Теория управления регулярными системами

Г. Н. Яковенко 

Т е о р и я
управления
регулярными
системами

Учебное пособие

Ре к о м е н д о в а н о

высших учебных заведений 
Учебно-методическим объединением

Российской Федерации  по образованию 
в области прикладных математики и физики 
в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений 
по направлению 
«Прикладные математика и физика»

4-е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2020

УДК 519.71
ББК 22.1

Я47

Издание осуществлено при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проектам 05-01-00940,
07-01-00217 и Инновационной образовательной программы
«Наукоемкие технологии и экономика инноваций» Московского
физико-технического института (государственного университета) на
2006–2007 годы
Рецензенты:
кафедра «Авиационно-космические системы обработки информации
и управление» Московского института радиотехники, электроники
и автоматики
член-корреспондент РАН, д. ф.-м. н. Ю. Н. Павловский
Яковенко Г. Н.

Я47
Теория управления регулярными системами : учебное пособие / Г. Н. Яковенко. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория
знаний, 2020. — 267 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-929-9
Книга посвящена применению теории групп к исследованию различных
вопросов теории управления. В частности, изучен вопрос о количестве
первых интегралов у конкретной системы с управлением и способах их
вычисления. Подробно обсуждены группы симметрий управляемых систем
и связанные с симметриями способы декомпозиций. С теоретико-групповых
позиций рассмотрена инвариантность управляемых систем относительно
внешних возмущений.
Для студентов, аспирантов и преподавателей университетов, физикотехнических и инженерно-физических вузов. Книга будет также полезна
научным и инженерно-техническим работникам, желающим углубить свои
знания в теории управления.
УДК 519.71
ББК 22.1

Деривативное издание на основе печатного аналога: Теория
управления регулярными системами : учебное пособие / Г. Н. Яковенко. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 264 с. : ил. —
ISBN 978-5-94774-558-0.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-929-9
c○ Лаборатория знаний, 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ

Объектом изучения является гладкая система

˙x = ϕ(t, x, u(t)),
x ∈ Rn,
u ∈ U ⊂ Rr
(СУ)

с управлением u(t). На место управления могут быть подставлены
достаточно произвольные функции u(t) независимой переменной —
времени t. В настоящее время не вызывает сомнений тот факт, что
действенным инструментом исследования обыкновенных дифференциальных уравнений [30, 46, 47]

˙x = ϕ(t, x),
x ∈ Rn
(С)

являются группы.
С теоретико-групповой точки зрения у систем (СУ) и (С) много
общего, но есть и различия [103]. Например, преобразования сдвигов
вдоль решений у системы (С) вмещаются в однопараметрическую
группу, а у (СУ) из-за произвольности функций u(t) выходят за
рамки любой конечнопараметрической группы. С преобразованиями
симметрии наоборот: у (С) множество преобразований симметрии
имеет функциональную мощность, а у (СУ) обычно ограничивается
тождественным.
Еще одно отличие между системами (СУ) и (С) заключается
в следующем. Систему (С) можно заранее считать «добропорядочной», например, предположив, что в правых частях находятся
аналитические функции. Система же (СУ) опровергает мысль классика [57, с. 109]: «В одну телегу впрячь не можно коня и трепетную
лань». В систему (СУ) можно «впрячь» сколь угодно «трепетную
лань» ˙x = ϕ1(t, x) и сколь угодно «резвого коня» ˙x = ϕ2(t, x):

˙x = uϕ1(t, x) + (1 − u)ϕ2(t, x).

