Геометрия Лобачевского
Покупка
Тематика:
Геометрия и топология
Издательство:
Лаборатория знаний
Автор:
Атанасян Левон Сергеевич
Год издания: 2021
Кол-во страниц: 467
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-93208-508-0
Артикул: 630062.02.99
Эта книга выгодно отличается от других пособий по геометрии Лобачевского. Материал излагается на основе школьной аксиоматики абсолютной геометрии и аксиомы Лобачевского. Первая часть книги посвящена планиметрии
Лобачевского, а вторая - стереометрии. В конце каждой главы даются задачи, в конце книги - ответы и указания к ним. Книга может с успехом использоваться студентами и преподавателями и физико-математических факультетов университетов, и педагогических вузов. Она также будет полезна учителям классов с углубленным изучением математики для индивидуальной работы с учениками, интересующимися математикой.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.04: Прикладная математика
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ГЕОМЕТРИЯ Лобачевского Л. С. Атанасян 4-е издание, электронное Москва Лаборатория знаний 2021
УДК 087.5:514 ББК 22.151 А92 Атанасян Л. С. А92 Геометрия Лобачевского / Л. С. Атанасян. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2021. — 467 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный. ISBN 978-5-93208-508-0 Эта книга выгодно отличается от других пособий по геометрии Лобачевского. Материал излагается на основе школьной аксиоматики абсолютной геометрии и аксиомы Лобачевского. Первая часть книги посвящена планиметрии Лобачевского, а вторая — стереометрии. В конце каждой главы даются задачи, в конце книги — ответы и указания к ним. Книга может с успехом использоваться студентами и преподавателями и физико-математических факультетов университетов, и педагогических вузов. Она также будет полезна учителям классов с углубленным изучением математики для индивидуальной работы с учениками, интересующимися математикой. УДК 087.5:514 ББК 22.151 Деривативное издание на основе печатного аналога: Геометрия Лобачевского / Л. С. Атанасян. — 2-е изд., испр. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. — 464 с. : ил. — ISBN 978-5-9963-0814-9. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от наруши- теля возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-93208-508-0 c○ Лаборатория знаний, 2015
ПРЕДИСЛОВИЕ Основой курса «Геометрия Лобачевского» послужили лекции, которые автор неоднократно читал для студен- тов и магистрантов математического факультета Москов- ского педагогического государственного университета. Автор поставил своей задачей дать систематическое, достаточно полное и строгое изложение геометрии Ло- бачевского на основе известных аксиом абсолютной гео- метрии и аксиомы Лобачевского. Метод изложения эле- ментарно геометрический, синтетический, т. е. тот же, что и при изложении элементарной геометрии Евклида в книгах [1], [4], [11] и др.* В связи с этим в книге практически нет ссылок на проективную геометрию, на теорию групп и другие разделы высшей математики. Настоящий курс состоит из двух частей. Первая часть посвящена планиметрии Лобачевского, а вторая часть — стереометрии. В последней главе второй части курса дается доказательство логической непротиворечи- вости трехмерной геометрии Лобачевского, приведены краткие исторические сведения об открытии геометрии Лобачевского и излагаются некоторые философские во- просы, связанные с применением геометрии Лобачевско- го к реальному пространству. Как первая, так и вторая части учебного пособия снабжены достаточным числом задач для самостоятельного решения (свыше 300 задач). Задачи помещены в конце каждой главы и соответ- ствуют ее материалу. В конце книги даны краткие указания к решению многих задач, а также приложения со списком аксиом абсолютной планиметрии и аксиом стереометрии Лобачевского. * Здесь и в дальнейшем цифры в квадратных скобках отсылают читателя к списку литературы, помещенному на с. 456.
Предисловие В заключение отметим, что в случае недостатка вре- мени отдельные главы, например главы VI, VII, VIII ча- сти I и главы V, VI части II можно опустить без ущерба понимания материала последующих глав. Кроме того, некоторые утверждения и теоремы, которые доказыва- ются сложно (например, содержание § 5, частично § 8, лемма I из § 14 и др.), можно дать без доказательства, опираясь на наглядно интуитивные соображения. Это особенно важно при изучении геометрии Лобачевского учащимися средней школы. Книга будет полезна студентам физико-математиче- ских факультетов университетов и педагогических выс- ших учебных заведений. Она может быть использована учителями и учащимися в классах общеобразовательных учреждений, особенно в школах (классах) с углублен- ным изучением математики, для проведения факуль- тативных занятий, в работе математических кружков, а также для индивидуальной работы с учащимися, проявляющими интерес к математике.
