Сборник задач по теории функций комплексного переменного

Москва
Лаборатория знаний
2023

7-е издание, электронное

Рекомендовано 

Учебно-методическим объединением
высших учебных заведений Российской Федерации
по образованию в области прикладных
математики и физики
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
по направлению «Прикладные математика и физика»

М. И. Шабунин, Е. С. Половинкин, М. И. Карлов

Сборник задач 
по теории функций
комплексного 
переменного

УДК 517
ББК 22.161.5
Ш12

Шабунин М. И.
Ш12
Сборник задач по теории функций комплексного переменного / М. И. Шабунин, Е. С. Половинкин, М. И. Карлов. — 7-е
изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2023. — 365 с. —
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл.
с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-630-8
Исчерпывающий задачник по теории функций комплексного переменного, который авторы написали, основываясь на многолетнем
опыте преподавания этого предмета в Московском физико-техническом институте. Каждый раздел предваряется справочным материалом. Приводятся решения задач и ответы.
Для студентов и преподавателей математических факультетов
вузов.
УДК 517
ББК 22.161.5

Деривативное издание на основе печатного аналога: Сборник
задач по теории функций комплексного переменного / М. И. Шабунин, Е. С. Половинкин, М. И. Карлов. — 6-е изд., испр. — М. : Лаборатория знаний, 2022. — 362 с. : ил. — ISBN 978-5-93208-280-5.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-630-8
© Лаборатория знаний, 2015

Предисловие

Предлагаемый
читателю
«Сборник
задач
по
теории
функций
комплексного переменного» предназначен для студентов инженернофизических и физико-технических специальностей вузов, а также студентов университетов. При создании сборника авторы опирались на
опыт преподавания ТФКП в Московском физико-техническом институте (государственном университете).
Сборник состоит из шести глав. В первой главе рассматриваются
комплексные числа, последовательности и ряды комплексных чисел,
комплекснозначные функции действительного и комплексного переменного, предел, непрерывность и интегрируемость функций комплексного
переменного.
Во второй главе изучаются регулярные функции и их свойства,
последовательности и ряды регулярных функций.
Третья глава посвящена изучению рядов Лорана, изолированных
особых точек однозначного характера, вычислению интегралов по замкнутому контуру с помощью вычетов.
В четвертой главе речь идет о многозначных аналитических функциях. Большое внимание уделяется выделению регулярных ветвей многозначных функций, вычислению значений регулярных ветвей и их
разложению в ряды Тейлора и Лорана. Исследуются аналитические
продолжения и полные аналитические функции, а также их особые
точки.
В пятой главе теория вычетов применяется для вычисления несобственных интегралов, а также для разложения мероморфных функций
в ряды простейших дробей и в бесконечные произведения.
В шестой главе рассматриваются конформные отображения, их применение для решения краевых задач, а также элементы операционного
исчисления.
«Сборник» составлен с таким расчетом, чтобы им можно было пользоваться при любом построении лекционного курса. С этой целью пара

Предисловие

графы сделаны более или менее независимыми друг от друга. Все необходимые ссылки на задачи других разделов приводятся с указаниями.
Каждый параграф начинается с изложения необходимых теоретических сведений по тематике параграфа. Далее проведен разбор решений
типичных задач. После этого помещены задачи. Все указания к решениям даны в основном тексте, а ответы приведены в конце каждого
параграфа.
Значительная часть задач составлена авторами специально для
«Сборника». Авторы также частично использовали материалы «Сборника задач по теории аналитических функций» под редакцией М. А. Евграфова, а также задачи, предлагавшиеся студентам МФТИ в контрольных работах по ТФКП.
Авторы выражают глубокую благодарность коллективу кафедры
высшей математики МФТИ, многолетняя плодотворная работа которого в значительной степени способствовала появлению этого сборника.

Глава 1

Введение

§ 1. Комплексные числа

Справочные сведения

1. Определение комплексного числа. Комплексные числа — выражения вида a + bi (a, b — действительные числа, i — некоторый символ).
Равенство z = a + bi означает, что комплексное число a + bi обозначено буквой z, а запись комплексного числа z в виде a + bi называют
алгебраической формой комплексного числа.
Два комплексных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называют
равными и пишут z1 = z2, если a1 = a2, b1 = b2.
Сложение и умножение комплексных чисел z1
=
a1 + b1i и
z2 = a2 + b2i производится согласно формулам

z1 + z2 = a1 + a2 + (b1 + b2)i,
(1)

z1z2 = a1a2 − b1b2 + (a1b2 + a2b1)i.
(2)

Комплексное число вида a + 0 · i отождествляют с действительным
числом a (a+0·i = a), число вида 0+bi (b ̸= 0) называют чисто мнимым
и обозначают bi; i называют мнимой единицей. Действительное число a
называют действительной частью комплексного числа z = a + bi
и пишут Re z = a, число b называют мнимой частью z и пишут Im z = b.
Из формулы (2) следует, что

i2 = −1,
(3)

а формулы (1) и (2) получаются по правилам сложения и умножения
двучленов a1 + b1i и a2 + b2i с учетом равенства (3).
Операции вычитания и деления определяются как обратные для

сложения и умножения, а для разности z1−z2 и частного z1

z2 (при z2 ̸= 0)

комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i имеют место формулы

z1 − z2 = a1 − a2 + (b1 − b2)i,

z1
z2 = a1a2 + b1b2

a2
2 + b2
2
+ a2b1 − a1b2

a2
2 + b2
2
i.