При u = 1 — «лань», при u = 0 — «конь», при u ̸= 1, u ̸= 0 —
«гибридо-мутант», при u(t) — анимация. Если ограничиться только
двумя правыми частями — u = 0 и u = 1, то, определив моменты
переключения с «лани» на «коня» и обратно, получим систему с
разрывной правой частью с вытекающими из этого неприятностями.
Так как моменты переключения можно менять, то «лане-коню»,

Предисловие

несмотря на только две разные правые части, соответствует бесконечно много систем дифференциальных уравнений, свойства которых могут резко отличаться. Известно, например, что умело переключаясь с одной неустойчивой системы на другую, также неустойчивую, можно создать устойчивую систему. По мнению автора,
в первую очередь следует искать, что же объединяет совокупность
объектов, поэтому в работе изучаются свойства, присущие всем
дифференциальным уравнениям, полученным из уравнений управляемой системы подстановкой различных допустимых управлений
u(t): общие первые интегралы, общие инвариантные функционалы,
общие группы симметрий. Вводится понятие регулярной системы,
для которой указанные свойства присущи конечному числу дифференциальных уравнений, а остальные уравнения их наследуют.
Тематика книги отражена в оглавлении. В начале каждой главы приводится ее краткое содержание. В заключении перечислены
основные положения и результаты. Принята сквозная нумерация
параграфов, первая цифра в номере формулы — номер параграфа.
Все определения, утверждения, построения — локальны. Функции,
участвующие в построениях, предполагаются достаточно гладкими.

ГЛАВА 1

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНЫХ ГРУПП ЛИ

В главе приводится минимальный набор определений, утверждений
и формульных алгоритмов из теории локальных групп Ли. Это
позволит зафиксировать используемые далее обозначения. Теоремы приводятся без доказательств, за исключением случаев, когда
доказательство содержит реализацию утверждения теоремы. Как
правило, приведенные сведения лишены сопутствующих ссылок
в связи с тем, что используется усредненная информация из разных
источников [16, 20–24, 27, 37, 40, 41, 46, 58, 93, 97, 116], или сведения
носят полуфольклорный характер. В главу включены также некоторые результаты автора, в приоритетности получения которых автор
сомневается, например, теоремы 4.5, 6.5.

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Рассматривается семейство

ˆx = g(x, τ),
x ∈ Rn,
τ ∈ Rq
(1.1)

диффеоморфизмов1) x ↔ ˆx (Rn ↔ Rn) с параметром τ ∈ Rq.
Предполагается, что параметры τ1, . . . , τq входят в (1.1) существенно [58], т. е. отсутствует преобразование τ
↔
s, уменьшающее
количество параметров:

g(x, τ1, . . . , τq) = ˜g
x, s1(τ), . . . , sq−1(τ)
.

Конкретное преобразование (Rn ↔ Rn) — в (1.1) фиксированы
параметры τ — обозначается g. В семействе (1.1) вводится умножение — суперпозиция преобразований (сначала преобразование g
с параметрами τ в (1.1), затем преобразование ˜g с параметрами ˜τ):

ˆˆx = g(ˆx, ˆτ) = g(g(x, τ), ˆτ)
(1.2)

(обозначается ˜gg).

1)Диффеоморфизм (диффеоморфное преобразование) x ↔ y: взаимнооднозначное преобразование, причем оба преобразования x → y и x → y гладкие.

Глава 1. Из теории локальных групп Ли

Определение 1.1. Семейство (1.1) называется q-параметрической
группой преобразований Gq, если выполнены следующие условия
(групповые аксиомы).
1. Семейство (1.1) замкнуто относительно умножения

{g ∈ Gq, ˜g ∈ Gq}
⇒
{˜gg ∈ Gq},

т. е. существует такая функция π(τ, ˜τ) (закон умножения), что
для суперпозиции (1.2) выполняется соотношение

g
g(x, τ), ˜τ
= g
x, π(τ, ˜τ)
.
(1.3)

2. Семейство (1.1) содержит тождественное преобразование e:
при τ0 = 0 выполняются равенства

g(x, 0) = x,
π(0, ˜τ) = ˜τ,
π(τ, 0) = τ
(1.4)

(случай τ0 ̸= 0 сводится к τ0 = 0 сдвигом параметров τ), или
иначе
∀g ∈ Gq,
g e = g,
e g = g.

3. Для каждого преобразования g, заданного в (1.1) параметрами
τ, существует обратное g−1, определенное параметрами τ ∗:

g
g(x, τ), τ ∗= x,
π(τ, τ∗) = 0,
(1.5)

или иначе

∀g ∈ Gq,
∃g−1 ∈ Gq,
gg−1 = e,
g−1g = e .

