рассмотрим некоторую область D. Если для любой пары точек x1, x2 ∈ D (рис. 1.1) отрезок [x1, x2], включающий конечные точки x1, x2, принадлежит области D, то область называется выпуклой, в противном случае она называется невыпуклой. На рис. 1.1 об- ласть D1 — невыпуклая, а область D2 — выпуклая. Дадим теперь определение выпуклой функции. Рассмотрим некоторую одномер- ную функцию f(x) в интервале [xL, xU]. Выберем любые две точки x1, x2 ∈ [xL, xU]. Проведем прямую линию через точки A1 = (x1, f1) и A2 = (x2, f2) такие, что f1 = f(x1) и f2 = f(x2) (рис. 1.2). • • • • x1 x1 x2 x2 D1 D2 Рис. 1.1. Невыпуклые и выпуклые области 2794633475-11
1.1. Выпуклые области, выпуклые функции и их свойства 7 • • A1 A2 f f1 f2 x1 x2 x Рис. 1.2. Выпуклая функция Уравнение этой прямой имеет вид ¯f = f1 + f2 − f1 x2 − x1 (x − x1). Представим точку внутри отрезка [x1, x2] в виде x = (1 − α)x1 + αx2, 0 ⩽ α ⩽ 1. (1.1) Это соотношение эквивалентно следующему: x = λ1x1 + λ2x2, λ1 + λ2 = 1, λ1 ⩾ 0, λ2 ⩾ 0. (1.2) С использованием выражения (1.1) уравнение прямой A1A2 может быть преобразовано следующим образом: ¯f[(1 − α)x1 + αx2] = f1 + f2 − f1 x2 − x1 ((1 − α)x1 + αx2 − x1) = = f1 + f2 − f1 (x2 − x1) α(x2 − x1) = = f1 + (f2 − f1)α = (1 − α)f1 + αf2, 0 ⩽ α ⩽ 1. (1.3) Это параметрическая форма прямой. Определение. Функция, определенная на отрезке [xL, xU], называ- ется выпуклой, если для любой пары x1, x2 ∈ [xL, xU] выполняется следующее условие: f(x) ⩽ ¯f(x) для всех x ∈ [x1, x2]. (1.4) Другими словами, график функции f(x) должен лежать ниже прямой, соединяющей точки (x1, f1) и (x2, f2). 2794633475-11
Глава 1. Элементы выпуклого анализа Подставляя в неравенство (1.4) выражения для x и ¯f из (1.1) и (1.3), мы получим другую форму условия выпуклости: f[(1 − α)x1 + αx2] ⩽ (1 − α)f(x1) + αf(x2), 0 ⩽ α ⩽ 1. (1.5) Функция f(x) называется строго выпуклой, если в (1.5) выпол- няется строгое неравенство (за исключением концевых точек) f[(1 − α)x1 + αx2] < (1 − α)f(x1) + αf(x2), 0 < α < 1. (1.6) Вогнутая функция удовлетворяет следующему условию: f[(1 − α)x1 + αx2] ⩾ (1 − α)f(x1) + αf(x2), 0 ⩽ α ⩽ 1, для всех x1, x2 ∈ [xL, xU]. (1.7) Функция f(x) называется квазивыпуклой, если выполняется неравенство f[(1 − α)x1 + αx2] ⩽ max[f(x1), f(x2)], 0 ⩽ α ⩽ 1, для всех x1, x2 ∈ [xL, xU]. (1.8) Функция f(x) называется квазивогнутой, если выполняется нера- венство f[(1 − α)x1 + αx2] ⩾ min[f(x1), f(x2)], 0 ⩽ α ⩽ 1, для всех x1, x2 ∈ [xL, xU]. (1.9) Функция f(x) называется строго квазивыпуклой, если в усло- вии (1.8) выполняется строгое неравенство (за исключением кон- цевых точек). Аналогично, функция f(x) называется строго ква- зивогнутой, если в условии (1.9) выполняется строгое неравенство (за исключением концевых точек). Соотношения (1.5)–(1.9) легко обобщаются на случай n-мерного пространства. При этом в этих соотношениях отрезок [xL, xU] должен быть заменен на выпуклую область. Например, функция f(x) будет выпуклой в некоторой непустой выпуклой области D, если выполняется неравенство (1.5) для любых точек x1, x2, принадлежащих D. Аналогично могут быть преобразованы остальные соотношения (1.6)–(1.9). Покажем, что любая выпуклая функция является квазивыпук- лой функцией (однако, обратное неверно). Пусть функция f(x) выпукла. Предположим, что f(x2) ⩾ f(x1). 2794633475-11
