Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению

СБОРНИК
 
ЗАДАЧ

по дифференциальным
 

уравнениям
и вариационному
 

исчислению

Под редакцией  
В. К. Романко

Москва
Лаборатория знаний  
2020

6-е издание,  электронное

УДК 517.9
ББК 22.161.1
C23

А в т о р с к и й к о л л е к т и в:
В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов,
Л. И. Коваленко

C23
Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В. К. Романко, Н. Х. Агаханов,
В. В. Власов, Л. И. Коваленко ; под ред. В. К. Романко. —
6-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 222 с. —
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл.
с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-799-8
Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление».
В начале каждого параграфа приводятся решения типовых задач. Ко всем задачам даны ответы.
Для студентов физико-математических, инженерно-физических
и экономических специальностей.
УДК 517.9
ББК 22.161.1

Деривативное издание на основе печатного аналога: Сборник
задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко ; под ред. В. К. Романко. — 6-е изд. — М. : Лаборатория знаний,
2020. — 219 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-254-2.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-799-8
c○ Лаборатория знаний, 2015

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка . . .
5

§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых. Приближенное изображение интегральных кривых уравнений. . . . . . . . . .
5

§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории. Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

§ 3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и уравнения Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

§ 4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24

§ 5. Исследование задачи Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

§ 6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка . .
45

§ 7. Основные
типы
уравнений,
допускающие
понижение
порядка
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

§ 8. Методы решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

§ 9. Методы решения линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений.
94

§ 11. Методы
решения
линейных
систем
уравнений
с
постоянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

§ 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами. . . . . 129

Глава 4. Автономные
системы
дифференциальных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

§ 13. Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых положений
равновесия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

§ 14. Поведение фазовых траекторий в окрестности негрубых положений
равновесия и на всей фазовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

§ 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . 154
§ 16. Первые интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Глава 5. Автономные системы дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка . . . . . . . 166

§ 17. Линейные однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
§ 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Глава 6. Элементы вариационного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . 189

§ 19. Простейшая вариационная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
§ 21. Изопериметрическая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
§ 22. Достаточные условия строгого слабого локального экстремума в простейшей вариационной задаче . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Предисловие

Настоящий сборник составлен на основании многолетнего опыта преподавания курса обыкновенных дифференциальных уравнений в Московском физико-техническом институте (государственном университете).
В сборнике содержится большое число оригинальных задач, составленных преподавателями кафедры высшей математики МФТИ. Значительная часть задач сборника подготовлена авторами. Н. Х. Агаханов
укомплектовал задачами § 6 и § 13 сборника, В. В. Власов совместно с
В. К. Романко подобрали задачи § 8 и § 11 сборника, Л. И. Коваленко
составила задачи § 7 и совместно с В. К. Романко подобрала задачи
§ § 2–4 и § 9 сборника. Подбор задач остальных параграфов сборника
и общая редакция сборника осуществлены В. К. Романко.
В начале каждого параграфа сборника помещены примеры решений
типовых задач. Начало решения задачи отмечается значком △, а конец
решения — значком ▲. В конце каждого параграфа приведены ответы к
задачам параграфа.
В сборнике предлагается большое количество задач по основным
темам программы курса обыкновенных дифференциальных уравнений.
Это позволяет использовать сборник преподавателями для аудиторной
работы, для домашних заданий, для составления контрольных работ, а
студентами — для самостоятельной работы.
Авторы сборника выражают глубокую благодарность коллективу
кафедры высшей математики МФТИ, чья многолетняя творческая деятельность способствовала появлению этого сборника. Авторы сборника особенно благодарны профессору Г. Н. Яковлеву и профессору
М. И. Шабунину за помощь при написании сборника.
Во втором издании исправлены замеченные ошибки и неточности.
Некоторые задачи заменены и добавлены новые задачи.
Большую работу по подготовке второго издания выполнила Л. И. Коваленко. Авторы выражают благодарность студентам МФТИ И. Агрону,
Я. Зарецкому, О. Корзинову, Н. Славскому, Н. Чернышкину за работу
по проверке ответов некоторых задач.