ЧАСТЬ I ПЛАНИМЕТРИЯ
Глава 1 ОБЗОР ОСНОВНЫХ ФАКТОВ АБСОЛЮТНОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ Геометрия Лобачевского (или гиперболическая гео- метрия) основана на аксиомах абсолютной геометрии и на аксиоме Лобачевского, поэтому все понятия, опре- деления и теоремы абсолютной геометрии имеют место и в геометрии Лобачевского. В этой главе дан краткий обзор основных определе- ний и следствий из аксиом абсолютной планиметрии, а сами аксиомы абсолютной планиметрии (аксиомы групп I–IV) приведены в приложении (см. с. 322). § 1. Обзор основных следствий и аксиом групп I–III абсолютной планиметрии 1. Простейшие фигуры на плоскости. Равенство фи- гур. Основными понятиями в планиметрии Лобачевского так же, как и в планиметрии Евклида, являются точки и прямые (основные объекты), принадлежность точки прямой, «лежать между» для трех точек одной пря- мой и наложение (основные отношения). Сформулируем аксиомы группы I, которые характеризуют взаимное расположение точек и прямых, и аксиомы группы II, которые характеризуют свойства понятия «лежать меж- ду». Если точка B лежит между точками A и C, то будем писать A–B–C. Если точка A не лежит между точками B и C, то будем писать ABC. Группа I. Аксиомы принадлежности. I1. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки* . * Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «три прямые», будем считать, что рассматриваемые точки и прямые различны.
§ 1. Обзор основных следствий 7 I2. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. I3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Группа II. Аксиомы порядка. II1. Если точка B лежит между точкой A и точкой C, то A, B, C — три различные точки некоторой прямой и точка B лежит также между точкой C и точкой A. II2. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Фигура, состоящая из двух точек A и B и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком, а точки A и B — его концами. II3. Каждая точка O, лежащая на прямой, разделяет множество остальных точек этой прямой на два непустых подмножества так, что точка O лежит между любыми двумя точками различных подмножеств и не лежит между любыми двумя точками одного и того же подмножества. Фигура, состоящая из каждого подмножества точек, на которые точка O делит остальные точки данной прямой, называется лучом, оба этих луча называются дополнительными лучами, а точка O — началом этих лучей. Если точки A и B не принадлежат прямой a, то будем говорить, что они лежат по одну сторону от прямой a, если прямая a не имеет общих точек с отрезком AB. Обозначим это так: A, B ..− a. Если точки A и B не принадлежат прямой a, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от прямой a, если существует точка X, лежащая на отрезке AB и на прямой a. Обозначим это так: A, B ÷ a. II4. Каждая прямая a разделяет множество всех точек плоскости, не лежащих на этой прямой, на два подмножества так, что любые две точки разных подмножеств лежат по разные стороны от прямой a, а любые две точки одного и того же подмножества лежат по одну сторону от прямой a.