Глава 1. Введение

Сложение и умножение комплексных чисел обладают свойствами
коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:

z1 + z2 = z2 + z1;
z1z2 = z2z1;

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3),
(z1z2)z3 = z1(z2z3);

z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.

Множество комплексных чисел, в котором операции сложения
и умножения определяются формулами (1) и (2), обозначается символом C.

2. Модуль
комплексного
числа.
Комплексно
сопряженные
числа. Модулем комплексного числа z = a+bi (обозначается |z|) называется число
√

a2 + b2, т. е.

|z| =
a2 + b2.

Для любых комплексных чисел z1, z2 справедливы равенства

|z1z2| = |z1| · |z2|;

если
z2 ̸= 0,
то
z1
z2

= |z1|

|z2| .

Число a−bi называется комплексно сопряженным с числом z = a+bi
и обозначается z, т. е.

z = a + bi = a − bi.

Справедливы равенства

z · z = |z|2,
z = z.

Для любых комплексных чисел z1, z2 верны равенства:

z1 ± z2 = z1 ± z2,
z1z2 = z1 · z2;

если
z2 ̸= 0,
то

z1
z2

= z1

z2 .

Частное от деления комплексных чисел можно записать в виде

z1
z2 = z1z2

z2z2 = z1z2

|z2|2 ,
z2 ̸= 0.
(4)

3. Геометрическое изображение комплексных чисел. Пусть на
плоскости задана прямоугольная
система координат.
Комплексное
число z = a + bi изображается точкой плоскости с координатами (a, b),
и эта точка обозначается той же буквой z (рис. 1.1). Действительные
числа изображаются точками оси абсцисс (ее называют действительной

§ 1. Комплексные числа
7

Рис. 1.1
Рис. 1.2

осью), а чисто мнимые числа — точками оси ординат (ее называют мнимой осью). Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называют комплексной плоскостью.
Комплексному числу z = a+bi можно сопоставить вектор с началом
в точке O и концом в точке z (см. рис. 1.1). Этот вектор будем обозначать
той же буквой z, его длина равна |z|.
Числу z1 + z2 соответствует вектор, построенный по правилу сложения векторов z1 и z2 (рис. 1.2), а вектор z1 − z2 можно построить как
сумму векторов z1 и −z2.
Расстояние между точками z1 и z2 равно длине вектора z1 − z2, т. е.

|z1 − z2| =
(a1 − a2)2 + (b1 − b2)2,

где z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i.
Условию |z − z0| = R, где z0 — заданное комплексное число, R > 0,
удовлетворяют точки, лежащие на окружности радиуса R с центром
в точке z0.
Для любых комплексных чисел z1, z2 справедливы неравенства

|z1 ± z2| ⩽ |z1| + |z2|,
|z1 ± z2| ⩾ ||z1| − |z2||.

4. Тригонометрическая и показательная формы комплексного
числа. Аргументом комплексного числа z ̸= 0 называется угол ϕ
между положительным направлением действительной оси и вектором z
(рис. 1.1). Этот угол считается положительным, если отсчет угла ведется против часовой стрелки, и отрицательным — при отсчете по часовой стрелке.
Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа
z = a+bi и его модулем r = |z| и аргументом ϕ выражается следующими

Глава 1. Введение

формулами:
a = r cos ϕ,

b = r sin ϕ;
(5)
⎧
⎪
⎪
⎨

⎪
⎪
⎩

cos ϕ =
a
√

a2 + b2 ,

sin ϕ =
b
√

a2 + b2 .
(6)

Аргумент комплексного числа z = a + bi
(z ̸= 0) можно найти,
решив систему (6). Эта система имеет бесконечно много решений вида
ϕ = ϕ0 + 2kπ, где k ∈ Z,
ϕ0 — одно из решений системы (6), т. е.
аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Чтобы подчеркнуть зависимость угла ϕ0 от точки z, будем использовать обозначение ϕ0 = arg z. Множество всех значений аргумента числа z будем
обозначать Arg z, т. е. Arg z = {arg z + 2πk: k ∈ Z}.
Для нахождения аргумента комплексного числа z = a + bi (a ̸= 0)
можно воспользоваться формулой

tg ϕ = b

a .
(7)