Еще одна групповая аксиома — ассоциативность — выполняется
для любого семейства (1.1) преобразований.

Группа (1.1) изучается и используется далее локально: переменные x принадлежат некоторой области пространства Rn, параметры
τ — окрестности значения τ0 = 0 ∈ Rq, соответствующего тождественному преобразованию.

Определение 1.2. Инвариантом группы (1.1) называется функция w(x), которая не меняет своего значения, если ее аргумент x
подвергнуть произвольному преобразованию группы (1.1):

w(x) = w(g(x, 0)) = w(g(x, τ)) = w(ˆx).
(1.6)

Определение 1.3. Функции wl(x), l
=
1, r, называются интегральным базисом инвариантов группы (1.1), если выполнены

§ 1. Основные понятия теории групп преобразований
7

соотношения

rank
∂wl(x)

∂xi

= r,
(1.7)
w(x) — инвариант группы (1.1)
⇔

⇔
w = F
w1(x), . . . , wr(x)
,
(1.8)

где F — некоторая функция.

Определение 1.4. Система уравнений

f k(x) = 0,
k = 1, p,
rank
∂f k

∂xi

= p
(1.9)

задает в пространстве Rn инвариантное многообразие M группы (1.1), если выполняется равносильность

{x ∈ M}
⇔
∀τ, ˆx = g(x, τ) ∈ M
.

Определение 1.5. Орбитой точки x называется множество точек
ˆx = g(x, τ), в которые можно попасть из x преобразованиями
группы (1.1).

Определение 1.6. Группа (1.1) называется транзитивной в точке x, если орбита этой точки — область в Rn. Группа (1.1) называется
просто транзитивной в точке x, если она транзитивна, и в каждую
точку ˆx = g(x, τ) орбиты точки x можно попасть единственным
преобразованием группы. Если же в каждую точку орбиты можно
попасть несколькими преобразованиями группы, группа называется кратно транзитивной. Группа, не являющаяся транзитивной,
называется интранзитивной.

Транзитивные свойства группы тесно связаны с свойствами матрицы Якоби ∂gi(x, τ)/∂τ k. В частности:
rank
∂gi(x, τ)

∂τk

= n
⇒
транзитивность;
rank
∂gi(x, τ)

∂τk

< n
⇒
интранзитивность;
n = q, det
∂gi(x, τ)

∂τk

̸= 0
⇒
просто транзитивность.

Глава 1. Из теории локальных групп Ли

Далее отдельно рассматривается случай, когда параметр τ
в уравнениях группы (1.1) один (q = 1, § 2), и случай q > 1 (§ 4).

§ 2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

Теорема 2.1. Преобразованием параметра τ можно добиться того,
что равенства
ˆxi = gi(x1, . . . , xn, τ),
(2.1)

задающие однопараметрическую (τ
∈
R1) группу преобразований G1, являются решением некоторой стационарной (автономной)
системы обыкновенных дифференциальных уравнений

dˆxi

dτ = ηi(ˆx),
(2.2)

ˆx(0) = x.
(2.3)

Обратно: решение (2.1) произвольной стационарной (автономной)
системы (2.2) с начальными данными (2.3) определяют однопараметрическую группу с законом умножения

π(τ, ˜τ) = τ + ˜τ,

т. е. выполняется равенство

g
g(x, τ), ˜τ
= g(x, τ + ˜τ).
(2.4)

□ Введем обозначения

ηi(x) = ∂gi(x, τ)

∂τ

τ=0
,
˜η(τ) = ∂π(τ, ˜τ)

∂τ

˜τ=0
,
(2.5)

продифференцируем (1.3) по τ; положив затем τ = 0, получим
равенство

ηi(x) = dˆxi

dτ ˜η(τ).