Глава 1. Обзор фактов геометрии на плоскости Фигура, состоящая из каждого подмножества точек, указанных в аксиоме II4, называется полуплоскостью, а прямая a — ее границей. Пользуясь аксиомами групп I–II (см. приложение, с. 444), вводятся простейшие понятия планиметрии и доказывается ряд утверждений и теорем, которые имеют место как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского. Кроме понятий отрезка, луча, полуплоскости, вводятся понятия угла, внутренней области угла и доказываются утверждения о свойствах этих фигур (см. [1], § 1–4). Не останавливаясь подробно на этом, отметим лишь отдельные важные утверждения и теоремы, которые необходимы для дальнейшего изложения. 1.1◦. (Предложение Паша.) Если прямая пересекает отрезок AB и не проходит через точку C, то она пересекает один из отрезков AC или BC и не имеет общих точек с другим отрезком. Луч, который исходит из вершины неразвернутого угла и содержит хотя бы одну внутреннюю точку, целиком состоит из внутренних точек угла. Такой луч называется внутренним лучом угла. 1.2◦. Внутренний луч неразвернутого угла пересекает отрезок, концы которого лежат на разных сторонах угла. Говорят, что угол hk отложен от луча h в полуплоскость λ, если луч h принадлежит границе полуплоскости λ, а луч k — самой полуплоскости. 1.3◦. Если углы hk1 и hk2 с общей стороной h отложены от этого луча в одну и ту же полуплоскость и лучи k1 и k2 не совпадают, то один и только один из лучей k1 и k2 является внутренним лучом угла, образованного лучом h и другим лучом. Понятие равенства фигур в абсолютной геометрии мы вводим с помощью наложения, которое является основным отношением. Наложение — это отображение плоскости в себя. Свойства наложений выражены в аксиомах группы III. Фигура Φ называется равной фигуре Φ′, если существует наложение, при котором фигура Φ переходит в фигуру Φ′, т. е. каждая точка фигуры Φ переходит
§ 1. Обзор основных следствий 9 в некоторую точку фигуры Φ′ и каждая точка фигуры Φ′ имеет прообраз, принадлежащий фигуре Φ. Запись Φ = Φ′ означает, что фигура Φ равна фигуре Φ′. Группа III. Аксиомы наложения. III1. Каждая фигура равна самой себе. III2. Если фигура Φ равна фигуре Φ′, то фигура Φ′ равна фигуре Φ. III3. Если фигура Φ1 равна фигуре Φ2, а фигура Φ2 равна фигуре Φ3, то фигура Φ1 равна фигуре Φ3. III4. Если при наложении концы отрезка AB отображаются в концы отрезка A′B′, то отрезок AB отображается на отрезок A′B′. III5. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. III6. Если hk — неразвернутый угол и ∠hk = ∠h′k′, то существует наложение, при котором луч h переходит в луч h′, а луч k — в луч k′. III7. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один. Из этих аксиом легко вывести ряд важных свойств наложений (см. [1], § 5). Отметим, в частности, что при наложении отрезок, луч, прямая, угол, полуплоскость отображаются соответственно на отрезок, луч, прямую, угол, полуплоскость. Пользуясь аксиомами группы III, можно доказать следующее утверждение: 1.4◦. Любое наложение является преобразованием полуплоскости, при котором три точки, лежащие на одной прямой, переходят в три точки, лежащие на одной прямой, а три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой. Из аксиом наложения непосредственно следует, что отношение равенства фигур является отношением эквивалентности. 2. Сравнение отрезков и углов. Пусть AB и CD — произвольные отрезки. Если на отрезке CD существует
Глава 1. Обзор фактов геометрии на плоскости такая точка M, что AB = CM, то говорят, что отрезок AB меньше отрезка CD или отрезок CD больше отрезка AB, и пишут так: AB < CD, или CD > AB. Основные свойства сравнения отрезков заключаются в следующем: а) если AB < CD, CD = EF или AB = CD, CD < EF, то AB < EF; б) если AB < CD, CD < EF, то AB < EF. Аналогично вводится сравнение углов. Пусть hk и lm — данные неразвернутые углы. Если существует внутренний луч s угла lm, такой, что ∠hk = ∠ls, то говорят, что угол hk меньше угла lm или угол lm больше угла hk, и пишут так: ∠hk < ∠lm, или ∠lm > ∠hk. Если один из углов развернутый, а другой неразвернутый, то считают, что развернутый угол больше неразвернутого. Основные свойства сравнения углов аналогичны основным свойствам сравнения отрезков: а) если ∠hk < ∠lm, ∠lm < ∠pq или ∠hk < ∠lm, ∠lm < ∠pq, то ∠hk < ∠pq; б) если ∠hk < ∠lm, ∠lm < ∠pq, то ∠hk < ∠pq. Свойства сравнения отрезков и углов доказываются на основании групп аксиом I–III (см. [1], § 6). 3. Смежные и вертикальные углы. Прямой угол. Напомним, что два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами. Два неразвернутых угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются соответственно дополнительными лучами сторон другого угла. Пользуясь аксиомами групп I–III, нетрудно доказать, что если неразвернутые углы равны, то углы, соответственно смежные с ними, равны и что вертикальные углы равны (см. [1], § 7). Угол называется прямым, если он равен одному из углов, смежных с ним. Ясно, что прямой угол равен каждому из своих смежных углов. Нетрудно доказать, что угол, равный прямому, также является прямым и что любые два прямых угла равны друг другу (см. [1], § 7).