Глава 1

Дифференциальные уравнения
первого порядка

§ 1.
Составление уравнений
заданного семейства плоских кривых.
Приближенное изображение
интегральных кривых уравнений

Пусть семейство плоских непрерывно дифференцируемых кривых задано уравнением Φ(x, y, C) = 0, где y — неявная функция x при каждом
значении параметра C. Если система уравнений
⎧
⎨

⎩

∂Φ
∂x + ∂Φ

∂y · y′ = 0,

Φ(x, y, C) = 0

позволяет исключить параметр C, то получается дифференциальное
уравнение заданного семейства кривых.
В
случае,
когда
семейство
кривых
задано
уравнением
Φ(x, y, C1, C2) = 0, зависящим от двух параметров C1 и C2, исключение
параметров C1, C2 и получение дифференциального уравнения семейства кривых достигается с помощью нахождения второй производной
от Φ по x.

Пример 1. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых
tg y = Ce−x2.

△ Продифференцируем по x заданное соотношение, считая y неявной
функцией x:

y′

cos2 y = −2xCe−x2.

Подставляя сюда найденное из заданного соотношения C = ex2 tg y, получаем искомое уравнение

y′ + x sin2y = 0.

▲

Чтобы приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения y′ = f(x, y), необходимо рассмотреть несколько изоклин уравнения и найти линии, на которых могут находиться точки
экстремума и точки перегиба интегральных кривых.

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Пример 2. Построить приближенно интегральные кривые уравнения

y′ = y − 3x.

△ Правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши на всей плоскости (x, y).
Поэтому интегральные кривые не могут ни пересекаться, ни касаться.
Изоклины уравнения имеют виду y − 3x = k, где k = const. При k = 0
изоклина y = 3x делит плоскость на две части. Слева от прямой y = 3x
y′ > 0, а справа от прямой y = 3x y′ < 0. Значит, слева от прямой y = 3x
интегральные кривые — это графики возрастающих решений y = y(x)
уравнения, а справа от прямой y = 3x интегральные кривые — графики
убывающих решений уравнения. На самой прямой y = 3x находятся
максимумы решений y = y(x) уравнения.
Возьмем еще две изоклины. Изоклина y = 3x + 1 пересекает интегральные кривые в точках, в которых касательные к ним образуют
с осью Ox углы π

4 . Изоклина y = 3x−1 пересекает интегральные кривые

в точках, в которых касательные к ним образуют с осью Ox углы 3π

4 .
Из уравнения найдем y′′ = y′−3 = y−3x−3. Прямая y = 3x + 3 делит
плоскость на две части. Слева от прямой y = 3x + 3 y′′ > 0 и, значит,
интегральные кривые выпуклые вниз, а справа от этой прямой y′′ < 0 и,
значит, решения y = y(x) уравнения — выпуклые вниз функции, а справа
от этой прямой y′′ < 0 и, значит, решения y = y(x) — выпуклые вверх
функции. Прямая y = 3x + 3 является интегральной кривой, в чем
можно убедиться подстановкой y = 3x + 3 в уравнение. Поэтому другие
интегральные кривые не пересекают эту прямую.
Проведенное исследование позволяет приближенно построить интегральные кривые заданного уравнения (см. рис. 1.1).
▲

Составить дифференциальные уравнения семейства кривых (1–18):

1. y = Cx2 − x.
2. y = x2 + Cx.
3. y = (x − C)2.
4. (y − C)2 = 2x.

5. (x − C)2 + y2
1.
6. x2 + (y − C)2 = 1.

7. 2x2 + Cy2 = 1.
8. (y − C)2 = 1

x .

9. x2 + 2x − (y − C)2 = 2.
10. y = tg(x + C).
11. Cx = sin Cy.
12. Cy = tg Cx.
13. x2 = (C + y)ey.
14. y2 + 2Cxy + x2 + 2x = 0.
15. y = A cos(x + ϕ).
16. y = (C1 + C2x)ex.

17. y = C1

x + C2x.
18. y2 = C1x2 + C2x.

§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых
7

РИС. 1.1

Построить приближенно интегральные кривые уравнений (19–38):

19. y′ = y − 1

x − 1 .
20. y′ =
y

x + 1 .

21. y′ = 1 − x

y − 1 .
22. y′ = x + 1

1 − y .

23. y′ = 1 − y

x
.
24. y′ =
y

1 − x .

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

25. y′ = (x − 1)y.
26. y′ = x(y + 1).

27. y′ = 2x + y

x − 2y .
28. y′ = y − 2x

2y + x .

29. y′ = 2x + 2y + 1.
30. y′ = 2x − 2y − 1.