При нахождении аргумента комплексного числа z с помощью формулы (7) нужно обратить внимание на то, в какой четверти находится
точка z = a + bi.
Из равенств (5) следует, что любое комплексное число z = a+bi, где
z ̸= 0, представляется в виде

z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
(8)

где r = |z| =
√

a2 + b2, ϕ — аргумент числа z. Запись комплексного
числа z в виде (8), где r > 0, называют тригонометрической формой
комплексного числа.
Комплексное число cos ϕ + i sin ϕ обозначается символом eiϕ, т. е.
для любого ϕ функция eiϕ определяется формулой Эйлера

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ.
(9)

Из равенства (9) следует, что e2πi = 1, eπi = −1, eπi/2 = i, e−πi/2 = −i
и |eiϕ| = 1 для любого ϕ ∈ R.
Справедливы равенства

eiϕ1eiϕ2 = ei(ϕ1+ϕ2),
eiϕ1

eiϕ2 = ei(ϕ1−ϕ2),
(10)

einϕ = (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin ϕ,
n ∈ Z;
(11)

формулу (11) называют формулой Муавра.

§ 1. Комплексные числа
9

Из формул (8) и (9) следует, что любое комплексное число z ̸= 0
можно записать в показательной форме

z = reiϕ,
где
r = |z|,
ϕ — аргумент числа z,
(12)

а из равенств (10) вытекает, что если z1 = r1eiϕ1, z2 = r2eiϕ2, где r1 > 0,
r2 > 0, то

z1z2 = r1r2ei(ϕ1+ϕ2),
(13)

z1
z2 = r1

r2 ei(ϕ1−ϕ2).
(14)

Из формул (13) и (14) следует, что при перемножении комплексных
чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; модуль
частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел,
а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.
Если комплексные числа z1 и z2 записать в показательной форме, т.е.
представить их в виде z1 = r1eiϕ1, z2 = r2eiϕ2, то z1 = z2 тогда и только
тогда, когда

r1 = r2,
ϕ1 = ϕ2 + 2kπ,
k ∈ Z.

5. Извлечение корня. Рассмотрим уравнение

zn = a,
(15)

где a ̸= 0 — комплексное число, n ∈ N (n > 1). Пусть z = reiϕ, a = ρeiθ,
тогда

rneinϕ = ρeiθ,

откуда

rn = ρ,
nϕ = θ + 2πk,
k ∈ Z,

r =
n√ρ,
ϕk = 1

n (θ + 2kπ).
(16)

Таким образом, уравнение (15) имеет n различных корней

zk =
n|a|eiϕk,
(17)

где ϕk определяется формулой (16), k = 0, 1, . . . , n − 1,
θ — аргумент
числа a.
На комплексной плоскости точки zk (k = 0, 1, . . . , n − 1) располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность
радиуса
n|a| с центром в точке O.

Глава 1. Введение

Примеры с решениями

Пример 1. Выполнить действия:

1)
(2 − i)3;
2) (1 + i)(1 − 2i)

3 + i
.

△ 1) Используя формулу куба разности и равенства i2 = −1, i3 = −i,
получаем: (2 − i)3 = 8 − 3 · 4i + 3 · 2(−1) + i = 2 − 11i.

2) Пусть z1 = (1+i)(1−2i), z2 = 3+i. Тогда по формуле (2) находим
z1 = 3 − i, а по формуле (4) получаем:

z1
z2 = 3 − i

3 + i = (3 − i)2

10
= 8 − 6i

10
= 4

5 − 3

5 i.
▲

Пример 2. Доказать, что для любых двух комплексных чисел z1 и z2
справедливо равенство

|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2).

△ Используя свойства комплексно сопряженных чисел, получаем:

|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) + (z1 − z2)(z1 − z2) =

= (z1 + z2)(z1 + z2) + (z1 − z2)(z1 − z2) =

= 2z1z1 + 2z2z2 = 2(|z1|2 + |z2|2).
▲

Это равенство выражает тот факт, что сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Пример 3. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

1)
|z + 1| = |z − i|;
2) 2 < |z + 2i| < 3.

△ 1) Уравнению |z+1| = |z−i| удовлетворяют все точки, равноудаленные от точек z1 = −1 и z2 = i. Это прямая y = −x (биссектриса второго
и четвертого координатных углов).

2) Условию |z + 2i| < 3 удовлетворяют все точки, лежащие внутри
круга радиуса 3 с центром в точке z0 = −2i, а условию |z + 2i| > 2 —
все точки, лежащие вне круга радиуса 2 с центром в точке z0. Искомое
множество точек — кольцо между окружностями радиусов 2 и 3 с общим
центром в точке z0 = −2i.
▲

Пример 4. Записать в тригонометрической и показательной форме
комплексное число:

1) z1 = −1 − i;
2) z2 = − cos π

5 + i sin π

5 .