1.1. Выпуклые области, выпуклые функции и их свойства 9 f x f(¯x) f(x) ¯x y Рис. 1.3. Геометрическая интерпретация условия (1.10) Для любых двух точек x1, x2 условие (1.4) выполняется, поэтому f (1 − α)x1 + αx2 ⩽ (1 − α)f(x1) + αf(x2) ⩽ ⩽ (1 − α)f(x2) + αf(x2) = = f(x2) = max[f(x1), f(x2)]. Это и есть условие того, что функция f(x) квазивыпукла. Вогну- тая функция может быть квазивыпуклой функцией. Капитальные затраты технического оборудования часто выражаются с помощью функции xα (где α < 1). Легко проверить, что эта функция вогнута. Рассмотрим теперь второе определение выпуклой функции. Определение. Дифференцируемая функция f(x) является выпук- лой в непустой выпуклой области D, если выполняется следующее условие: f(x) ⩾ f(¯x) + (grad f(¯x))T(x − ¯x) для всех x, ¯x ∈ D. (1.10) На рис. 1.3 приведена геометрическая интерпретация этого усло- вия на примере функции одной переменной. На этом рисунке прямая y = f(¯x) + df(¯x) dx (x − ¯x) есть касательная к графику функции f(x) в точке ¯x. Условие (1.10) означает, что в точке x график функции f(x) должен лежать выше этой касательной. Докажем, что если условие (1.10) для одномерной функции f(x) выполняется, то эта функция выпукла. В этом случае условие (1.10) примет вид f(x) ⩾ f(¯x) + df(¯x) dx (x − ¯x) для всех x, ¯x ∈ [xL, xU], (1.11) где [xL, xU] — интервал, на котором определена функция f(x). 2794633475-11
Глава 1. Элементы выпуклого анализа Предположим противное, что функция f(x) не является выпук- лой. Это значит, что найдутся точки в интервале [xL, xU], в которых значение функции f(x) будет выше прямой A1A2 (см. рис. 1.2). Выберем среди них точку ¯¯x, в которой значение функции f(x) находится на наибольшем расстоянии от прямой A1A2. В этой точке касательная к функции f(x) будет параллельна прямой A1A2. Уравнение этой касательной имеет вид f(¯¯x) + df(¯¯x) dx (x − ¯¯x) = y. В некоторой окрестности D точки ¯¯x все значения функции f(x) находятся ниже этой касательной, т. е. выполняется условие f(¯¯x) + df(¯¯x) dx (x − ¯¯x) ⩾ f(x) для всех x ∈ D. Но это условие противоречит условию (1.11). Следовательно, не может существовать точка выше прямой A1A2. Определение. Дважды дифференцируемая функция f(x) является выпуклой в непустой выпуклой области D, если гессиан ∇2f явля- ется положительной полуопределенной матрицей во всех точках этой области (Базара и Шетти [88]). Теорема 1.1. Пусть функция ϕ(x) является квазивыпуклой в непу- стой выпуклой области D. Тогда область R = {x: x ∈ D, ϕ(x) ⩽ 0} является выпуклой. Доказательство. Возьмем две точки x1, x2 ∈ R. В этих точках выполняются условия ϕ(x1) ⩽ 0 и ϕ(x2) ⩽ 0. В соответствии с определением квазивыпуклой функции для любой точки отрезка [x1, x2] удовлетворяется условие ϕ(x) ⩽ max[ϕ(x1), ϕ(x2)] ⩽ 0. Таким образом, в любой точке отрезка [x1, x2] выполняется условие ϕ(x) ⩽ 0. Поскольку x1, x2 ∈ R , то любая точка отрезка [x1, x2] принадлежит области D. Таким образом, в любой точке отрезка [x1, x2] выполняются условия ϕ(x) ⩽ 0 и x ∈ D. Поэтому область R является выпуклой. ■ Теорема 1.2. Локальный минимум выпуклой или строго квазивы- пуклой функции f(x) в выпуклой ограниченной области R является глобальным минимумом в этой области. 2794633475-11