31. y′ = y − x2 − 2x − 2.
32. y′ = y − x2 + 2x.

33. y′ = −x2 − y

x .
34. y′ = y

x + x2.

35. y′ = y − x3.
36. y′ = 2xy − 2.

37. y′ = x2 + y2 − 1.
38. y′ = x2 − y2 − 1.

39. Пусть задано уравнение y′ = f(x, y) с непрерывной функцией f(x, y)
на всей плоскости (x, y). Показать, что:
а) если уравнение имеет периодическое периода T > 0 решение
y = ϕ(x), отличное от константы, то необходимо f(x, y) при
y = ϕ(x) имеет период T > 0 по x,
б) если f(x, y) при любом y = y(x) не является периодической
функцией x периода T > 0, то уравнение не имеет периодических решений периода T > 0, отличных от константы.
40. Пусть y = ϕ(x) — решение уравнения y′ = f(x, y) с непрерывной
функцией f(x, y) на всей плоскости (x, y). Показать, что:
а) при f(−x, y) = −f(x, y) функция y = ϕ(−x) — также решение
уравнения,
б) при f(x, −y) = −f(x, y) функция y = −ϕ(x) — также решение
уравнения,
в) при f(−x, −y) = f(x, y) функция y = −ϕ(−x) — также решение
уравнения.
41. Пусть f(x, y) — непрерывно дифференцируемая функция на всей
плоскости (x, y) и пусть f(x, y) — периодическая функция по x пе
риода T и ∂f(x, y)

∂y
> 0.

Доказать, что уравнение y′ = f(x, y) не может иметь более одного
периодического решения.

Ответы к задачам § 1

1. xy′ − 2y = x.
2. xy′ − y = x2.

3. y′2 = 4y.
4. 2xy′2 = 1.

5. y2(y′2 + 1) = 1.
6. (1 − x2)y′2 = x2.

7. (2x2 − 1)y′ = 2xy.
8. 4x3y′2 = 1.

§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых
9

9. (x2 + 2x − 2)y′2 = (x + 1)2.
10. y′ = 1 + y2.

11.
1
y′ = cos y
y′2 − 1

|xy′|
.
12. y′ cos2 x
y′ − 1

|y|
= 1.

13. (x2 + ey)y′ = 2x.
14. x(y2 − x2 −2x)y′ = y(y2 − x2).

15. y′′ + y = 0.
16. y′′ − 2y′ + y = 0.

17. x2y′′ + xy′ − y = 0.
18. x2(yy′′ + y′2) = y(2xy′ − y).

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

§ 2.
Уравнения с разделяющимися
переменными. Ортогональные траектории.
Однородные уравнения

Для решения уравнения с разделяющимися переменными

P1(x)q1(y)dx + P2(x)q2(y)dy = 0
необходимо уравнение сначала умножить или разделить на такое выражение, чтобы в результате получилось уравнение, одна часть которого
содержит только dx и некоторую функцию x, а другая часть содержит
только dy и некоторую функцию y. При делении уравнения надо следить, чтобы не потерялись решения уравнения.

Пример 1. Решить уравнение
(x + 2)(1 + y2)dx + (x + 1)y2 dy = 0.

△ Разделив уравнение на (x + 1)(1 + y2), получаем уравнение с разделенными переменными

x + 2
x + 1 dx +
y2

1 + y2 dy = 0.

При делении на (x+1) можно потерять решение x = −1. Подстановка
x = −1 в заданное уравнение показывает, что x = −1 действительно
является решением уравнения.
Далее имеем
x + 2
x + 1 dx +
y2dy
1 + y2 = C,

где C — произвольная постоянная. Найдя интегралы, получаем

x + y + ln |x + 1| − arctg y = C.

▲

Для получения ортогональных траекторий заданного семейства
плоских кривых нужно сначала составить дифференциальное уравнение
семейства кривых F(x, y, y′) = 0. Затем заменить в этом уравнении y′ на
− 1

y′

. Это дает дифференциальное уравнение искомых ортогональ
ных траекторий.

Пример 2. Найти ортогональные траектории семейства кривых

y = tg(ln Cx).

△ Сначала составим дифференциальное уравнение заданного семейства кривых. Дифференцируя по x уравнение заданного семейства и исключая параметр C, получаем уравнение

y′ =
1

x · cos2(ln Cx) = 1

x [1 + tg2(ln Cx)] = 1 + y2

x
.