После замены переменной

τ →

τ
0

dτ
˜η(τ)

приходим к системе (2.2). Соотношение (2.4) — известный факт
из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Из (2.4)
следует выполнение групповых аксиом (1.3)–(1.5).
■

§ 2. Однопараметрические группы
9

Каждой однопараметрической группе (2.1) соответствует инфинитезимальный оператор (генератор)

X =

n
i=1
ηi(x) ∂

∂xi ,
(2.6)

который в силу системы (2.2) является оператором дифференцирования по параметру τ. Если группа задана конечными уравнениями (2.1), то коэффициенты ηi(x) оператора (2.6) вычисляются
по формуле (2.5). Для того, чтобы получить связь между коэффициентами одного и того же оператора (2.6) относительно разных
переменных, сделаем диффеоморфное преобразование переменных
ˆyi = ˆyi(ˆx) в системе (2.2):

dˆyi

dτ =
n
k=1

∂ˆyi(ˆx)

∂ˆxk ηk(ˆx)
ˆx→ˆy
=
X ˆyi(ˆx)
ˆx→ˆy.

Таким образом, при переходе к другим переменным yi = yi(x)
оператор (2.6) принимает следующий вид:

X =

n
i=1

X ˆyi(ˆx)
x→y
∂
∂yi .
(2.7)

Вопрос об инвариантах (см. определение 1.2) однопараметрических групп решает следующая

Теорема 2.2. Функция w(x) является инвариантом группы (2.1)
(см. определение 1.2) в том и только в том случае, если для нее
выполняется равенство
X w = 0,

где X — инфинитезимальный оператор (2.6) группы (2.1).

□ Продифференцировав соотношение (1.6) по τ, с учетом (2.2)
получим эквивалентное соотношение

dw(ˆx)

dτ
=

n
i=1

∂w(ˆx)

∂ˆxi
dˆxi

dτ =

n
i=1
ηi(ˆx)∂w(ˆx)

∂ˆxi
= 0,

которое совпадает с условием X w = 0.
■

Для того чтобы найти инварианты конкретной группы (2.1),
нужно, используя оператор (2.6), составить дифференциальное уравнение

X w =

n
i=1
ηi(x)∂w(x)

∂xi
= 0
(2.8)

Глава 1. Из теории локальных групп Ли

и найти его решения. В тривиальном случае

X = 0
(ηi(x) ≡ 0)

группа (2.1) содержит единственное преобразование ˆx = x, при этом
любая функция w(x) является инвариантом. В предположении

n
i=1
{ηi(x)}2 ̸= 0
(2.9)

уравнение
(2.8)
имеет
функционально
независимые
решения
w1(x), . . . , wn−1(x) — первые интегралы системы (2.2), а любое
другое решение w(x) есть функция от них:

w(x) = F
w1(x), . . . , wn−1(x)
.

Теорема 2.3 (о «выпрямлении» оператора). Пусть для оператора (2.6) выполнено условие (2.9). Тогда диффеомормизмом x ↔ z
оператору можно придать вид ∂/∂z1.

□ На первом шаге с использованием функционально независимых
инвариантов w1(x), . . . , wn−1(x) сделаем диффеоморфную замену
переменных:

y1 = y1(x),
yk = wk−1(x),
k = 2, n.

Вследствие равенств (2.7) и X wk = 0 оператор (2.6) примет вид

X = h(y) ∂

∂y1 ,
где
h(y) = X y1(x)|x→y.

Так
как
при
диффеоморфизмах
свойство
(2.9)
сохраняется
(см. (2.7)), для h(y) выполняется условие h(y) ̸= 0.
Теперь достаточно сделать замену переменных

z1 =
dy1

h(y1, y2, . . . , yn),
zk = yk,
k = 2, n,

чтобы завершить доказательство теоремы:

X = (X z1) ∂

∂z1 =
∂z1

∂y1

∂

∂z1 =
∂
∂z1 .
■

В доказательстве теоремы содержится алгоритм «выпрямления»
конкретного оператора.

Теорема 2.4. Система уравнений (1.9) задает в пространстве Rn

инвариантное многообразие M группы (2.1) в том и только в том
случае, если выполняются равенства

X f k|x∈M =

n
i=1
ηi(x)∂f k(x)

∂xi

x∈M
= 0,
k = 1, m.
(2.10)